ทฤษฎีบทมูลฐานของทฤษฎีกาลัว
ในคณิตศาสตร์ ทฤษฎีบทมูลฐานของทฤษฎีกาลัว หรือ ทฤษฎีบทหลักมูลของทฤษฎีกาลัว (อังกฤษ: fundamental theorem of Galois theory) เป็นทฤษฎีบทเชื่อมโยงระหว่างโครงสร้างของภาคขยายฟีลด์บางประเภทและกรุป ทฤษฎีบทนี้ได้ชื่อตาม เอวาริสต์ กาลัว ผู้พัฒนาทฤษฎีกาลัว
ในรูปแบบที่ง่ายที่สุด ทฤษฎีบทกล่าวว่าหากระบุภาคขยายฟีลด์ ที่เป็นภาคขยายจำกัดและกาลัวมา แล้วจะมีการสมนัยแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างฟีลด์ระหว่างกลาง (intermediate field) และสับกรุปของกรุปกาลัวของภาคขยายฟีลด์
คำอธิบายการสมนัย
[แก้]สำหรับภาคขยายจำกัด การสมนัยระหว่างฟีลด์ระหว่างกลางและกรุปสร้างได้ดังนี้
- สำหรับแต่ละสับกรุป ของ จะสามารถสร้างฟีลด์ตรึง (fixed field) ซึ่งเป็นเซตที่ประกอบไปด้วยสมาชิกของ ที่ถูกตรึงไว้ภายใต้ทุกฟังก์ชันอัตสัณฐานใน
- สำหรับแต่ละฟีลด์ระหว่างกล่าง ของ จะสามารถสร้างสับกรุป ซึ่งเป็นเซตของฟังก์ชันอัตสัณฐานใน ที่ตรึงทุกสมาชิกของ
ทฤษฎีบทมูลฐานกล่าวว่าการสมนัยข้างต้นเป็นการสมนัยแบบหนึ่งต่อหนึ่งก็ต่อเมื่อ เป็นภาคขยายกาลัว[1]
ในกรณีที่ ไม่เป็นภาคขยายกาลัว แล้วจะได้ว่าการสมนัยข้างต้นส่งสับกรุปของ ไปยังฟีลด์ระหว่างกลางของ แบบหนึ่งต่อหนึ่ง และส่งฟีลด์ระหว่างกลางของ ไปยังสับกรุปของ แบบทั่วถึงเท่านั้น[2]
อ้างอิง
[แก้]- ↑ Bosch, Siegfried (2018). Algebra: From the Viewpoint of Galois Theory. Birkhäuser Advanced Texts Basler Lehrbücher (1st ed. 2018 ed.). Cham: Springer International Publishing : Imprint: Birkhäuser. pp. 137–138. ISBN 978-3-319-95177-5.
- ↑ Bosch, Siegfried (2018). Algebra: From the Viewpoint of Galois Theory. Birkhäuser Advanced Texts Basler Lehrbücher (1st ed. 2018 ed.). Cham: Springer International Publishing : Imprint: Birkhäuser. p. 138. ISBN 978-3-319-95177-5.