การแปลงลาปลาส

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในทางคณิตศาสตร์ การแปลงลาปลาส (อังกฤษ: Laplace transform) คือการแปลงเชิงปริพันธ์ที่ใช้กันอย่างกว้างขวาง แสดงอยู่ในรูป \displaystyle\mathcal{L} \left\{f(t)\right\} การแปลงลาปลาสจะทำให้เกิดความเป็นเชิงเส้นของ f(t) ซึ่งค่า t เป็นอาร์กิวเมนต์จริง(t ≥ 0) จะแปลงไปอยู่ในรูปฟังก์ชัน F(s) โดย s เป็นอาร์กิวเมนต์เชิงซ้อน การแปลงนี้เป็นการทำฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งที่สำคัญมากในการใช้งานในทางปฏิบัติ คู่ฟังก์ชัน f(t) กับ F(s) นั้นจับคู่กันในตาราง การแปลงลาปลาสถูกใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติที่มันมีความสัมพันธ์และการดำเนินการของฟังกันดังเดิม f(t) น้นสอดคล้องกับความสัมพันธ์กับการดำเนินการในรูปของ F(s) การแปลงลาปลาสถูกประยุกต์ใช้ในงานสำคัญมากมายที่เป็นแนวคิดทางวิทยาศาสตร์ สำหรับชื่อลาปลาสนี้มาจากชื่อของปีแยร์-ซีมง ลาปลาส ผู้ที่นำการแปลงนี้ไปใช้ในทฤษฎีความน่าจะเป็น

การแปลงลาปลาสเกี่ยวข้องกับการแปลงฟูรีเย แต่ขณะที่การแปลงฟูรีเยนั้นใช้ในการแก้ฟังก์ชันหรือสัญญาณในโหมดของการสั่นสะเทือน

คุณสมบัติ[แก้]

กำหนดให้ f(t) และ g(t) มีผลการแปลงลาปลาสเป็น F(s) และ G(s) ตามลำดับ:

 f(t) = \mathcal{L}^{-1} \{ F(s) \}
 g(t) = \mathcal{L}^{-1} \{ G(s) \}

ตารางต่อไปนี้เป็นตารางคุณสมบัติของการแปลงลาปลาสด้านเดียว (unilateral Laplace transform):

คุณสมบัติของการแปลงลาปลาสด้านเดียว
โดเมนเวลา โดเมน 's' หมายเหตุ
ภาวะเชิงเส้น (Linearity)  a f(t) + b g(t) \  a F(s) + b G(s) \ สามารถพิสูจน์ได้โดยคุณสมบัติความเป็นเชิงเส้นของการหาปริพันธ์ (ปริพันธ์ผลบวกเท่ากับ ปริพันธ์ขององค์ประกอบย่อยของผลบวกนั้น)
อนุพันธ์เชิงความถี่ (Frequency differentiation)  t f(t) \  -F'(s) \ F'\, เป็นอนุพันธอันดับแรกของ F\,.
อนุพันธ์เชิงความถี่ (Frequency differentiation)  t^{n} f(t) \  (-1)^{n} F^{(n)}(s) \ รูปแบบทั่วไปของอนุพันธอันดับ nth ของ F(s)
อนุพันธ์ (Differentiation)  f'(t) \  s F(s) - f(0) \ สมมุติให้ ƒ เป็นฟังก์ชันที่อนุพันธได้ (differentiable function)
อนุพันธอันดับสอง (Differentiation)  f''(t) \  s^2 F(s) - s f(0) - f'(0) \ สมมุติให้ ƒ มีอนุพันธอันดับสอง
อนุพันธอันดับใดๆ (Differentiation)  f^{(n)}(t)  \  s^n F(s) - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0) \ สมมุติให้ ƒ มีอนุพันธอันดับ n ใดๆ
ปริพันธ์เชิงความถี่ (Frequency integration)  \frac{f(t)}{t}  \  \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma \
ปริพันธ์ Integration  \int_0^t f(\tau)\, d\tau  =  (u * f)(t)  {1 \over s} F(s) u(t) คือ ฟังก์ชันขั้นบันไดเฮวิไซด์ (Heaviside step function) และ (u * f)(t) คือสังวัตนาการ (convolution) ของ u(t) และ f(t)
การขยายเชิงเวลา (Time scaling)  f(at) \  \frac{1}{|a|} F \left ( {s \over a} \right )
การเลื่อนเชิงความถี่ (Frequency shifting)  e^{at} f(t)  \  F(s - a) \
การเลื่อนเชิงเวลา (Time shifting)  f(t - a) u(t - a) \  e^{-as} F(s) \ u(t) คือ ฟังก์ชันขั้นบันไดเฮวิไซด์ (Heaviside step function)
การคูณ (Multiplication)  f(t) g(t) \  \frac{1}{2\pi i}\lim_{T\to\infty}\int_{c-iT}^{c+iT}F(\sigma)G(s-\sigma)\,d\sigma \ การหาปริพันธ์จะกระทำบนแกนแนวดิ่ง Re(\sigma)=c ซึ่งอยู่ในขอบเขตการลู่เข้า (region of convergence) ของ F
สังวัตนาการ (Convolution)  (f * g)(t) = \int_0^t f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau  F(s) \cdot G(s) \ ในนิยามของการสังวัตนาการ เราสามรถกำหนดให้ ƒ(t) และ g(t) มีค่าเป็นศูนย์ได้ เมื่อ t < 0
สังยุคของจำนวนเชิงซ้อน (Complex conjugation)  f^*(t)  F^*(s^*)
สหสัมพันธ์ไขว้ (Cross-correlation)  f(t)\star g(t)  F^*(-s^*)\cdot G(s)
ฟังก์ชันคาบ (Periodic Function)  f(t) \ {1 \over 1 - e^{-Ts}} \int_0^T e^{-st} f(t)\,dt f(t) เป็น ฟังก์ชันคาบ ของคาบ T กล่าวคือ f(t) = f(t + T), \; \forall t\ge 0 เป็นการรวมการของคุณสมบัติการเลื่อนเชิงเวลาและคุณสมบัติของลำดับเรขาคณิต

เชิงอรรถ[แก้]

  • อาจพบเห็นการสะกดชื่อการแปลงลาปลาสอย่างอื่นเช่น การแปลงลาปลาซ, การแปลงลาพลาส, การแปลงลาพลาซ หรือใช้คำนำหน้าว่า ผลการแปลง–, การแปลงรูป–

อ้างอิง[แก้]

  • Arendt, Wolfgang; Batty, Charles J.K.; Hieber, Matthias; Neubrander, Frank (2002), Vector-Valued Laplace Transforms and Cauchy Problems, Birkhäuser Basel, ISBN 3764365498 .
  • Bracewell, R. N. (2000), The Fourier Transform and Its Applications (3rd ed.), Boston: McGraw-Hill, ISBN 0071160434 .