สำหรับสถิติศาสตร์แล้ว ความแปรปรวนร่วมเกี่ยว (อังกฤษ: covariance) เป็นการวัดปริมาณการเปลี่ยนแปลงของสองตัวแปรว่าจะมีการเปลี่ยนแปลงตามกันมาน้อยเท่าใด
ความแปรปรวน (variance) เป็นกรณีพิเศษของความแปรปรวนร่วมเกี่ยวโดยที่สองตัวแปรที่พิจารณาคือตัวแปรตัวแปรเดียวกัน
ความแปรปรวนร่วมเกี่ยวตัวแปรเดี่ยว
[แก้]
นิยามความแปรปรวนร่วมเกี่ยวระหว่างสองตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงความน่าจะเป็นร่วมกัน
และ
ที่สามารถนิยามโมเมนต์ที่ 2 ได้ (second moment) คือ
![{\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} {\big [}(X-\operatorname {E} [X])(Y-\operatorname {E} [Y]){\big ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/847c7fabd477a25245705787d8225e39311c9102)
โดย
คือ ค่าคาดหมาย (expected value) ของ
ทั้งนี้ความแปรปรวนร่วมเกี่ยวสามารถเขียนแทนด้วย
หรือ
ได้เช่นกัน
จากนิยามข้างต้นของความแปรปรวนร่วมเกี่ยว สามารถเขียนในรูปใหม่ได้โดยใช้คุณสมบัติของค่าคาดหมายและคุณสมบัติการคูณ ดังนี้
ความแปรปรวนร่วมเกี่ยวหลายตัวแปร
[แก้]
สำหรับเวกเตอร์สุ่ม
และ
ที่มีขนาดไม่เท่ากัน โดย
มีขนาด
และ
มีขนาด
แล้ว เมตริกซ์ความแปรปรวนร่วมเกี่ยวของ
และ
จะเป็นเมตริกซ์ขนาด
ที่เท่ากับ
![{\displaystyle \operatorname {cov} (X,Y)=\operatorname {E} {\big [}(X-\operatorname {E} [X])(Y-\operatorname {E} [Y])'{\big ]}=\operatorname {E} {\big [}XY'{\big ]}-\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c3a78b751006a6525e4e8ef90748d2d61af5299)
โดยสัญลักษณ์
บน Matrix เช่น
หมายถึง เมทริกซ์สลับเปลี่ยนของ
สมาชิกแถว
หลัก
ของ
จะเท่ากับค่าความแปรปรวนร่วมเกี่ยว
ระหว่างสมาชิกที่
ของ
และสมาชิกที่
ของ
จะเท่ากับเมทริกซ์สลับเปลี่ยน ของ
ตัวแปรสุ่มสองตัวที่มีค่าความแปรปรวนร่วมเกี่ยวระหว่างกันเป็น 0 จะเรียกว่า ตัวแปรทั้งสองไม่มีสหสัมพันธ์กัน (uncorrelated)
หน่วยของความแปรปรวนร่วมเกี่ยว
คือ หน่วยของ
คูณหน่วยของ
แต่สำหรับสหสัมพันธ์ (correlation) ไม่มีหน่วย