ปัญหามุมบนหน้าปัดนาฬิกา

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
แผนภาพแสดงมุมต่าง ๆ ที่เกิดจากเข็มของนาฬิกาแอนะล็อกที่กำลังแสดงเวลา 2:20

ปัญหามุมบนหน้าปัดนาฬิกา เป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ชนิดหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับการหามุมระหว่างเข็มบนหน้าปัดนาฬิกาแอนะล็อก ซึ่งมีสองเข็มได้แก่ เข็มสั้นแทนชั่วโมง และเข็มยาวแทนนาที

ปัญหาทางคณิตศาสตร์[แก้]

ปัญหามุมบนหน้าปัดนาฬิกาเกี่ยวกับการวัดสองชนิดได้แก่ มุม และเวลา มุมโดยทั่วไปวัดจากขีดเลข 12 เวียนตามเข็มนาฬิกา ส่วนเวลาตามปกติก็ใช้พื้นฐานบนนาฬิกาสิบสองชั่วโมง

วิธีการที่จะแก้ปัญหาทำนองนี้คือการพิจารณาอัตราการเปลี่ยนแปลงของมุมในหน่วยองศาต่อนาที เข็มสั้นบนหน้าปัดสิบสองชั่วโมงตามปกติจะหมุนครบรอบ 360 องศาเมื่อครบ 12 ชั่วโมง (720 นาที) นั่นคืออัตรา 0.5 องศาต่อนาที ส่วนเข็มยาวจะหมุนครบรอบ 360 องศาใน 60 นาที นั่นคืออัตรา 6 องศาต่อนาที

สูตรคำนวณมุมของเข็มสั้น[แก้]

\theta_{\text{hr}} = \frac{1}{2}M_\Sigma = \frac{1}{2}(60H + M)

เมื่อ

  • θ คือมุมในหน่วยองศาของเข็มสั้น วัดตามเข็มนาฬิกาจากตำแหน่ง 12 นาฬิกา (หรือ 0 นาฬิกา)
  • H คือจำนวนชั่วโมงที่ผ่านไปตั้งแต่ 12 นาฬิกา
  • M คือจำนวนนาทีที่ผ่านไปจากชั่วโมงเต็ม
  • MΣ คือจำนวนนาทีที่ผ่านไปตั้งแต่ 12 นาฬิกา

สูตรคำนวณมุมของเข็มยาว[แก้]

\theta_{\text{min.}} = 6M

เมื่อ

  • θ คือมุมในหน่วยองศาของเข็มยาว วัดตามเข็มนาฬิกาจากตำแหน่ง 12 นาฬิกา
  • M คือจำนวนนาที

ตัวอย่าง[แก้]

กำหนดเวลาให้ 5:24 มุมของเข็มสั้นในหน่วยองศาเท่ากับ

\theta_{\text{hr}} = \frac{1}{2}(60 \times 5 + 24) = 162

และมุมของเข็มยาวในหน่วยองศาเท่ากับ

\theta_{\text{min.}} = 6 \times 24 = 144

สูตรคำนวณมุมระหว่างเข็มทั้งสอง[แก้]

\begin{align}
\Delta\theta
 &= \left|\theta_{\text{hr}} - \theta_{\text{min.}}\right| \\
 &= \left|\frac{1}{2}(60H + M) - 6M\right|\\
 &= \left|\frac{1}{2}(60H - 11M)\right|
\end{align}

เมื่อ

  • H คือจำนวนชั่วโมง
  • M คือจำนวนนาที

ตัวอย่าง[แก้]

กำหนดเวลาให้ 2:20 มุมระหว่างเข็มทั้งสองในหน่วยองศาเท่ากับ

\begin{align}
\Delta\theta 
 &= \left|\frac{1}{2}(60 \times 2 - 11 \times 20)\right|\\
 &= \left|\frac{1}{2}(120 - 220)\right|\\
 &= 50
\end{align}

เวลาใดบ้างที่เข็มทั้งสองทับกันพอดี[แก้]

เวลาที่เข็มสั้นและเข็มยาวทับกันพอดี หมายถึง เวลาที่มุมของเข็มสั้นและเข็มยาวเท่ากันพอดี คำนวณได้จาก

\begin{align}
\theta_{\text{hr}} &= \theta_{\text{min.}}\\
\Rightarrow \frac{1}{2}(60H + M) &= 6M\\
\Rightarrow 11M &= 60H\\
\Rightarrow M &= \frac{60}{11}H\\
\Rightarrow M &= 5.\overline{45}H
\end{align}

H คือจำนวนชั่วโมงเป็นจำนวนเต็มตั้งแต่ 0 ถึง 11 ดังนั้นเราจะได้คำตอบว่าเวลาที่เข็มทั้งสองทับกันพอดีได้แก่ 0:00, 1:05.45, 2:10.90, 3:16.36, ฯลฯ (เวลา 0.45 นาทีมีค่าอย่างแม่นยำเท่ากับ 27.27 วินาที)

ดูเพิ่ม[แก้]

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]