การก้าวหน้าเลขคณิต

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ในทางคณิตศาสตร์ การก้าวหน้าเลขคณิต (อังกฤษ: arithmetic progression) หรือ ลำดับเลขคณิต (อังกฤษ: arithmetic sequence) คือลำดับของจำนวนซึ่งมีผลต่างของสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกันในลำดับเป็นค่าคงตัว ตัวอย่างเช่น ลำดับ 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... เป็นการก้าวหน้าเลขคณิตที่มีผลต่างร่วมเท่ากับ 2

ถ้าหากพจน์เริ่มต้นของการก้าวหน้าเลขคณิตลำดับหนึ่งคือ a1 และมีผลต่างร่วมของสมาชิกที่อยู่ติดกันเท่ากับ d ดังนั้นพจน์ที่ n ของลำดับนี้คือ

หรือในกรณีทั่วไป จะได้

หรือเขียนได้ด้วยรูปแบบความสัมพันธ์เวียนเกิด

ผลรวม[แก้]

ผลรวมของสมาชิกในการก้าวหน้าเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต (อังกฤษ: arithmetic series) ซึ่งสามารถนำเสนอได้สองแบบ ได้แก่

รวมสองสมการข้างต้นเข้าด้วยกัน ทุกพจน์ที่เกี่ยวข้องกับ d จะหายไป และเหลือเพียง

จัดรูปแบบใหม่ และในเมื่อเราทราบแล้วว่า ดังนั้นเราจะได้

มีเรื่องเล่ากันว่าเกาส์ได้ค้นพบสูตรนี้ เมื่อครูของเขาสั่งให้ทั้งห้องหาผลบวกของจำนวน 1 ถึง 100 และเขาก็ตอบอย่างรวดเร็วว่า 5,050[ต้องการอ้างอิง]

ผลคูณ[แก้]

ผลคูณของสมาชิกในการก้าวหน้าเลขคณิต โดยเริ่มตั้งแต่พจน์ a1 ไปถึง an ซึ่งมีผลต่างร่วมเท่ากับ d สามารถคำนวณได้จาก

โดยที่สัญลักษณ์ หมายถึงผลคูณลำดับเพิ่ม (rising sequential product) และ แทนฟังก์ชันแกมมา อย่างไรก็ตามสูตรนี้จะใช้งานไม่ได้เมื่อ เป็นจำนวนเต็มลบหรือศูนย์

นี่เป็นรูปแบบทั่วไป ซึ่งเกิดขึ้นจากการคูณสมาชิกของการก้าวหน้าเลขคณิต 1 × 2 × ... × n ที่ได้นิยามไว้แล้วในแฟกทอเรียล n! ดังนั้นผลคูณของลำดับนี้

จะมีค่าเท่ากับ

โดยที่ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก

อ้างอิง[แก้]

  • Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. pp. 259–260. ISBN 0-387-95419-8. 

ดูเพิ่ม[แก้]

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]