กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ภาพแสดงกฎ 3 ข้อของเคปเลอร์ที่มีวงโคจรดาวเคราะห์ 2 วง (1) วงโคจรเป็นวงรีด้วยจุดโฟกัส f1 และ f2 สำหรับดาวเคราะห์ดวงแรกและ f1 และ f3 สำหรับดาวเคราะห์ดวงที่ 2 ดวงอาทิตย์อยู่ที่จุด f1 (2) ส่วนแรเงา 2 ส่วน A1 และ A2 มีผิวพื้นเท่ากันและเวลาที่ดาวเคราะห์ 1 ทับพื้นที่ A1 เท่ากับเวลาที่ทับพื้นที่ A2. (3) เวลารวมของวงโคจรสำหรับดาวเคราะห์ 1 และดาวเคราะห์ 2 มีสัดส่วนเท่ากับ a1^{3/2}:a2^{3/2}.

กฎการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ของเคปเลอร์ (อังกฤษ: Kepler's laws of planetary motion) คือกฎทางคณิตศาสตร์ 3 ข้อที่กล่าวถึงการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์ในระบบสุริยะ นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อ โยฮันเนส เคปเลอร์ (พ.ศ. 2114พ.ศ. 2173) เป็นผู้ค้นพบ

เคปเลอร์ได้ศึกษาการสังเกตการณ์ของนักดาราศาสตร์ผู้มีชื่อเสียงชาวเดนมาร์กชื่อไทโค บราห์ (Tycho Brahe) โดยประมาณ พ.ศ. 2148 เคปเลอร์พบว่าการสังเกตตำแหน่งของดาวเคราะห์ของบราห์เป็นไปตามกฎง่ายๆ ทางคณิตศาสตร์

กฎของเคปเลอร์ท้าทายดาราศาสตร์สายอริสโตเติลและสายทอเลมีและกฎทางฟิสิกส์ในขณะนั้น เคปเลอร์ยืนยันว่าโลกเคลื่อนที่เป็นวงรีมากกว่าวงกลม และยังได้พิสูจน์ว่าความเร็วการเคลื่อนที่มีความผันแปรด้วย ซึ่งเป็นการเปลี่ยนแปลงความรู้ทางดาราศาสตร์และฟิสิกส์ อย่างไรก็ดี คำอธิบายเชิงฟิสิกส์เกี่ยวกับพฤติกรรมของดาวเคราะห์ก็ได้ปรากฏชัดเจนได้ในอีกเกือบศตวรรษต่อมา เมื่อไอแซก นิวตันสามารถสรุปกฎของเคปเลอร์ได้ว่าเข้ากันกับกฎการเคลื่อนที่และกฎความโน้มถ่วงสากลของนิวตันเองโดยใช้วิชาแคลคูลัสที่เขาคิดสร้างขึ้น รูปจำลองแบบอื่นที่นำมาใช้มักให้ผลผิดพลาด

กฎ 3 ข้อของเคปเลอร์[แก้]

  1. วงโคจรของดาวเคราะห์ทุกดวงเป็นวงรี โดยมีดวงอาทิตย์เป็นจุดศูนย์กลางจุดหนึ่ง วงรีเกิดจากการมีจุดศูนย์กลาง 2 ศูนย์ ดังภาพ ดังนั้นเคปเลอร์จึงคัดค้านความเชื่อในแนวของอริสโตเติล ปโตเลมีและโคเปอร์นิคัสที่ว่าวงโคจรเป็นวงกลม
  2. ในขณะที่ดาวเคราะห์เคลื่อนไปในวงโคจร เส้นตรงที่เชื่อมระหว่างดาวเคราะห์กับดวงอาทิตย์กวาดพื้นที่เท่า ๆ กันในระยะเวลาเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าดาวเคราะห์โคจรเร็วกว่าเมื่ออยู่ใกล้ดวงอาทิตย์และช้าลงเมื่ออยู่ห่างดวงอาทิตย์ ด้วยกฎข้อนี้ เคปเลอร์ได้ล้มทฤษฎีดาราศาสตร์อริสโตเติลที่ว่าดาวเคราะห์เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่
  3. กำลังสองของคาบการโคจรของดาวเคราะห์เป็นสัดส่วนโดยตรงกับกำลังสามของกึ่งแกนเอก (ครึ่งหนึ่งของความยาววงรี) ของวงโคจร ซึ่งหมายความว่า ไม่เพียงแต่วงโคจรที่ใหญ่กว่าเท่านั้นที่มีระยะเวลานานกว่า แต่อัตราความเร็วของดาวเคราะห์ที่มีวงโคจรทีใหญ่กว่านั้นก็โคจรช้ากว่าวงโคจรที่เล็กกว่าอีกด้วย

กฎของเคปเลอร์ได้แสดงไว้ข้างล่าง และเป็นกฎที่มาจากกฎของนิวตันที่ใช้พิกัดขั้วศูนย์สุริยะ (heliocentric polar coordinate) \ (r,\theta) อย่างไรก็ตาม กฎของเคปเลอร์ยังสามารถเขียนอย่างอื่นได้โดยใช้พิกัดคาร์ทีเซียน (Cartesian coordinates) [1]

รายละเอียดทางคณิตศาสตร์[แก้]

กฎข้อที่ 1[แก้]

กฎเคปเลอร์ข้อที่ 1

กฎข้อแรกกล่าวว่า “วงโคจรของดาวเคราะห์ทุกดวงเป็นรูปวงรีที่มีดวงอาทิตย์เป็นจุดโฟกัสจุดหนึ่ง"

คณิตศาสตร์ของวงรีเป็นดังนี้

สมการคือ

r=\frac{p}{1+\epsilon\cdot\cos\theta}

โดยที่ p คือ กึ่งเลตัสเรกตัม (semi latus rectum) และ ε คือ ความเยื้องศูนย์กลาง (eccentricity) ซึ่งมีค่ามากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ และน้อยกว่าหนึ่ง

เมื่อ θ=0° ดาวเคราะห์จะอยู่ที่จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด

r_\mathrm{min}=\frac{p}{1+\epsilon}

เมื่อ θ=90°: r=p และเมื่อ θ=180° ดาวเคราห์จะอยู่ที่จุดไกลดวงอาทิตย์ที่สุด:

r_\mathrm{max}=\frac{p}{1-\epsilon}

กึ่งแกนเอกของวงรี a คือมัชฌิมเลขคณิตของ rmin และ rmax:

a=\frac{p}{1-\epsilon^2}

กึ่งแกนโทของวงรี b คือมัชฌิมเรขาคณิตของ rmin และ rmax:

b=\frac p{\sqrt{1-\epsilon^2}}

นอกจากนี้ยังเป็นมัชฌิมเรขาคณิตระหว่างกึ่งแกนเอกกับกึ่งเลตัสเรกตัม

\frac a b=\frac b p

กฎข้อที่ 2[แก้]

ภาพแสดงกฎเคปเลอร์ข้อที่ 2

กฎข้อที่ 2 “เส้นตรงที่เชื่อมระหว่างดาวเคราะห์กับดวงอาทิตย์ กวาดพื้นที่เท่า ๆ กันในระยะเวลาเท่ากัน” [2]

กฎนี้รู้จักในอีกชื่อหนึ่งที่ว่ากฎพื้นที่เท่า ซึ่งเป็นผลสืบเนื่องโดยตรงจากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม (law of conservation of angular momentum) โปรดดูการการอนุพัทธ์ดังภาพ

การคำนวณมี 4 ขั้นดังนี้

1. คำนวณ มุมกวาดเฉลี่ย (mean anomaly) M จากสูตร
M=\frac{2\pi t}{P}
2. คำนวณ มุมกวาดเยื้องศูนย์กลาง eccentric anomaly E โดยการแก้ สมการของเคปเลอร์:
\ M=E-\epsilon\cdot\sin E
3. คำนวณ มุมกวาดจริง (true anomaly) θ โดยใช้สมการ:
\tan\frac \theta 2 = \sqrt{\frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}}\cdot\tan\frac E 2
4. คำนวณ ระยะห่างศูนย์สุริยะ (heliocentric distance) r จากกฎข้อแรก:
r=\frac p {1+\epsilon\cdot\cos\theta}

กฎข้อที่ 3[แก้]

กฎข้อที่ 3 “กำลังสองของคาบการโคจรของดาวเคราะห์เป็นสัดส่วนโดยตรงกับกำลังสามของกึ่งแกนเอกของวงโคจร” ดังนั้น ไม่เพียงความยาววงโคจรจะเพิ่มด้วยระยะทางแล้ว ความเร็วของการโคจรจะลดลงด้วย การเพิ่มของระยะเวลาการโคจรจึงเป็นมากกว่าการเป็นสัดส่วน

P^2 \propto a^3
P = คาบการโคจรของดาวเคราะห์
a = แกนกึ่งเอกของวงโคจร

ดังนั้น P2·a–3 มีค่าเหมือนกันสำหรับดาวเคราะห์ทุกดวงในระบบสุริยะรวมทั้งโลก เมื่อหน่วยหนึ่งถูกเลือก เช่น P ที่วัดเป็นปีดาราคติ (sidereal year) และ a ในหน่วยดาราศาสตร์ (astronomical unit) P2·a–3 มีค่า 1 สำหรับดาวเคราะห์ทุกดวงในระบบสุริยะ ในหน่วยเอสไอ: \frac{P^{2}}{a^{3}} = 3.00\times 10^{-19} \frac{s^{2}}{m^{3}} \pm \ 0.7%\,

ตำแหน่งในฟังก์ชันของเวลา[แก้]

Anomalies.svg

ปัญหาเคปเลอร์อนุมานการโคจรวงรีและจุด 4 จุด:

  • s ดวงอาทิตย์ (ณ โฟกัสหนึ่งของวงรี);
  • z จุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด
  • c ศูนย์กลางของวงรี
  • p ดาวเคราะห์

และ

\ a=|cz|, semimajor axis ระยะจากศูนย์กลางถึงจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด นั่นคือกึ่งแกนเอก
\ \varepsilon={|cs|\over a}, ความเยื้องศูนย์กลาง
\ b=a\sqrt{1-\varepsilon^2}, กึ่งแกนโท
\ r=|sp| , ระยะจากดวงอาทิตย์ถึงดาวเคราะห์
\nu=\angle zsp, ตำแหน่งดาวเคราะห์ตามที่เห็นจากดวงอาทิตย์ นั่นคือ มุมกวาดจริง

ปัญหาคือการคำนวณพิกัดเชิงขั้ว (r,ν) ของดาวเคราะห์จากเวลานับตั้งแต่ดาวเคราะห์ผ่านจุดใกล้ดวงอาทิตย์ที่สุด, t

|zsx|=\frac a b \cdot|zsp| \ |zcy|=|zsx| และ

M=\angle zcy, y จากที่เห็นจากศูนย์กลาง นั่นคือมุมกวาดเฉลี่ย

\ |zcy| = \frac{a^2 M}2</math:<math>|zsp|=\frac b a \cdot|zsx|=\frac b a \cdot|zcy|=\frac b a\cdot\frac{a^2 M}2 = \frac {a b M}{2} ,

M={2 \pi t \over T},

โดย T คือคาบการโคจร

\ |zcy|=|zsx|=|zcx|-|scx|
\frac{a^2 M}2=\frac{a^2 E}2-\frac {a\varepsilon\cdot a\sin E}2

Division by a²/2 gives Kepler's equation

M=E-\varepsilon\cdot\sin E.
E\approx M+\left(\varepsilon-\frac18\varepsilon^3\right)\sin M+\frac12\varepsilon^2\sin 2M+\frac38\varepsilon^3\sin 3M+ \cdots
a\cdot\cos E=a\cdot\varepsilon+r\cdot\cos \nu.
\ \frac r a =\frac{1-\varepsilon^2}{1+\varepsilon\cdot\cos \nu}

to get

\cos E
=\varepsilon+\frac{1-\varepsilon^2}{1+\varepsilon\cdot\cos \nu}\cdot\cos \nu
=\frac{\varepsilon\cdot(1+\varepsilon\cdot\cos \nu)+(1-\varepsilon^2)\cdot\cos \nu}{1+\varepsilon\cdot\cos \nu}
=\frac{\varepsilon +\cos \nu}{1+\varepsilon\cdot\cos \nu}.
\tan^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}.

จะได้

\tan^2\frac{E}{2}
=\frac{1-\cos E}{1+\cos E}
=\frac{1-\frac{\varepsilon+\cos \nu}{1+\varepsilon\cdot\cos \nu}}{1+\frac{\varepsilon+\cos \nu}{1+\varepsilon\cdot\cos \nu}}
=\frac{(1+\varepsilon\cdot\cos \nu)-(\varepsilon+\cos \nu)}{(1+\varepsilon\cdot\cos \nu)+(\varepsilon+\cos \nu)}
=\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}\cdot\frac{1-\cos \nu}{1+\cos \nu}=\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}\cdot\tan^2\frac{\nu}{2}.

คูณด้วย (1+ε)/(1−ε) และใส่รากที่สอง จะได้ผลลัพธ์

\tan\frac \nu2=\sqrt\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}\cdot\tan\frac E2.

ในขั้นที่สามนี้เราจะได้ความเชื่อมโยงกันระหว่างเวลากับตำแหน่งในวงโคจร

ขั้นที่สี่คือการคำนวณระยะห่างศูนย์สุริยะ r จากมุมกวาดจริง ν ด้วยกฎข้อแรกของเคปเลอร์:

\ r=a\cdot\frac{1-\varepsilon^2}{1+\varepsilon\cdot\cos \nu}.

การอนุพัทธ์ (Derivation) กฎของนิวตัน[แก้]

การอนุพัทธ์ของกฎเคปเลอร์ข้อที่ 2[แก้]

 m\cdot\ddot\mathbf{r} = \frac{M\cdot m}{r^2}\cdot(-\hat{\mathbf{r}})\cdot G


 \dot\hat{\mathbf{r}} = \dot\theta \hat{\boldsymbol\theta}

where  \hat{\boldsymbol\theta} is the tangential unit vector, and

 \dot\hat{\boldsymbol\theta} = -\dot\theta \hat{\mathbf{r}}.

So the position vector

\mathbf{r} = r \hat{\mathbf{r}}

is differentiated twice to give the velocity vector and the acceleration vector

\dot\mathbf{r} =\dot r \hat\mathbf{r} + r \dot\hat\mathbf{r}
=\dot r \hat{\mathbf{r}} + r \dot\theta \hat{\boldsymbol\theta},
\ddot\mathbf{r}
= (\ddot r \hat{\mathbf{r}} +\dot r \dot\hat{\mathbf{r}} )
+ (\dot r\dot\theta \hat{\boldsymbol\theta} + r\ddot\theta \hat{\boldsymbol\theta}
+ r\dot\theta \dot\hat{\boldsymbol\theta})
= (\ddot r - r\dot\theta^2) \hat{\mathbf{r}} + (r\ddot\theta + 2\dot r \dot\theta) \hat{\boldsymbol\theta}.

Note that for constant distance, \ r, the planet is subject to the centripetal acceleration, r\dot\theta^2, and for constant angular speed, \dot\theta, the planet is subject to the coriolis acceleration, 2\dot r \dot\theta.

Inserting the acceleration vector into Newton's laws, and dividing by m, gives the vector equation of motion

 (\ddot r - r\dot\theta^2) \hat{\mathbf{r}} + (r\ddot\theta + 2\dot r \dot\theta) \hat{\boldsymbol\theta}= -GMr^{-2}\hat{\mathbf{r}}

Equating component, we get the two ordinary differential equations of motion, one for the radial acceleration and one for the tangential acceleration:

\ddot r - r\dot\theta^2 = -GMr^{-2},
r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta = 0.

\ r \dot\theta:

\frac{\ddot\theta}{\dot\theta} +2\frac{\dot r}{r}=0

and integrate:

\log\dot\theta +2\log r = \log\ell,

where \log\ell is a constant of integration, and exponentiate:

 r^2\dot \theta =\ell .

This says that the specific angular momentum  r^2 \dot \theta is a constant of motion, even if both the distance \ r and the angular speed \dot\theta vary.

The area swept out from time t1 to time t2,

\ \int_{t_1}^{t_2}\frac 1 2 \cdot base\cdot height\cdot dt = \int_{t_1}^{t_2}\frac 1 2 \cdot r\cdot r\dot \theta\cdot dt=\frac 1 2 \cdot\ell \cdot(t_2-t_1)

depends only on the duration t2t1. This is Kepler's second law.

การอนุพัทธ์ของกฎเคปเลอร์ข้อที่ 1[แก้]

p=\ell ^2 G^{-1}M^{-1}
\ u =pr^{-1}

and get

-GMr^{-2}=-\ell^2 p^{-3}u^{2}

and

\ \dot \theta =\ell r^{-2}=\ell p^{-2}u^2.
\ \dot X=\frac {dX}{d \theta}\cdot \dot\theta=\frac {dX}{d \theta}\cdot\ell p^{-2}u^2.

Differentiate

\ r =pu^{-1}

twice:

\dot r = \frac{d(pu^{-1})}{d\theta}\cdot\ell p^{-2}u^{2} = -pu^{-2}\frac{du}{d\theta}\cdot\ell p^{-2}u^{2}= -\ell p^{-1}\frac{du}{d\theta}
\ddot r = \frac{d\dot r}{d\theta}\cdot\ell p^{-2}u^{2}= \frac{d}{d\theta}(-\ell p^{-1}\frac{du}{d\theta})\cdot\ell p^{-2}u^{2}= -\ell^2 p^{-3}u^{2}\frac{d^2 u}{d\theta^2}

Substitute into the radial equation of motion

\ddot r - r\dot\theta^2 = -GMr^{-2}

and get

(-\ell^2 p^{-3}u^2\frac{d^2u}{d\theta^2}) - (pu^{-1})(\ell p^{-2}u^2)^2 = -\ell ^2 p^{-3} u^2

Divide by -\ell^2 p^{-3}u^2

\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = 1 .


\ u = 1.
\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = 0

These solutions are

\ u = \epsilon\cdot\cos(\theta-A)

where \ \epsilon and \ A are arbitrary constants of integration. So the result is

\ u = 1+ \epsilon\cdot\cos(\theta-A)

Choosing the axis of the coordinate system such that \ A=0, and inserting \ u=pr^{-1}, gives:

\ pr^{-1 } = 1+ \epsilon\cdot\cos\theta .

If \ \epsilon<1 , this is Kepler's first law.

กฎเคปเลอร์ข้อที่ 3[แก้]

T^2 = \frac{4\pi^2}{GM} \cdot r^3

where:


T^2 = \frac{4\pi^2}{G(M + m)} \cdot a^3

โดย:


\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot(1-\epsilon)a\cdot V_A\,dt= \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot(1+\epsilon)a\cdot V_B\,dt
(1-\epsilon)\cdot V_A=(1+\epsilon)\cdot V_B
V_A=V_B\cdot\frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}


\frac{mV_A^2}{2}-\frac{GmM}{(1-\epsilon)a} =\frac{mV_B^2}{2}-\frac{GmM}{(1+\epsilon)a}
\frac{V_A^2}{2}-\frac{V_B^2}{2} =\frac{GM}{(1-\epsilon)a}-\frac{GM}{(1+\epsilon)a}
\frac{V_A^2-V_B^2}{2}=\frac{GM}{a}\cdot \left ( \frac{1}{(1-\epsilon)}-\frac{1}{(1+\epsilon)} \right )
\frac{\left ( V_B\cdot\frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}\right ) ^2-V_B^2}{2}=\frac{GM}{a}\cdot \left ( \frac{1+\epsilon-1+\epsilon}{(1-\epsilon)(1+\epsilon)} \right )
V_B^2 \cdot \left ( \frac{1+\epsilon}{1-\epsilon}\right ) ^2-V_B^2=\frac{2GM}{a}\cdot \left ( \frac{2\epsilon}{(1-\epsilon)(1+\epsilon)} \right )
V_B^2 \cdot \left ( \frac{(1+\epsilon)^2-(1-\epsilon)^2}{(1-\epsilon)^2}\right )=\frac{4GM\epsilon}{a\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)}
V_B^2 \cdot \left ( \frac{1+2\epsilon+\epsilon^2-1+2\epsilon-\epsilon^2}{(1-\epsilon)^2} \right) =\frac{4GM\epsilon}{a\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)}
V_B^2 \cdot 4\epsilon =\frac{4GM\epsilon\cdot (1-\epsilon)^2}{a\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)}
V_B =\sqrt{\frac{GM\cdot(1-\epsilon)}{a\cdot(1+\epsilon)}}.
\frac{dA}{dt}=\frac{\frac{1}{2}\cdot(1+\epsilon)a\cdot V_B \,dt}{dt}= \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot(1+\epsilon)a\cdot V_B
= \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot(1+\epsilon)a\cdot \sqrt{\frac{GM\cdot(1-\epsilon)}{a\cdot(1+\epsilon)}} = 
 \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot\sqrt{GMa\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)}
T\cdot \frac{dA}{dt}=\pi a \sqrt{(1-\epsilon^2)}a
T\cdot \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot\sqrt{GMa\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)}=\pi \sqrt{(1-\epsilon^2)}a^2
T=\frac{2\pi \sqrt{(1-\epsilon^2)}a^2}{\sqrt{GMa\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)}} =\frac{2\pi a^2}{\sqrt{GMa}}= 
\frac{2\pi}{\sqrt{GM}}\sqrt{a^3}
T^2=\frac{4\pi^2}{GM}a^3.


T^2=\frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3.

Q.E.D.

อ้างอิง[แก้]

  1. Hyman, Andrew. "A Simple Cartesian Treatment of Planetary Motion", European Journal of Physics, Vol. 14, pp. 145-147 (1993).
  2. "Kepler's Second Law" by Jeff Bryant with Oleksandr Pavlyk, The Wolfram Demonstrations Project.

See also[แก้]

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]

  • Crowell, Benjamin, Conservation Laws, http://www.lightandmatter.com/area1book2.html, an online book that gives a proof of the first law without the use of calculus. (see section 5.2, p.112)
  • David McNamara and Gianfranco Vidali, Kepler's Second Law -JAVA Interactive Tutorial, http://www.phy.syr.edu/courses/java/mc_html/kepler.html, an interactive JAVA applet that aids in the understanding of Kepler's Second Law.
  • University of Tennessee's Dept. Physics & Astronomy: Astronomy 161 page on Johannes Kepler: The Laws of Planetary Motion [1]
  • Equant compared to Kepler: interactive model [2]
  • Kepler's Third Law:interactive model[3]