ผู้ใช้:Pathpot/ทดลองเขียน

วิธีครอส-เอนโทรปี(อังกฤษ: Cross-Entropy Method) เป็นขั้นตอนวิธีที่ใช้หลักการของ Monte Carlo เพื่อที่จะแก้ปัญหา ถูกนำเสนอโดย R.Y. Rubinstein ซึ่งประเภทของปัญหาที่สามารถใช้วิธีครอส-เอนโทรปีได้นั้นจะมีอยู่สองลักษณะ คือ การประมาณค่า หรือ การหาค่าที่ดีที่สุด

โดยวิธีครอส-เอนโทรปีนั้น หากจะอธิบายภาพโดยรวมให้เข้าใจคร่าวๆถึงประเด็น ก็คือการประมาณค่าของค่าคาดหวังของฟังก์ชันของตัวแปรสุ่มฟังก์ชันหนึ่ง โดยที่เราอาจจะไม่รู้ว่าค่าความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของฟังก์ชันนั้น $f(x;u)\,$ อย่างแน่นอน จึงประมาณค่าโดยการประมาณค่าความหนาแน่นของความน่าจะเป็นออกมาเป็น $g(x;v^{*})\,$ โดยพยายามให้ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นให้ใกล้เคียงความเป็นจริงมากที่สุด โดยตัวชี้วัดว่าฟังก์ชันที่เราสร้างขึ้นมา กับฟังก์ชันจริงนั้นห่างกันมากแค่ไหน คือสิ่งที่เรียกว่าครอส-เอนโทรปีนั้นเอง โดยจะอธิบายในรายละเอียดได้ในหัวข้อถัดไป

การใช้วิธี ครอส-เอนโทรปี ในปัญหาการประมาณค่า

แนวคิด

ในการณีที่เราพยายามที่จะใช้วิธีครอส-เอนโทรปีเพื่อประมาณค่านั้น สามารถแปลงปัญหาเป็นสมการคณิตศาสตร์ของการประมาณหาค่าคาดหวังง่ายๆได้ดังสมการที่ (1)

$l=E_{f}[H(X)]=\int H(x)f(x)\,dx$ (1)

เมื่อ H คือฟังก์ชันที่เราต้องการประมาณค่า เรียกได้อีกอย่างหนึ่งว่า ฟังก์ชันของประสิทธิภาพของตัวอย่างสุ่ม
และ f คือฟังก์ชันของความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม X

ซึ่งสำหรับวิธีการประมาณค่า $l$ ในสมการที่ 1 นั้น ในกรณีที่สามารถสุ่มตัวอย่างสุ่มด้วยความหนาแน่นของความน่าจะเป็น $f(x)$ ได้ยาก จะทำการสร้างฟังก์ชัน $f(x)$ เพื่อที่จะสามารถประมาณค่าได้ง่ายขึ้นตามสมการที่ 2

$l=\int H(x){\frac {f(x)}{g(x)}}g(x)\,dx=E_{g}[H(x){\frac {f(x)}{g(x)}}]$ (2)

โดยที่กำหนดให้

$g(x)=0\,$ เมื่อ $H(x)f(x)=0\,$

เนื่องจาก g เป็นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นที่เราเป็นคนสร้างขึ้น ทำให้การสุ่มตัวอย่างเป็นไปได้ง่ายกว่า f ดังนั้น เราจึงสามารถสุ่มตัวอย่างสุ่ม $X_{1},...,X_{N}$ ตามความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของ g(x) ได้ง่ายกว่า ทำให้ประมาณค่าของ l ด้วยตัวประมาณค่าที่ไม่ลำเอียงได้ง่ายขึ้นตามสมการที่ (3)

${\widehat {l}}={\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}H(X_{k}){\frac {f(X_{k})}{g(X_{k})}}$ (3)

จากปัญหาการประมาณค่า ก็จะเหลือแค่ปัญหาว่าจะสร้างความหนาแน่นของความน่าจะเป็น g ที่ดีที่สุดได้อย่างไรซึ่งค่า g ที่ดีที่สุดในอุดมคตินั้นนิยามด้วย

$g^{*}(x)\alpha |H(x)|f(x)\,$

แต่สิ่งที่เกิดขึ้นก็คือ เราสามารถหาค่า g*(x) ได้ยาก สำหรับวิธีครอส-เอนโทรปีนี้แทนที่จะมุ่งไปที่การหาค่าของ g*(x) จะพยายามหาค่าของ g ที่ทำให้ความแตกต่างระหว่าง g และ g* น้อยที่สุด ซึ่งความแตกต่างนั้นเองที่เรียกว่าครอส-เอนโทรปีตามที่เกริ่นไว้ในช่วงต้น ซึ่งครอส-เอนโทรปีของความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของสองฟังก์ชันนั้น นิยามได้ดังสมการที่ (4)

$D(f,g)=E_{f}[ln{\frac {f(X)}{g(X)}}]=\int f(x)ln(f(x))dx-\int f(x)ln(g(x))dx$ (4)

หลังจากที่ได้รู้หลักการคร่าวๆของวิธีการครอส-เอนโทรปีเพื่อการประมาณค่าในทางทฤษฎีไปแล้วว่าเป็นไปในลักษณะอย่างไร หากพิจารณาในทางปฏิบัติแล้วนั้นฟังก์ชัน f นอกจากจะแปรไปตามตัวแปรต้น x แล้ว ยังถูกควบคุมโดยพารามิเตอร์ u บางอย่าง ซึ่งสามารถเขียนฟังก์ชัน f ได้เป็น f(x; u) ซึ่งคงเดาได้ไม่ยากว่าบางกรณีนั้น พารามิเตอร์ u นี้หาได้ยากมาก เราจึงพยายามหาค่าของ g ที่ทำให้มี v ที่ทำให้ g(x) = f(x; v) และ v ทำให้ความแตกต่างของ f(x; v) และ f(x; u) น้อยๆ ซึ่งความแตกต่างนี้วัดโดยครอส-เอนโทรปีตามสมการที่ 4 นั่นเอง ก็จะทำให้ปัญหาเล็กลงอีกขั้นหนึ่งคือเป็นปัญหาที่จะพยายามหาค่าของ v ที่ดีที่สุดเท่านั้น ซึ่งนิยาม v ในอุดมคติว่า v* ลองไปแทนค่าของ f(x; v) และ f(x; u) ลงในสมการที่ (4) แล้วจัดรูปสักเล็กน้อยก็จะรู้ว่า v ที่ดีที่สุดจะทำให้ $\int H(x)f(x;u)ln(f(x;v))dx\,$ มีค่ามากที่สุดนั่นเอง ซึ่งการแก้ปัญหานี้ก็สามารถหาได้ตามสมการที่ (5)

$max_{v}({\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}H(X_{k}){\frac {X_{k};u}{X_{k};w}}ln(f(X_{k};v))\,$ (5)

ซึ่งจากสมการที่ (5) R. Y. Rubinstein ได้นำเสนอวิธีสำหรับแก้ปัญหานี้ไว้แล้ว
ในปัญหาเฉพาะที่ชื่อว่าปัญหาการหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่พบเจอได้ยาก(rare event probability) ซึ่งเป็นปัญหาที่ประยุกต์ด้วยวิธีครอส-เอนโทรปีกันอย่างแพร่หลาย โดยเป็นกรณีเฉพาะที่ฟังก์ชัน H เป็นฟังก์ชันตัวชี้ของฟังก์ชัน $S(x)$ วัดที่ระดับ $\gamma$ ตามสมการ $H(x)=I_{S(X)\geq \gamma }$ ซึ่งในการประมาณค่าของ l ด้วยวิธีเดิมเพื่อหาความน่าจะเป็นที่ $S(x)\geq \gamma$ นั้นจะยากโดยดูได้จากสมการที่ (5) คือค่าของ $H(X_{k})$ ส่วนมากจะมีค่าเป็น 0 ไปมากพอสมควรจะไม่สามารถประมาณหาค่าที่แม่นยำได้ วิธีการแก้ไขคือต้องทำวิธีการ ครอส-เอนโทรปีหลายๆรอบ หลายๆชั้น โดยจะปรับค่าพารามิเตอร์ v และระดับปัจจุบันให้เข้าใกล้ v* และ $\gamma$ ไปเรื่อยๆจนถึงเงื่อนไขยุติที่พอใจ สามารถเขียนขั้นตอนวิธีตามที่ได้อธิบายมาเป็นรหัสเทียมได้ดังนี้

รหัสเทียมสำหรับวิธีครอส-เอนโทรปีเพื่อประมาณความน่าจะเป็นสำหรับเหตุการณ์ที่พบเจอได้ยาก

 1 ${\widehat {v}}_{0}=u$  และ 
 2 $N^{e}=\lceil \rho \,N\rceil$
 3 t = 0 /*ตัวนับจำนวนรอบ*/
 4
 5 ทำ
 6     t = t + 1
 7     สุ่มตัวอย่างสุ่ม $X_{1},...,X_{N}\,$ ตามความหนาแน่นของความน่าจะเป็น $f(-:{\widehat {v}}_{t-1})\,$
 8     สำหรับทุก i ตั้งแต่ 1 ถึง N
 9         $S_{(i)}=S(X_{i})\,$
10     เรียงลำดับจากน้อยไปหามาก(S)        
11     ${\widehat {\gamma }}_{t}=S_{(N-N^{e}+1)}\,$
12     ${\widehat {\gamma }}_{t}\,$ = ค่าต่ำสุด($\gamma \,$,${\widehat {\gamma }}_{t}$)
13     คำนวณ ${\widehat {v}}_{t}$ จากสมการ (5) ด้วย $X_{1},...,X_{N}$ และ $w={\widehat {v}}_{t-1}$
14 ระหว่างที่ ${\widehat {\gamma }}_{t}<\gamma$           
15
16 สุ่มตัวอย่างสุ่ม $X_{1},...,X_{N_{1}}\,$ ตามความหนาแน่นของความน่าจะเป็น $f(-:{\widehat {v}}_{t})$
17 คำนวณ l จากสมการ (3) ด้วย $X_{1},...,X_{N_{1}}\,$
18 คืนค่า l

จะเห็นว่าหากต้องการใช้ขั้นตอนวิธีนี้ต้องทำการปรับค่า ${\widehat {v}}_{0},N,\rho$ ให้เหมาะสมกับความต้องการ ซึ่งโดยปกติ $\rho$ จะมีค่าอยู่ระหว่าง 0.01 และ 0.1 และค่าของ $N$ จะน้อยว่า $N_{1}$ มากๆ เช่น $N=10000$ ในขณะที่ $N_{1}=100000$ และขั้นตอนวิธีนี้จะรับประกันว่าสามารถทำงานจนจบได้แน่นอนหากค่าของ $\rho$ มีค่าเล็กมากพอ

การใช้วิธี ครอส-เอนโทรปี ในปัญหาการหาค่าที่เหมาะสมที่สุด

แนวคิด

ให้ $\chi$ เป็นเซตของสถานะ และ S เป็นฟังก์ชันจริงซึ่ง S(x) จะให้ค่าความเหมาะสมของ x โดยที่ x เป็นสมาชิกของ $\chi$ โดยค่า x ที่เหมาะสมที่สุดคือ x* ซึ่งจะทำให้ค่าของ S(x*) มีค่าสูงที่สุด สามารถเขียนเป็นปัญหาในรูปของสมการทางคณิตศาสตร์ได้ดังสมการที่ (6)

$S(x^{*})=\gamma ^{*}=max_{x}S(x)\,$ (6)

หาพิจารณาปัญหานี้เทียบกับปัญหาการประมาณค่าของ $H(x)=I_{S(X)\geq \gamma }$ เมื่อ X เป็นตัวแปรสุ่มที่มีความหนาแน่นของความน่าจะเป็น $f(x;u)$ และให้ $\gamma$ เป็นค่าระดับชั้น จะสังเกตว่าถ้าค่า $\gamma$ มีค่าใกล้เคียงกับ $\gamma ^{*}$ (ค่าสูงสุดของ S) แล้ว จะทำให้ค่าของ $H(x)=I_{S(X)\geq \gamma }$ เป็นความน่าจะเป็นของเหตุการณ๊ที่พบเจอได้ยาก ซึ่งปัญหานี้เราจะต้องการสร้างตัวอย่างสุ่มจำนวนหนึ่งที่มีค่าใกล้เคียงกับ x* โดยเป็นเรื่องที่ดีที่วิธีครอส-เอนโทรปี สามารถทำเรื่องนี้ได้

หากเปรียบเทียบความแตกต่างของปัญหาระหว่างการหาค่าที่เหมาะสมที่สุด กับ การประมาณค่า ความแตกต่างก็คือการหาค่าที่เหมาะสมที่สุด เราจะไม่รู้ค่าของระดับชั้น $\gamma =\gamma ^{*}$ ล่วงหน้าเหมือนในการประมาณค่า แต่อย่างไรก็ตามขั้นตอนวิธีในการแก้ปัญหาก็ไ่ม่ค่อยแตกต่างกันมากคือเราจะสร้างลำดับของ $\gamma _{t}$ และ ${\widehat {v}}_{t}$ ไปเรื่อยๆ โดยจะพยายามให้ทั้งสองค่าเข้าใกล้ $\gamma ^{*}$ และ $v^{*}$ ตามลำดับ ซึ่งค่าของ $v^{*}$ จะสอดคล้องกับค่าของ $x^{*}$ ที่ต้องการหาเช่นกัน

รหัสเทียมสำหรับวิธีครอส-เอนโทรปีเพื่อใช้ในปัญหาการหาค่าที่เหมาะสมที่สุด

 1 ${\widehat {v}}_{0}=u$  และ 
 2 $N^{e}=\lceil \rho \,N\rceil$
 3 t = 0 /*ตัวนับจำนวนรอบ*/
 4
 5 ทำ
 6     t = t + 1
 7     สุ่มตัวอย่างสุ่ม $X_{1},...,X_{N}\,$ ตามความหนาแน่นของความน่าจะเป็น $f(-:{\widehat {v}}_{t-1})\,$
 8     สำหรับทุก i ตั้งแต่ 1 ถึง N
 9         $S_{(i)}=S(X_{i})\,$
10     เรียงลำดับจากน้อยไปหามาก(S)        
11     ${\widehat {\gamma }}_{t}=S_{(N-N^{e}+1)}\,$
12     ${\widehat {\gamma }}_{t}\,$ = ค่าต่ำสุด($\gamma \,$,${\widehat {\gamma }}_{t}$)
13     คำนวณ $v={\widehat {v}}_{t}\,$ ที่ทำให้ \frac{I_{S(X_k) \ge \widehat{\gamma}_t}ln(f(X_k;v))}{N} สูงที่สุด
14 ระหว่างที่ ยังไม่ถึงเงื่อนไขยุติ
15
16 คืนค่า ${\widehat {v}}_{t}\,$

จะเห็นว่าหากต้องการใช้ขั้นตอนวิธีนี้ต้องทำการปรับค่า ${\widehat {v}}_{0},N,\rho$ และเงื่อนไขยุติให้เหมาะสม การทำครอส-เอนโทรปีสำหรับหาค่าที่เหมาะสมที่สุดนั้น ประกอบด้วยสองขั้นตอนสำคัญ

1. สร้าง : สร้างสถานะที่ถูกสุ่มตัวอย่างมาจะสถานะที่เป็นไปได้ โดยเป็นไปตามความหนาแน่นของความน่าจะเป็นที่กำหนด
2. ปรับแก้ไข : ปรับพารามิเตอร์สำหรับการกระจายโดยให้ ครอส-เอนโทรปี น้อยที่สุด