การแปลงลาปลาส

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในทางคณิตศาสตร์ การแปลงลาปลาส (อังกฤษ: Laplace transform) คือการแปลงเชิงปริพันธ์ที่ใช้กันอย่างกว้างขวาง แสดงอยู่ในรูป การแปลงลาปลาสจะทำให้เกิดความเป็นเชิงเส้นของ f(t) ซึ่งค่า t เป็นอาร์กิวเมนต์จริง(t ≥ 0) จะแปลงไปอยู่ในรูปฟังก์ชัน F(s) โดย s เป็นอาร์กิวเมนต์เชิงซ้อน การแปลงนี้เป็นการทำฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งที่สำคัญมากในการใช้งานในทางปฏิบัติ คู่ฟังก์ชัน f(t) กับ F(s) นั้นจับคู่กันในตาราง การแปลงลาปลาสถูกใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติที่มันมีความสัมพันธ์และการดำเนินการของฟังกันดังเดิม f(t) น้นสอดคล้องกับความสัมพันธ์กับการดำเนินการในรูปของ F(s) การแปลงลาปลาสถูกประยุกต์ใช้ในงานสำคัญมากมายที่เป็นแนวคิดทางวิทยาศาสตร์ สำหรับชื่อลาปลาสนี้มาจากชื่อของปีแยร์-ซีมง ลาปลาส ผู้ที่นำการแปลงนี้ไปใช้ในทฤษฎีความน่าจะเป็น

การแปลงลาปลาสเกี่ยวข้องกับการแปลงฟูรีเย แต่ขณะที่การแปลงฟูรีเยนั้นใช้ในการแก้ฟังก์ชันหรือสัญญาณในโหมดของการสั่นสะเทือน

คุณสมบัติ[แก้]

กำหนดให้ f(t) และ g(t) มีผลการแปลงลาปลาสเป็น F(s) และ G(s) ตามลำดับ:

ตารางต่อไปนี้เป็นตารางคุณสมบัติของการแปลงลาปลาสด้านเดียว (unilateral Laplace transform):

คุณสมบัติของการแปลงลาปลาสด้านเดียว
โดเมนเวลา โดเมน 's' หมายเหตุ
ภาวะเชิงเส้น (Linearity) สามารถพิสูจน์ได้โดยคุณสมบัติความเป็นเชิงเส้นของการหาปริพันธ์ (ปริพันธ์ผลบวกเท่ากับ ปริพันธ์ขององค์ประกอบย่อยของผลบวกนั้น)
อนุพันธ์เชิงความถี่ (Frequency differentiation) เป็นอนุพันธอันดับแรกของ .
อนุพันธ์เชิงความถี่ (Frequency differentiation) รูปแบบทั่วไปของอนุพันธอันดับ nth ของ F(s)
อนุพันธ์ (Differentiation) สมมุติให้ ƒ เป็นฟังก์ชันที่อนุพันธได้ (differentiable function)
อนุพันธอันดับสอง (Differentiation) สมมุติให้ ƒ มีอนุพันธอันดับสอง
อนุพันธอันดับใดๆ (Differentiation) สมมุติให้ ƒ มีอนุพันธอันดับ n ใดๆ
ปริพันธ์เชิงความถี่ (Frequency integration)
ปริพันธ์ Integration คือ ฟังก์ชันขั้นบันไดเฮวิไซด์ (Heaviside step function) และ คือสังวัตนาการ (convolution) ของ และ
การขยายเชิงเวลา (Time scaling)
การเลื่อนเชิงความถี่ (Frequency shifting)
การเลื่อนเชิงเวลา (Time shifting) คือ ฟังก์ชันขั้นบันไดเฮวิไซด์ (Heaviside step function)
การคูณ (Multiplication) การหาปริพันธ์จะกระทำบนแกนแนวดิ่ง ซึ่งอยู่ในขอบเขตการลู่เข้า (region of convergence) ของ F
สังวัตนาการ (Convolution) ในนิยามของการสังวัตนาการ เราสามรถกำหนดให้ ƒ(t) และ g(t) มีค่าเป็นศูนย์ได้ เมื่อ t < 0
สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน (Complex conjugation)
สหสัมพันธ์ไขว้ (Cross-correlation)
ฟังก์ชันคาบ (Periodic Function) เป็น ฟังก์ชันคาบ ของคาบ กล่าวคือ เป็นการรวมการของคุณสมบัติการเลื่อนเชิงเวลาและคุณสมบัติของลำดับเรขาคณิต

เชิงอรรถ[แก้]

  • อาจพบเห็นการสะกดชื่อการแปลงลาปลาสอย่างอื่นเช่น การแปลงลาปลาซ, การแปลงลาพลาส, การแปลงลาพลาซ หรือใช้คำนำหน้าว่า ผลการแปลง–, การแปลงรูป–

อ้างอิง[แก้]

  • Arendt, Wolfgang; Batty, Charles J.K.; Hieber, Matthias; Neubrander, Frank (2002), Vector-Valued Laplace Transforms and Cauchy Problems, Birkhäuser Basel, ISBN 3764365498 .
  • Bracewell, R. N. (2000), The Fourier Transform and Its Applications (3rd ed.), Boston: McGraw-Hill, ISBN 0071160434 .