ทฤษฎีบทมูลฐานของทฤษฎีกาลัว

ในคณิตศาสตร์ ทฤษฎีบทมูลฐานของทฤษฎีกาลัว หรือ ทฤษฎีบทหลักมูลของทฤษฎีกาลัว (อังกฤษ: fundamental theorem of Galois theory) เป็นทฤษฎีบทเชื่อมโยงระหว่างโครงสร้างของภาคขยายฟีลด์บางประเภทและกรุป ทฤษฎีบทนี้ได้ชื่อตาม เอวาริสต์ กาลัว ผู้พัฒนาทฤษฎีกาลัว

ในรูปแบบที่ง่ายที่สุด ทฤษฎีบทกล่าวว่าหากระบุภาคขยายฟีลด์ $E/F$ ที่เป็นภาคขยายจำกัดและกาลัวมา แล้วจะมีการสมนัยแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างฟีลด์ระหว่างกลาง (intermediate field) และสับกรุปของกรุปกาลัวของภาคขยายฟีลด์

คำอธิบายการสมนัย

สำหรับภาคขยายจำกัด การสมนัยระหว่างฟีลด์ระหว่างกลางและกรุปสร้างได้ดังนี้

• สำหรับแต่ละสับกรุป $H$ ของ $\operatorname {Gal} (E/F)$ จะสามารถสร้างฟีลด์ตรึง (fixed field) $E^{H}$ ซึ่งเป็นเซตที่ประกอบไปด้วยสมาชิกของ $E$ ที่ถูกตรึงไว้ภายใต้ทุกฟังก์ชันอัตสัณฐานใน $H$
• สำหรับแต่ละฟีลด์ระหว่างกล่าง $K$ ของ $E/F$ จะสามารถสร้างสับกรุป $\operatorname {Aut} (E/K)$ ซึ่งเป็นเซตของฟังก์ชันอัตสัณฐานใน $\operatorname {Gal} (E/F)$ ที่ตรึงทุกสมาชิกของ $K$

ทฤษฎีบทมูลฐานกล่าวว่าการสมนัยข้างต้นเป็นการสมนัยแบบหนึ่งต่อหนึ่งก็ต่อเมื่อ $E/F$ เป็นภาคขยายกาลัว

ในกรณีที่ $E/F$ ไม่เป็นภาคขยายกาลัว แล้วจะได้ว่าการสมนัยข้างต้นส่งสับกรุปของ $\operatorname {Aut} (E/F)$ ไปยังฟีลด์ระหว่างกลางของ $E/F$ แบบหนึ่งต่อหนึ่ง และส่งฟีลด์ระหว่างกลางของ $E/F$ ไปยังสับกรุปของ $\operatorname {Aut} (E/F)$ แบบทั่วถึงเท่านั้น