ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มา"

เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม

ในบรรทัด

รุ่นแก้ไขเมื่อ 01:56, 30 มิถุนายน 2564

ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มา (อังกฤษ: Fermat's little theorem) กล่าวว่า ถ้า $p$ เป็นจำนวนเฉพาะแล้ว $a^{p}-a$ จะเป็นพหุคูณของ $p$ สำหรับทุกจำนวนเต็ม $a$ หรือเขียนในรูปเลขคณิตมอดุลาร์ได้เป็น

a^{p}\equiv a{\pmod {p}}\,\!

ตัวอย่างเช่น เมื่อ $a=2$ และ $p=7$ พบว่า $2^{7}-2=128-2=126=7\times 18$ ดังนั้น $2^{7}-2$ จึงเป็นพหุคูณของ 7

ทฤษฎีบทนี้กล่าวอีกแบบหนึ่งได้ว่า ถ้า $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ และ $a$ เป็นจำนวนเต็มที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ $p$ แล้ว จะได้ว่า

a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}\,\!

ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาเป็นพื้นฐานของการทดสอบจำนวนเฉพาะของแฟร์มา และเป็นผลลัพธ์พื้นฐานในทฤษฎีจำนวน ทฤษฎีบทนี้ได้ชื่อตาม ปีแยร์ เดอ แฟร์มา ผู้ได้เสนอทฤษฎีบทนี้ในปี ค.ศ. 1640 และได้ชื่อว่าเป็น "ทฤษฎีบทเล็ก" เพื่อแยกแยะให้แตกต่างกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา^[1]

บทพิสูจน์

ปีแยร์ เดอ แฟร์มาได้ตั้งทฤษฎีบทนี้ในจดหมายจากเขาถึง เฟรนิเกล เดอ เบสซี โดยไม่ได้ให้บทพิสูจน์ไว้ จดหมายฉบับนั้นลงวันที่ 18 ตุลาคม ค.ศ. 1640 ต่อมา กอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ ได้เขียนบทพิสูจน์ไว้โดยไม่ได้ตีพิมพ์และไม่ลงวันที่ รู้เพียงว่าเขาพิสูจน์ได้ก่อน ค.ศ. 1683^[1] ออยเลอร์เป็นคนแรกที่ติพิมพ์บทพิสูจน์ของทฤษฎีบทนี้ในปี ค.ศ. 1736^[2]

บทพิสูจน์ด้านล่าง^[3] เป็นบทพิสูจน์สำหรับรูปแบบหนึ่งของทฤษฎีบทดังกล่าวที่ว่า: ถ้า $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ และ $a$ เป็นจำนวนเต็มที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ $p$ แล้ว จะได้ว่า $a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}\,\!$

พิสูจน์ —

สมมติให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ และ $a$ เป็นจำนวนเต็มที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ $p$

แนวคิดของบทพิสูจน์อาศัยข้อสังเกตที่ว่า ลำดับของจำนวนเต็มต่อไปนี้

a,2a,3a,\dotsc ,(p-1)a

เป็นลำดับเดียวกับ $1,2,3,\dotsc ,p-1$ ในมอดุโล $p$ แต่ต่างกันแค่การเรียงลำดับเท่านั้น

เพื่อพิสูจน์ข้อความข้างต้น เราสังเกตว่า จำนวนทุกตัวในลำดับ $a,2a,3a,\dotsc ,(p-1)a$ ไม่มีจำนวนใดคอนกรูเอนซ์กับ 0 ในมอดุโล $p$ ซึ่งเห็นได้ชัดจากการที่ทุกจำนวน $k$ ในลำดับ $1,2,3,\dotsc ,p-1$ ไม่มีตัวประกอบร่วมกันกับ $p$ และ $a$ ก็ไม่มีตัวประกอบร่วมกับกับ $p$ ด้วย ดังนั้นผลคูณ $ka$ ไม่มีตัวประกอบร่วมกันกับ $p$ (ดูเพิ่มที่ บทตั้งของยุคลิด)

ต่อไป เราพิสูจน์ว่าทุกสมาชิกในลำดับ $a,2a,3a,\dotsc ,(p-1)a$ แตกต่างกันทั้งหมดในมอดุโล $p$

สมมติให้ $k$ และ $m$ เป็นจำนวนเต็มในลำดับ $1,2,3,\dotsc ,p-1$ ที่ทำให้ $ka\equiv ma{\pmod {p}}$

จากสมบัติการตัดออกในเลขคณิตมอดุลาร์จะได้

$k\equiv m{\pmod {p}}$

แต่จาก

k,m

มีค่าอยู่ในช่วง

1,2,3,\dotsc ,p-1

จึงบังคับให้

k=m

เท่านั้น

จากการพิสูจน์ข้างต้น เมื่อลดทอนลำดับ $a,2a,3a,\dotsc ,(p-1)a$ ในมอดุโล $p$ จะต้องแตกต่างกันทั้งหมด แต่เนื่องจาก $a,2a,3a,\dotsc ,(p-1)a$ เป็นลำดับที่มีสมาชิกทั้งหมด $p-1$ ตัวที่แตกต่างกันทั้งหมด ดังนั้นเมื่อลดทอนแล้วจะต้องได้เป็นการเรียงลำดับใหม่ของ $1,2,3,\dotsc ,p-1$ เท่านั้น

จึงทำให้ได้ว่า

${\begin{aligned}\displaystyle a\times 2a\times 3a\times \dotsb \times (p-1)a&\equiv 1\times 2\times 3\times \dotsb \times (p-1){\pmod {p}}\\a^{p-1}(p-1)!&\equiv (p-1)!{\pmod {p}}\end{aligned}}$

และจาก

(p-1)!

เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ

p

จึงส่งผลให้สามารถตัดออกจากทั้งสองข้างของสมการคอนกรูเอนซ์ได้ จึงสรุปได้ว่า

a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}

บทพิสูจน์ข้างต้น ค้นพบโดย James Ivory^[4] ก่อนจะถูกค้นพบใหม่ในภายหลังโดย ดีรีเคล^[5] นอกจากนี้ยังมีบทพิสูจน์ในรูปแบบอื่น ๆ เช่น พิสูจน์จากทฤษฎีบทของออยเลอร์ ใช้วิธีการทางคอมบินาทอริกส์^[6] หรือทางทฤษฎีกรุป^[7]

จำนวนเฉพาะเทียม

ถ้า $a$ และ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน และทำให้ $\,a^{p-1}-1$ หารด้วย $p$ ลงตัว แล้ว $p$ ไม่จำเป็นจะต้องจำนวนเฉพาะเสมอไป ถ้า $p$ ไม่เป็นจำนวนเฉพาะในกรณีดังกล่าว เราจะเรียก $p$ ว่าเป็น จำนวนเฉพาะเทียม (pseudoprime) ฐาน $a$ ใน ค.ศ. 1820 F. Sarrus พบว่า $341=11\times 31$ เป็นจำนวนเฉพาะเทียมฐาน 2 ตัวแรก

จำนวนเต็ม $p$ ที่เป็นจำนวนเฉพาะเทียมฐาน $a$ สำหรับทุกจำนวนเต็ม $a$ ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ $p$ เรียกว่า จำนวนคาร์ไมเคิล (Carmichael number) ตัวอย่างจำนวนคาร์ไมเคิล เช่น 561

อ้างอิง

↑ ^1.0 ^1.1 Burton, David M. (2011). The history of mathematics : an introduction (7th ed ed.). New York: McGraw-Hill. p. 514. ISBN 978-0-07-338315-6. OCLC 476835570. {{cite book}}: |edition= has extra text (help)
↑ Ore, Øystein (1988). Number theory and its history. New York: Dover. p. 273. ISBN 0-486-65620-9. OCLC 17413345.
↑ Hardy, G. H. (2008). An introduction to the theory of numbers. E. M. Wright, D. R. Heath-Brown, Joseph H. Silverman (6th ed. ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921985-8. OCLC 214305907. {{cite book}}: |edition= has extra text (help)
↑ Ivory, James (1806), "Demonstration of a theorem respecting prime numbers", New Series of the Mathematical Depository, 1 (II): 6–8
↑ Lejeune Dirichlet, Peter Gustav (1828), "Démonstrations nouvelles de quelques théorèmes relatifs aux nombres", Journal für die reine und angewandte Mathematik (ภาษาฝรั่งเศส), 3: 390–393
↑ Golomb, S. W. (1956). "Combinatorial Proof of Fermat's "Little" Theorem". The American Mathematical Monthly. 63 (10): 718–718. doi:10.2307/2309563. ISSN 0002-9890.
↑ Weil, André (1979). Number Theory for Beginners (ภาษาอังกฤษ). New York, NY: Springer New York. doi:10.1007/978-1-4612-9957-8. ISBN 978-0-387-90381-1.

[:0-1] 1.0 ^1.1 Burton, David M. (2011). The history of mathematics : an introduction (7th ed ed.). New York: McGraw-Hill. p. 514. ISBN 978-0-07-338315-6. OCLC 476835570. {{cite book}}: |edition= has extra text (help)

[2] Ore, Øystein (1988). Number theory and its history. New York: Dover. p. 273. ISBN 0-486-65620-9. OCLC 17413345.

[3] Hardy, G. H. (2008). An introduction to the theory of numbers. E. M. Wright, D. R. Heath-Brown, Joseph H. Silverman (6th ed. ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921985-8. OCLC 214305907. {{cite book}}: |edition= has extra text (help)

[4] Ivory, James (1806), "Demonstration of a theorem respecting prime numbers", New Series of the Mathematical Depository, 1 (II): 6–8

[5] Lejeune Dirichlet, Peter Gustav (1828), "Démonstrations nouvelles de quelques théorèmes relatifs aux nombres", Journal für die reine und angewandte Mathematik (ภาษาฝรั่งเศส), 3: 390–393

[6] Golomb, S. W. (1956). "Combinatorial Proof of Fermat's "Little" Theorem". The American Mathematical Monthly. 63 (10): 718–718. doi:10.2307/2309563. ISSN 0002-9890.

[7] Weil, André (1979). Number Theory for Beginners (ภาษาอังกฤษ). New York, NY: Springer New York. doi:10.1007/978-1-4612-9957-8. ISBN 978-0-387-90381-1.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

@@ บรรทัด 1: / บรรทัด 1: @@
+'''ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มา''' ({{lang-en|Fermat's little theorem}}) กล่าวว่า ถ้า <math>p</math> เป็น[[จำนวนเฉพาะ]]แล้ว <math>a^p - a</math> จะเป็นพหุคูณของ <math>p</math> สำหรับทุก[[จำนวนเต็ม]] <math>a</math> หรือเขียนในรูป[[เลขคณิตมอดุลาร์]]ได้เป็น
-{{ต้องการอ้างอิง}}
-'''ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มา''' ({{lang-en|Fermat's little theorem}}) กล่าวว่า ถ้า <math>p</math> เป็น[[จำนวนเฉพาะ]]แล้ว สำหรับ[[จำนวนเต็ม]] <math>a</math> ใด ๆ จะได้ว่า
 :<math>a^p \equiv a \pmod{p}\,\!</math>
+ตัวอย่างเช่น เมื่อ <math>a=2</math> และ <math>p = 7</math> พบว่า <math>2^7 - 2 = 128 - 2 = 126 = 7 \times 18</math> ดังนั้น <math>2^7 - 2</math> จึงเป็นพหุคูณของ 7
-หมายความว่า ถ้าเลือกจำนวนเต็ม <math>a</math> มาคูณกัน <math>p</math> ครั้ง จากนั้นลบด้วย <math>a</math> ผลลัพธ์ที่ได้จะหารด้วย <math>p</math> ลงตัว (ดู[[เลขคณิตมอดุลาร์]])
-<math>p\mid a^p-a</math>
 ทฤษฎีบทนี้กล่าวอีกแบบหนึ่งได้ว่า ถ้า <math>p</math> เป็นจำนวนเฉพาะ และ <math>a</math> เป็นจำนวนเต็มที่เป็น[[จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์]]กับ <math>p</math> แล้ว จะได้ว่า
 :<math>a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\,\!</math>
+:ทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาเป็นพื้นฐานของการทดสอบจำนวนเฉพาะของแฟร์มา และเป็นผลลัพธ์พื้นฐานในทฤษฎีจำนวน ทฤษฎีบทนี้ได้ชื่อตาม [[ปีแยร์ เดอ แฟร์มา]] ผู้ได้เสนอทฤษฎีบทนี้ในปี ค.ศ. 1640 และได้ชื่อว่าเป็น "ทฤษฎีบทเล็ก" เพื่อแยกแยะให้แตกต่างกับ[[ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มา]]<ref name=":0">{{Cite book|last=Burton|first=David M.|url=https://www.worldcat.org/oclc/476835570|title=The history of mathematics : an introduction|date=2011|publisher=McGraw-Hill|isbn=978-0-07-338315-6|edition=7th ed|location=New York|pages=514|oclc=476835570}}</ref>
 == บทพิสูจน์ ==
-[[ปีแยร์ เดอ แฟร์มา]]ได้ตั้งทฤษฎีบทนี้โดยไม่ได้ให้บทพิสูจน์ไว้ ต่อมา [[กอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ]] ได้เขียนบทพิสูจน์ไว้ในหนังสือโดยไม่ได้ลงวันที่ รู้เพียงว่าเขาพิสูจน์ได้ก่อน [[ค.ศ. 1683]]
+[[ปีแยร์ เดอ แฟร์มา]]ได้ตั้งทฤษฎีบทนี้ในจดหมายจากเขาถึง [[Frénicle de Bessy|เฟรนิเกล เดอ เบสซี]] โดยไม่ได้ให้บทพิสูจน์ไว้ จดหมายฉบับนั้นลงวันที่ 18 ตุลาคม ค.ศ. 1640 ต่อมา [[กอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ]] ได้เขียนบทพิสูจน์ไว้โดยไม่ได้ตีพิมพ์และไม่ลงวันที่ รู้เพียงว่าเขาพิสูจน์ได้ก่อน [[ค.ศ. 1683]]<ref name=":0" /> ออยเลอร์เป็นคนแรกที่ติพิมพ์บทพิสูจน์ของทฤษฎีบทนี้ในปี ค.ศ. 1736<ref>{{Cite book|last=Ore|first=Øystein|url=https://www.worldcat.org/oclc/17413345|title=Number theory and its history|date=1988|publisher=Dover|isbn=0-486-65620-9|location=New York|pages=273|oclc=17413345}}</ref>
+บทพิสูจน์ด้านล่าง<ref>{{Cite book|last=Hardy|first=G. H.|url=https://www.worldcat.org/oclc/214305907|title=An introduction to the theory of numbers|date=2008|publisher=Oxford University Press|others=E. M. Wright, D. R. Heath-Brown, Joseph H. Silverman|isbn=978-0-19-921985-8|edition=6th ed.|location=Oxford|oclc=214305907}}</ref> เป็นบทพิสูจน์สำหรับรูปแบบหนึ่งของทฤษฎีบทดังกล่าวที่ว่า: ''ถ้า  <math>p</math> เป็นจำนวนเฉพาะ และ <math>a</math> เป็นจำนวนเต็มที่เป็น[[จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์]]กับ  <math>p</math> แล้ว จะได้ว่า <math>a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\,\!</math>''
-=== บทพิสูจน์ที่ 1 ===
-ถ้า p เป็น[[จำนวนเฉพาะ]] และ <math>p\nmid a</math> แล้ว <math>a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\,\!</math>
+{{พิสูจน์คณิตศาสตร์|proof= สมมติให้ <math>p</math> เป็นจำนวนเฉพาะ และ <math>a</math> เป็นจำนวนเต็มที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ <math>p</math>
-กำหนดจำนวน 1,2,3,...,p-1 (mod p)
+แนวคิดของบทพิสูจน์อาศัยข้อสังเกตที่ว่า ลำดับของจำนวนเต็มต่อไปนี้
-จะมีจำนวน 1,2,3,...,p-1 คูณจำนวนเหล่านี้ด้วย a ได้ a,2a,3a,...,(p-1)a (mod p)
+:<math> a, 2a, 3a, \dotsc, (p - 1)a </math>
-พิสูจน์ว่า[[เซต (คณิตศาสตร์)|เซต]] {a,2a,3a,...,(p-1)a} กับ {1,2,3,...,p-1} (mod p) ทั้งสองเซตเท่ากันภายใต้ mod p
+เป็นลำดับเดียวกับ <math> 1, 2, 3, \dotsc, p-1</math> ในมอดุโล <math> p </math> แต่ต่างกันแค่การเรียงลำดับเท่านั้น
-กรณีที่ 1 ไม่มีจำนวน r เป็นสมาชิกในเซต {1,2,3,...,p-1} ที่ทำให้ <math>r\cdot a \equiv 0</math>(mod p)  แล้ว <math>p\mid r\cdot a</math>เป็นไปไม่ได้ เพราะ <math>p\nmid a</math>และ 0<r<p ทำให้  <math>p\nmid r</math>ดังนั้น
+เพื่อพิสูจน์ข้อความข้างต้น เราสังเกตว่า จำนวนทุกตัวในลำดับ <math> a, 2a, 3a, \dotsc, (p - 1)a </math> ไม่มีจำนวนใดคอนกรูเอนซ์กับ 0 ในมอดุโล <math> p </math> ซึ่งเห็นได้ชัดจากการที่ทุกจำนวน <math>k</math> ในลำดับ <math> 1,2,3,\dotsc, p-1</math> ไม่มีตัวประกอบร่วมกันกับ <math> p </math> และ <math> a </math> ก็ไม่มีตัวประกอบร่วมกับกับ <math> p </math> ด้วย ดังนั้นผลคูณ <math> ka </math> ไม่มีตัวประกอบร่วมกันกับ <math> p </math> (ดูเพิ่มที่ [[บทตั้งของยุคลิด]])
-ไม่มีจำนวน r ที่ทำให้ <math>r\cdot a \equiv 0</math>(mod p) เพราะ p เป็นจำนวนเฉพาะวิธีเดียวที่จะหารด้วย p ลงตัวคือ r หรือ a จะต้องหารด้วย p ลงตัว
+ต่อไป เราพิสูจน์ว่าทุกสมาชิกในลำดับ <math> a, 2a, 3a, \dotsc, (p - 1)a </math> แตกต่างกันทั้งหมดในมอดุโล <math> p </math>
-ฉะนั้นในเซต {a,2a,3a,...,(p-1)a} จะไม่มี 0 เป็นสมาชิกแสดงว่า ในเซต {a,2a,3a,...,(p-1)a} เมื่อ mod p จำนวนที่เป็นไปได้
+สมมติให้ <math>k</math> และ <math>m</math> เป็นจำนวนเต็มในลำดับ <math> 1, 2, 3, \dotsc, p-1</math> ที่ทำให้ <math> ka \equiv ma \pmod{p} </math>
-คือ 1 ถึง p-1 ยกเว้น 0 ในเศษ p ที่เป็นไปได้
+จากสมบัติการตัดออกในเลขคณิตมอดุลาร์จะได้ <blockquote><math>k \equiv m \pmod{p}</math> </blockquote>แต่จาก <math>k, m</math> มีค่าอยู่ในช่วง <math> 1, 2, 3, \dotsc, p-1</math> จึงบังคับให้ <math>k = m</math>  เท่านั้น
-กรณีที่ 2 ในเซต {a,2a,3a,...,(p-1)a} ไม่มีตัวไหนที่ซ้ำกันภายใต้ mod p
+จากการพิสูจน์ข้างต้น เมื่อลดทอนลำดับ <math> a, 2a, 3a, \dotsc, (p - 1)a </math> ในมอดุโล <math>p</math> จะต้องแตกต่างกันทั้งหมด แต่เนื่องจาก <math> a, 2a, 3a, \dotsc, (p - 1)a </math> เป็นลำดับที่มีสมาชิกทั้งหมด <math>p - 1 </math> ตัวที่แตกต่างกันทั้งหมด ดังนั้นเมื่อลดทอนแล้วจะต้องได้เป็นการเรียงลำดับใหม่ของ <math> 1, 2, 3, \dotsc, p-1</math> เท่านั้น
-มีจำนวน r,s เป็นสมาชิกในเซต {1,2,3,...,p-1} และ <math>r\neq s</math> ดังนั้น
+จึงทำให้ได้ว่า<blockquote><math>\begin{align}
-พิสูจน์ว่า <math>a\cdot r\not\equiv a\cdot s</math>(mod p) ก็คือ <math>a\cdot r - a\cdot s\not\equiv 0</math> (mod p) แยกตัวประกอบได้ <math>a(r-s)\not\equiv 0</math> การที่จะทำให้เกิดข้อขัดแย้งได้
+\displaystyle a\times 2a\times 3a\times \dotsb \times (p-1)a &\equiv 1\times 2\times 3\times \dotsb \times (p-1) \pmod {p} \\
+a^{p-1}(p - 1)! &\equiv (p-1)! \pmod{p}
+\end{align}
+</math></blockquote>และจาก <math>(p - 1)!
+</math> เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ <math>p
+</math> จึงส่งผลให้สามารถตัดออกจากทั้งสองข้างของสมการคอนกรูเอนซ์ได้ จึงสรุปได้ว่า <math>a^{p -1} \equiv 1 \pmod{p}
+</math>}}
+บทพิสูจน์ข้างต้น ค้นพบโดย James Ivory<ref>{{Citation|last=Ivory|first=James|title=Demonstration of a theorem respecting prime numbers|journal=New Series of the Mathematical Depository|volume=1|issue=II|pages=6–8|year=1806|author-link=James Ivory (mathematician)}}</ref> ก่อนจะถูกค้นพบใหม่ในภายหลังโดย [[Peter Gustav Lejeune Dirichlet|ดีรีเคล]]<ref>{{Citation|last=Lejeune Dirichlet|first=Peter Gustav|title=Démonstrations nouvelles de quelques théorèmes relatifs aux nombres|journal=[[Crelle's Journal|Journal für die reine und angewandte Mathematik]]|volume=3|pages=390–393|year=1828|language=fr|author-link=Peter Gustav Lejeune Dirichlet}}</ref> นอกจากนี้ยังมีบทพิสูจน์ในรูปแบบอื่น ๆ เช่น พิสูจน์จาก[[ทฤษฎีบทของออยเลอร์]] ใช้วิธีการทาง[[คอมบินาทอริกส์]]<ref>{{Cite journal|last=Golomb|first=S. W.|date=1956|title=Combinatorial Proof of Fermat's "Little" Theorem|url=https://www.jstor.org/stable/2309563|journal=The American Mathematical Monthly|volume=63|issue=10|pages=718–718|doi=10.2307/2309563|issn=0002-9890}}</ref> หรือทาง[[ทฤษฎีกรุป]]<ref>{{Cite book|last=Weil|first=André|url=http://link.springer.com/10.1007/978-1-4612-9957-8|title=Number Theory for Beginners|date=1979|publisher=Springer New York|isbn=978-0-387-90381-1|location=New York, NY|language=en|doi=10.1007/978-1-4612-9957-8}}</ref>
-<math>r-s\not\equiv 0</math>(mod p) จึงมีสมการคือ
+== จำนวนเฉพาะเทียม ==
-<r<p  0<s<p   หา r-s นำ  0<s<p คูณด้วย -1 ได้ -p<-s<0 นำมาบวกด้วย  0<r<p จะได้
+{{หลัก|จำนวนเฉพาะเทียม}}
+ถ้า <math>a</math> และ <math>p</math> เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน และทำให้ <math>\,a^{p-1} - 1</math> หารด้วย <math>p</math> ลงตัว แล้ว <math>p</math> ไม่จำเป็นจะต้องจำนวนเฉพาะเสมอไป  ถ้า <math>p</math> ไม่เป็นจำนวนเฉพาะในกรณีดังกล่าว เราจะเรียก <math>p</math> ว่าเป็น ''[[จำนวนเฉพาะเทียม]]'' (''pseudoprime'') ฐาน <math>a</math>  ใน [[ค.ศ. 1820]] F. Sarrus พบว่า <math>341=11\times31</math> เป็นจำนวนเฉพาะเทียมฐาน 2 ตัวแรก
+จำนวนเต็ม <math>p</math> ที่เป็นจำนวนเฉพาะเทียมฐาน <math>a</math> สำหรับทุกจำนวนเต็ม <math>a</math> ที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับ <math>p</math> เรียกว่า [[Carrmichael number|จำนวนคาร์ไมเคิล]] (Carmichael number) ตัวอย่างจำนวนคาร์ไมเคิล เช่น 561
--p<r-s<p และ  <math>r\neq s</math> ทำให้  <math>r-s\neq 0</math>
-ถ้า r-p เป็นจำนวนเต็มบวก 0<r-s<p ดังนั้น <math>p\nmid r-s</math>
-ถ้า r-p เป็นจำนวนเต็มลบ -p<r-s<0 ดังนั้น <math>p\nmid r-s</math>
-หมายความว่า <math>r-s \not\equiv 0</math>(mod p) ดังนั้น <math>a\cdot r\not\equiv a\cdot s</math>(mod p)
-ดังนั้นภายในเซต {a,2a,3a,...,(p-1)a} ไม่มีตัวไหนที่ซ้ำกันภายใต้ mod p
-จากสองกรณีจะได้ เซต {a,2a,3a,...,(p-1)a} มีตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง p-1 และเซตนี้มีสมาชิก p-1 ตัวและ ตัวเลขไม่ซ้ำกันทำให้มีเลขตั้งแต่ 1 ถึง p-1 ครบทุกตัวภายใต้ mod p
-ทำให้  {a,2a,3a,...,(p-1)a} mod p={1,2,3,...,p-1}
-ดังนั้นเมื่อเอาสมาชิกในแต่ละเซตคูณกันแล้วจะได้ตัวเลขที่เท่ากันภายใต้ mod p
-ax2ax3ax...x(p-1)xa <math>\equiv</math> 1x2x3,...,p-1 (mod p)
-(p-1)! <math>a^{p-1} \equiv </math>(p-1)! (mod p)
-เนื่องจาก '''[[ทฤษฎีบทของวิลสัน]]''' (p-1)! <math>\equiv -1</math>(mod p) ได้
-<math>-a^{p-1} \equiv-1 </math> (mod p)
-คูณด้วย -1 ทั้งสองข้างได้
-<math>a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\,\!</math> ถ้า <math>p\nmid a</math>
-== จำนวนเฉพาะเทียม ==
-ถ้า <math>a</math> และ <math>p</math> เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน และทำให้ <math>\,a^{p-1} - 1</math> หารด้วย <math>p</math> ลงตัว แล้ว <math>p</math> ไม่จำเป็นจำนวนเฉพาะเสมอไป ถ้า <math>p</math> ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ เราจะเรียก <math>p</math> ว่าเป็น [[จำนวนเฉพาะเทียม|''จำนวนเฉพาะเทียม'']] (''pseudoprime'') ฐาน <math>a</math>. ใน [[ค.ศ. 1820]] F. Sarrus พบว่า <math>341=11\times31</math> เป็นจำนวนเฉพาะเทียมฐาน 2 ตัวแรก
 [[หมวดหมู่:ทฤษฎีจำนวน]]
 [[หมวดหมู่:ทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์]]
-{{โครงคณิตศาสตร์}}
+== อ้างอิง ==