ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง

ภาพประกอบสำหรับทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง: ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องนิยามบนช่วงปิด $[a,b]$ แล้วฟังก์ชันนี้จะส่งไปยังค่าทุกค่าที่อยู่ระหว่าง $f(a)$ และ $f(b)$

ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง (อังกฤษ: Intermediate value theorem) เป็นทฤษฎีบทในสาขาการวิเคราะห์เชิงจริง ซึ่งกล่าวว่า ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ที่หาค่าได้บนช่วงปิด $[a,b]$ แล้ว $f$ จะมีค่าได้ทุกค่าระหว่าง $f(a)$ และ $f(b)$

ทฤษฎีบทนี้ให้ภาพความเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องอย่างชัดเจน ฟังก์ชันต่อเนื่องในมุมมองทั่ว ๆ ไป คือฟังก์ชันที่กราฟไม่ขาดตอน ดังนั้นหากฟังก์ชันต่อเนื่องลากเชื่อมสองจุดใด ๆ แล้วเส้นกราฟที่เชื่อมระหว่างจุดทั้งสองต้องลากเส้นแนวนอนที่ขวางระหว่างกลางสองจุดนั้นเสมอ

เนื้อหาของทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง — ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ที่หาค่าได้บนช่วงปิด $[a,b]$ และ $u$ เป็นจำนวนจริงใด ๆ ที่อยู่ระหว่าง $f(a)$ และ $f(b)$ แล้วจะมี $x\in [a,b]$ ที่ทำให้ $f(x)=u$

ความเชื่อมโยงกับความบริบูรณ์ของจำนวนจริง

ทฤษฎีบทนี้สมมูลกับความบริบูรณ์ของระบบจำนวนจริง และไม่เป็นจริงในฟีลด์ที่ไม่มีสมบัติความบริบูรณ์ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน $f(x)=x^{2}-2$ ที่นิยามบน $\mathbb {Q}$ สอดคล้องกับสมการ $f(0)=-2$ และ $f(2)=2$ แต่ไม่มีจำนวนตรรกยะ $x$ ใดที่สอดคล้องกับ $f(x)=0$ ทั้งนี้เพราะว่า ${\sqrt {2}}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

พิสูจน์

บทพิสูจน์นี้อาศัยความบริบูรณ์ของจำนวนจริง

พิสูจน์ —

เราจะพิสูจน์ในกรณีที่ $f(a)<u<f(b)$ สำหรับกรณีอื่น ๆ ทำได้เช่นกัน

ให้ $S$ เป็นเซตของจำนวน $x\in [a,b]$ ทั้งหมดที่ซึ่ง $f(x)\leq u$ แล้ว $S$ จะไม่เป็นเซตว่างเพราะมี $a$ เป็นสมาชิก นอกจากนี้ $S$ มีขอบเขตบนคือ $b$

จากสมบัติความบริบูรณ์ของจำนวนจริง จะได้ว่า $S$ มีขอบเขตบนน้อยสุด จึงให้แทนด้วย $\sup S=c$

จะพิสูจน์ว่า $f(c)=u$ แล้วจะได้ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง

ให้ $\varepsilon >0$ เป็นจำนวนจริงใด ๆ เนื่องจาก $f$ ต่อเนื่อง ดังนั้นจะมี $\delta >0$ ที่ทำให้ $|f(x)-f(c)|<\varepsilon$ ทุกค่า $|x-c|<\delta$ ดังนั้นจะได้ว่า

$f(x)-\varepsilon <f(c)<f(x)+\varepsilon$ สำหรับทุก $x\in (c-\delta ,c+\delta )$

โดยอาศัยสมบัติของขอบเขตบนน้อยสุด จะมี $a^{*}\in (c-\delta ,c]$ ที่อยู่ใน $S$ และทำให้

$f(c)<f(a^{*})+\varepsilon \leq u+\varepsilon$.

เช่นกัน จะมี $a^{**}\in (c,c+\delta )$ ที่สอดคล้องกับ $a^{**}\not \in S$ เพราะ $c$ เป็นค่าขอบเขตบนน้อยสุดของ $S$

จึงได้

$f(c)>f(a^{**})-\varepsilon \ >u-\varepsilon$.

จากทั้งสองอสมการเราพบว่า

$u-\varepsilon <f(c)<u+\varepsilon$

เป็นจริงสำหรับทุก $\varepsilon >0$ ซึ่งทำให้ได้ว่า $f(c)=u$ ตามต้องการ

มีบทพิสูจน์แบบอื่นที่อาศัยวิธีการผ่าครึ่ง (Bisection method) ซึ่งนำไปสู่ขั้นตอนวิธีการหารากโดยใช้วิธีการผ่าครึ่ง

หมายเหตุ: ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลางสามารถพิสูจน์ได้ในการวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐาน ซึ่งใช้แนวความคิดเกี่ยวกับกณิกนันต์อย่างรัดกุม

บทแทรก

ทฤษฎีบทต่อนี้เป็นผลโดยทันทีจากทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง

• ทฤษฎีบทของบ็อลท์ซาโน (Bolzano's theorem): ถ้าฟังก์ชันต่อเนื่องเปลี่ยนเครื่องหมายบนช่วงใด แล้วฟังก์ชันนั้นจะมีรากในช่วงนั้น
• ภาพของฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงใด จะเป็นช่วงด้วย

ดูเพิ่ม

• ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
• ทฤษฎีบทจุดตรึงของเบราว์เออร์

ลิงก์เพิ่มเติม

• บทพิสูจน์ใน Mizar system: http://mizar.org/version/current/html/topreal5.html#T4