ปฏิทรรศน์การหมุนเหรียญ

เหรียญด้านนอกจะหมุนรอบตัวเอง 2 รอบ เมื่อกลิ้งรอบเหรียญด้านใน 1 รอบ โดยไม่มีการไถล

เส้นทางของจุดบนขอบเหรียญที่เคลื่อนที่เป็นเส้นโค้งคาร์ดิออยด์

ปฏิทรรศน์การหมุนเหรียญ เป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ขัดกับการรู้เอง ซึ่งเมื่อเหรียญหนึ่งถูกกลิ้งไปรอบขอบของเหรียญอื่นที่มีขนาดเท่ากันโดยไม่มีการไถล เหรียญที่เคลื่อนที่จะไม่ได้หมุนครบหนึ่งรอบ แต่หมุนครบสองรอบ หลังหมุนรอบเหรียญที่หยุดนิ่งครบรอบ เมื่อมองจากกรอบอ้างอิงภายนอก ปัญหานี้สามารถวางนัยทัว่ไปกับเหรียญที่มีรัศมีต่างกันได้

คำอธิบาย

เริ่มด้วยเหรียญที่เหมือนกันสองเหรียญวางสัมผัสกันบนโต๊ะ โดยให้หงายด้านหัวและอยู่ทิศเดียวกันทั้งสองเหรียญ ให้เหรียญ A นิ่งอยู่กับที่ แล้วหมุนเหรียญ B รอบเหรียญ A โดยให้จุดที่สัมผัสกันไม่มีการไถล เมื่อเหรียญ B ไปถึงด้านตรงข้าม หัวทั้งสองจะทิศเดียวกันอีกครั้ง และเหรียญ B ได้หมุนรอบตัวเองไป 1 รอบ การเคลื่อนที่ของเหรียญ B ต่อไปจะกลับมาที่จุดเริ่มต้นและจะหมุนรอบตัวเองครั้งที่สอง ในทางปฏิทรรศน์ เหรียญ B จะดูเหมือนว่ากลิ้งไปได้ระยะทางสองเท่าของเส้นรอบวง ในความเป็นจริง เนื่องจากเส้นรอบวงของเหรียญทั้งสองเท่ากัน ตามนิยามแล้ว เหรียญ B กลิ้งไปได้แค่ระยะทางเท่ากับเส้นรอบวงของมันเองเท่านั้น การหมุนครั้งที่สองเกิดขึ้นจากการที่เส้นทางที่มันกลิ้งไปนั้นเป็นวงกลม คล้ายกับการหมุนเหรียญ B เพียงเหรียญเดียวในตำแหน่งเดิม

วิธีหนึ่งในการให้เห็นภาพถึงปรากฏการณ์ดังกล่าวคือ ลองจินตนาการถึงเส้นรอบวงของเหรียญ A ที่ทำให้แบนเป็นเส้นตรง ซึ่งจะทำให้สังเกตได้ว่าเหรียญ B จะหมุนเพียงครั้งเดียวในขณะที่เคลื่อนที่ไปตามเส้นทางที่แบนราบลง นี่คือการหมุนรอบแรก การเลื่อนเหรียญ B ไปรอบ ๆ เส้นรอบวงของเหรียญ A โดยกลิ้งมันแต่ยังคงจุดสัมผัสเดิมไว้ จะทำให้เกิดการหมุนซึ่งเป็นตัวแทนของการหมุนครั้งที่สอง ในสถานการณ์แรกเริ่ม

เมื่อเหรียญ B หมุน จุดแต่ละจุดบนเส้นรอบวงจะร่าง (เคลื่อนที่ผ่าน) เส้นโค้งคาร์ดิออยด์

การวิเคราะห์และการแก้ปัญหา

จากจุดเริ่มต้นถึงจุดสิ้นสุด จุดศูนย์กลางของเหรียญที่เคลื่อนที่จะเคลื่อนที่เป็นทางรูปวงกลม เส้นรอบวงของเหรียญที่นิ่งและเส้นทางของจุดศูนย์กลางของเหรียญที่เคลื่อนที่เกิดเป็นวงกลมร่วมศูนย์กลางสองวง รัศมีของวงกลมด้านนอกคือผลรวมของรัศมีของเหรียญ ดังนั้น เส้นรอบวงของเส้นทางที่ศูนย์กลางการเคลื่อนที่จึงเป็นสองเท่าของเส้นรอบวงของเหรียญทั้งสอง จุดศูนย์กลางของเหรียญที่เคลื่อนที่จะเคลื่อนที่เป็นสองเท่าของเส้นรอบวงของเหรียญโดยไม่มีการไถล ดังนั้นเหรียญที่เคลื่อนที่จะหมุนได้สองรอบเต็ม

การที่เหรียญเคลื่อนที่หมุนรอบจุดศูนย์กลางของมันเองระหว่างทาง หากมี หรือหมุนไปในทิศทางใด ตามเข็มนาฬิกา ทวนเข็มนาฬิกา หรือทั้งสองทิศทาง ไม่มีผลต่อความยาวของเส้นทาง การที่เหรียญหมุนสองครั้งตามที่อธิบายไว้ข้างต้น และการโฟกัสไปที่ขอบของเหรียญที่เคลื่อนไหวขณะสัมผัสกับเหรียญที่อยู่กับที่ถือเป็นสิ่งที่ไม่ได้ถูกพิจารณา

รัศมีไม่เท่ากันและรูปร่างอื่น ๆ

ตัวอย่างที่ R = 3r ในรูปที่ 1 เมื่อยืดวงกลม R ออก จำนวนรอบการหมุน (จำนวนครั้งที่ลูกศรชี้ขึ้นด้านบนที่ไม่นับ ณ ขณะที่เริ่ม) คือ R/r = 3 ในรูปที่ 2 เมื่อวงกลม R ได้รับการคืนเป็นวงกลม เหรียญจะหมุนเพิ่มขึ้น 1 รอบ ทำให้ R/r + 1 = 4. (ภาพเคลื่อนไหว)

การหมุนของเหรียญเล็กรอบเหรียญที่ใหญ่กว่า

เหรียญรัศมี r กลิ้งรอบเหรียญรัศมี R เหรียญเล็กจะหมุนรอบตัวเอง R/r + 1 รอบ นั่นเป็นเพราะว่าจุดศูนย์กลางของเหรียญที่กลิ้งจะเคลื่อนที่เป็นวงกลมโดยมีรัศมี (หรือเส้นรอบวง) R + r/r =R/r + 1 เท่าของรัศมี (หรือเส้นรอบวง) ของตัวเอง ในกรณีจำกัดเมื่อ R = 0 เหรียญที่มีรัศมี r จะหมุนรอบตัวเอง0/r + 1 = 1 รอบโดยหมุนรอบจุดล่าง 1 ครั้ง

รูปร่างที่เหรียญหมุนรอบๆ ไม่จำเป็นที่จะต้องเป็นวงกลม เรื่องการเพิ่มการหมุนอีกหนึ่งรอบให้กับอัตราส่วนของเส้นรอบวงเมื่อรูปนั้นเป็นรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดี่ยว หรือเส้นโค้งปิดใดๆ ที่ไม่ตัดกันเอง หากรูปร่างมีความซับซ้อน จำนวนรอบที่เพิ่มเข้ามา (หรือลบออก หากเหรียญหมุนภายในเส้นโค้ง) จะเป็นค่าสัมบูรณ์ของจำนวนรอบหมุน

การประยุกต์

เวลาดาราคติ

ปฎิทรรศน์นี้มีความเกี่ยวข้องกับเวลาดาราคติ วันดาราคติคือเวลาที่โลกใช้ในการหมุนรอบตัวเองเพื่อให้ดวงดาวที่อยู่ห่างไกลกลับมายังตำแหน่งเดิมบนท้องฟ้า ในขณะที่วันสุริยะ คือเวลาที่ดวงอาทิตย์กลับมายังตำแหน่งเดิม หนึ่งปีมีวันสุริยะประมาณ 365.25 วัน แต่วันฤกษ์มี 366.25 วัน จึงเท่ากับการโคจรรอบดวงอาทิตย์ 1 รอบ เนื่องจากวันสุริยะมี 24 ชั่วโมง วันดาราคติจึงมีประมาณ 365.25/366.25 ชั่วโมง = 23 ชั่วโมง 56 นาที 4.1 วินาที

ทฤษฎีกรุป

ปฎิทรรศน์รูปแบบหนึ่งเกิดขึ้นใน ทฤษฎีกรุป โดยเฉพาะการศึกษาเกี่ยวกับกรุปลี ที่เรียกว่ารูปแบบจริงแยกของ G₂ โครงสร้างหนึ่งของกลุ่มนี้ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าลูกบอลที่กลิ้งไปรอบๆ ลูกบอลอีกลูกที่มีรัศมีสามเท่าของลูกบอลนั้นจะต้องหมุนสี่รอบเต็ม แทนที่จะเป็นสามรอบ

ข้อผิดพลาดการให้คะแนน SAT ปี 1982

ในวันที่ 1 พฤษภาคม 1982 SAT ซึ่งเป็นแบบทดสอบการสมัครเข้าเรียนมหาวิทยาลัยของสหรัฐอเมริกา มีคำถามแบบเลือกตอบเกี่ยวกับปฎิทรรศน์นี้ การทดสอบจะต้องได้รับการให้คะแนนใหม่อีกครั้งหลังจากที่นักเรียนสามคนพิสูจน์ได้ว่าไม่มีคำตอบที่ถูกต้องในตัวเลือกที่กำหนดไว้

ดูเพิ่มเติม

• ปฎิทรรศน์วงล้อของอริสโตเติล

อ่านเพิ่มเติม

• Gardner, Martin (1975). "Penny Puzzles". Mathematical Carnival. Alfred A. Knopf.

แหล่งข้อมูลอื่น

• Nguyen, Huyen (2020-06-04). "answer to the question What proven math fact surprised you the most...". Quora.

คำตอบที่ถูกโหวตขึ้นนี้ประกอบไปด้วยแอนิเมชั่นและคำอธิบายที่เข้าใจง่านเกี่ยวกับคำถามตอนแรก โดยที่ r ของเหรียญด้านนอกเท่ากับ 1/3 ของรัศมีเหรียญด้านใน

•  Muller, Derek (2023-11-30). The SAT Question Everyone Got Wrong. Veritasium – โดยทาง YouTube.