ไพรมอเรียล

ไพรมอเรียล (อังกฤษ: primorial) เป็นคำที่รวมกันระหว่างจำนวนเฉพาะ (prime) กับแฟกทอเรียล (factorial) ตั้งโดย ฮาร์วีย์ ดับเนอร์ (Harvey Dubner) มีความหมายสองแบบ ดังที่จะได้กล่าวต่อไป

ฟังก์ชันไพรมอเรียลถูกสร้างขึ้นเพื่อเป็นข้อพิสูจน์ให้กับทฤษฎีบทของยุคลิด ว่ามีจำนวนเฉพาะเป็นจำนวนอนันต์

ความหมายที่หนึ่ง

กราฟของ f (n) = p_n# ลงจุดแบบลอการิทึม

ไพรมอเรียล p_n# คือผลคูณของจำนวนเฉพาะ n ตัวแรก นั่นคือ

$p_{n}\#=\prod _{k=1}^{n}p_{k}$

เมื่อ p_k คือจำนวนเฉพาะตัวที่ k

ตัวอย่างเช่น p₅# คือผลคูณของจำนวนเฉพาะ 5 ตัวแรก

$p_{5}\#=2\times 3\times 5\times 7\times 11=2310$

ลำดับจำนวนของไพรมอเรียล p_n# บางตัวมีดังนี้

1, 2, 6, 30, 210, 2310, ... (ลำดับ  A002110)

ลำดับดังกล่าวรวมถึง p₀# = 1 ซึ่งเป็นผลคูณว่างด้วย

อัตราการเติบโตของไพรมอเรียลในลำดับสามารถคำนวณได้จาก

$p_{n}\#=\exp \left[(1+o(1))\cdot n\log n\right]$

เมื่อ exp คือฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล e^x และ o คือสัญกรณ์โอเล็ก (ดูเพิ่มในสัญกรณ์โอใหญ่)

ลอการิทึมธรรมชาติของไพรมอเรียลคือฟังก์ชันเชบีเชฟที่หนึ่ง (the first Chebyshev function) เขียนแทนด้วย ϑ (n) หรือ θ (n) ซึ่ง n จะเข้าใกล้เชิงเส้นเมื่อ n มีค่ามากๆ

ความหมายที่สอง

กราฟของฟังก์ชัน f (n) = n# (จุดสีแดง) เปรียบเทียบกับ n! ลงจุดแบบลอการิทึม

ไพรมอเรียล n# คือผลคูณของจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่ไม่มากกว่า n เมื่อ n ≥ 1 นิยามโดย

$n\#={\begin{cases}1&n=1\\n\times ((n-1)\#)&n>1\And n{\text{ is prime}}\\(n-1)\#&n>1\And n{\text{ is composite}}\end{cases}}$

ซึ่งมีความหมายเทียบเท่ากับ

$n\#=p_{\pi (n)}\#$

เมื่อ π (n) คือฟังก์ชันนับจำนวนเฉพาะ (ลำดับ  A000720) โดยให้จำนวนของจำนวนเฉพาะไม่มากกว่า n

ตัวอย่างเช่น 7# คือผลคูณของจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่ไม่มากกว่า 7 นั่นคือ

$7\#=2\times 3\times 5\times 7=210$

และเนื่องจาก π (7) = 4 ดังนั้นจึงสามารถคำนวณได้อีกวิธีเป็น

$7\#=p_{\pi (7)}\#=p_{4}\#=210$

ลำดับจำนวนของไพรมอเรียล n# บางตัวมีดังนี้

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, ...

จะเห็นว่าไพรมอเรียล n# ซึ่ง n เป็นจำนวนประกอบ จะซ้ำกับจำนวนที่อยู่ก่อนหน้าคือ (n − 1)# ตามที่ได้กำหนดไว้ในนิยาม

อัตราการเติบโตของไพรมอเรียลในลำดับสามารถคำนวณได้จาก

$\log n\#\sim n$

ตารางค่าไพรมอเรียล

n	n#	pn	pn#
0	ไม่นิยาม	ไม่มีจำนวนเฉพาะ	1
1	1	2	2
2	2	3	6
3	6	5	30
4	6	7	210
5	30	11	2310
6	30	13	30030
7	210	17	510510
8	210	19	9699690
9	210	23	223092870
10	210	29	6469693230
11	2310	31	200560490130
12	2310	37	7420738134810
13	30030	41	304250263527210
14	30030	43	13082761331670030
15	30030	47	614889782588491410

อ้างอิง

• Harvey Dubner, "Factorial and primorial primes". J. Recr. Math., 19, 197–203, 1987.