ขั้นตอนวิธีของแคนนอน

ขั้นตอนวิธีของแคนนอน (อังกฤษ: Cannon's algorithm) คือขั้นตอนวิธีสำหรับการคูณเมทริกซ์สองเมทริกซ์ที่มีมิติ $n\times n$ ด้วยการทำงานแบบขนาน นำเสนอโดย ลิน เอลเลียต แคนนอน (Lynn Elliot Cannon) ในปีค.ศ.1969

อธิบายขั้นตอนวิธี[แก้]

ให้ A และ B เป็นเมทริกซ์ที่ถูกดำเนินการ และ C เป็นเมทริกซ์ผลลัพธ์ แบ่งเมทริกซ์สองเมทริกซ์ A และ B ให้เป็นเมทริกซ์จตุรัสย่อยๆจำนวน p เมทริกซ์ โดยที่ p คือจำนวนกระบวนการ( process )ทั้งหมด โดยที่ทุกกระบวนการทำงานไปพร้อมๆกัน และสามารถส่งผ่านข้อมูลระหว่างกันได้ ส่งเมทริกซ์ย่อย $A_{ij}$ และ $B_{ij}$ ลงในกระบวนการ $P_{ij}$ เริ่มต้นเรียงตำแหน่งของเมทริกซ์ย่อย ให้แถวที่ i ของเมทริกซ์ A เลื่อนหมุนตามแนวนอนไปด้านซ้ายเป็นจำนวน i ช่อง และสดมภ์ที่ j ของเมทริกซ์ B เลื่อนหมุนตามแนวตั้งไปด้านบนเป็นจำนวน j ช่อง ( i และ j มีค่าตั้งแต่ 0 ถึง n-1 )

ตัวอย่างการเรียงเริ่มต้นของเมทริกซ์ขนาด 4 x 4
เมทริกซ์ A
${\begin{bmatrix}A_{00}&A_{01}&A_{02}&A_{03}\\A_{10}&A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{20}&A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{30}&A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}$ → ${\begin{bmatrix}A_{00}&A_{01}&A_{02}&A_{03}\\A_{11}&A_{12}&A_{13}&A_{10}\\A_{22}&A_{23}&A_{20}&A_{21}\\A_{33}&A_{30}&A_{31}&A_{32}\end{bmatrix}}$

เมทริกซ์ B
${\begin{bmatrix}B_{00}&B_{01}&B_{02}&B_{03}\\B_{10}&B_{11}&B_{12}&B_{13}\\B_{20}&B_{21}&B_{22}&B_{23}\\B_{30}&B_{31}&B_{32}&B_{33}\end{bmatrix}}$ → ${\begin{bmatrix}B_{00}&B_{11}&B_{22}&B_{33}\\B_{10}&B_{21}&B_{32}&B_{03}\\B_{20}&B_{31}&B_{02}&B_{13}\\B_{30}&B_{01}&B_{12}&B_{23}\end{bmatrix}}$

ให้แต่ละกระบวนการ $P_{ij}$ คำนวณหาผลคูณของ $A_{ij}$ และ $B_{ij}$ ในกระบวนการนั้นๆ แล้วนำไปบวกเพิ่มใน $C_{ij}$ จากนั้นเลื่อนเมทริกซ์ย่อยของ A ไปด้านซ้ายในแต่ละแถว และเมทริกซ์ย่อยของ B ไปด้านบนในแต่ละแถว ทำเช่นเดิมทั้งหมด ${\sqrt {p}}$ ครั้ง จะได้เมทริกซ์ผลลัพธ์คือ เมตริกซ์ C

ตัวอย่างการเลื่อนครั้งที่1ของเมทริกซ์ขนาด 4 x 4
เมทริกซ์ A
${\begin{bmatrix}A_{00}&A_{01}&A_{02}&A_{03}\\A_{11}&A_{12}&A_{13}&A_{10}\\A_{22}&A_{23}&A_{20}&A_{21}\\A_{33}&A_{30}&A_{31}&A_{32}\end{bmatrix}}$ → ${\begin{bmatrix}A_{01}&A_{02}&A_{03}&A_{00}\\A_{12}&A_{13}&A_{10}&A_{11}\\A_{23}&A_{20}&A_{21}&A_{22}\\A_{30}&A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}$

เมทริกซ์ B
${\begin{bmatrix}B_{00}&B_{11}&B_{22}&B_{33}\\B_{10}&B_{21}&B_{32}&B_{03}\\B_{20}&B_{31}&B_{02}&B_{13}\\B_{30}&B_{01}&B_{12}&B_{23}\end{bmatrix}}$ → ${\begin{bmatrix}B_{10}&B_{21}&B_{32}&B_{03}\\B_{20}&B_{31}&B_{02}&B_{13}\\B_{30}&B_{01}&B_{12}&B_{23}\\B_{00}&B_{11}&B_{22}&B_{33}\end{bmatrix}}$

รหัสเทียม[แก้]

s=sqrt(p)
//เรียงmatrixเริ่มต้น
for i=0 to s-1
   left-circular-shift each row of A by i
      up-circular-shift each column of B by i
//ดำเนินการหาผลคูณ
for k=0 to s-1
   for i=0 to s-1 and j=0 to s-1
      C(i,j) =C(i,j)  + A(i,j)*B(i,j)
      left-circular-shift each row of A by 1
      up-circular-shift each column of B by 1

วิเคราะห์ขั้นตอนวิธี[แก้]

ทางด้านเวลาการทำงาน ถ้ากระบวนการทุกกระบวนการทำงานพร้อมกันแบบขนาน และกระบวนการแต่ละกระบวนการสามารถส่งเมทริกซ์ย่อยไปยังกระบวนการข้างเคียงได้เพียงหนึ่งกระบวนการต่อครั้ง จะเกิดการส่งเมทริกซ์ย่อยทั้งหมด $4{\sqrt {p}}-2$ ครั้ง และการคูณเมทริกซ์ย่อยแต่ละครั้งใช้การคูณตัวเลขทั้งหมด $({\frac {n}{\sqrt {p}}})^{3}$ จะได้เวลาการทำงานเป็น ${\boldsymbol {\Theta }}({\frac {n^{3}}{p}})$ ทางด้านหน่วยความจำจะใช้หน่วยความจำคงที่เป็น ${\boldsymbol {\Theta }}(n^{2})$
อย่างไรก็ตาม ขั้นตอนวิธีนี้จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อจำนวนกระบวนการเป็นตัวเลขที่เกิดจากการยกกำลังสอง เมทริกซ์ที่นำมาคูณกันเป็นเมทริกซ์จตุรัส และขนาดของเมทริกซ์หารจำนวนกระบวนการลงตัว

อ้างอิง[แก้]