เส้นโค้งเบซิเยร์

เส้นโค้งเบซิเยร์ (Bézier curve) ในคณิตศาสตร์ถือว่าเป็นเส้นโค้งหนึ่งที่มีความสำคัญอย่างมากในเรื่องของ คอมพิวเตอร์กราฟิกส์ เพราะวิธีการที่เสถียรที่สุด ในการสร้างจุดต่างๆบนเส้นโค้งเบซิเยร์สามารถทำได้โดยใช้ ขั้นตอนวิธีของเดอคาสเซิลโจ (de Casteljau's algorithm) รูปแบบหนึ่งของเส้นโค้งเบซิเยร์เมื่อเพิ่มมิติให้สูงขึ้น เราเรียกว่า พื้นผิวเบซิเยร์ โดยมี พื้นผิวสามเหลี่ยมเบซิเยร์ เป็นรูปแบบพิเศษอีกแบบหนึ่ง

เส้นโค้งเบซิเยร์ถูกเผยแพร่สู่สาธารณชนเป็นครั้งแรกเมื่อปี พ.ศ. 2505 โดยนักวิศวกรชาว ฝรั่งเศส ที่ชื่อ ปิแอร์ เบซิเยร์ (Pierre Bézier) ซึ่งขณะนั้นเป็นนักวิชาการอยู่ในแผนกออกแบบที่บริษัทรถยนต์ยี่ห้อเรโนลด์ แต่ในความเป็นจริงแล้ว เส้นโค้งนี้ได้ถูกคิดค้นเป็นครั้งแรก เมื่อปี พ.ศ. 2502 โดยนายพอล เดอ คาสเซิลโจ (Paul de Casteljau)

สมการเส้นโค้งเบซิเยร์

นิยาม เส้นโค้งเบซิเยร์ที่ดีกรี $n$ สามารถเขียนเป็นสมการได้จาก จุดควบคุมที่กำหนดให้ p₀, p₁,..., p_n ดังนี้

$\mathbf {B} (t)=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}(1-t)^{n-i}t^{i}\mathbf {p} _{i}{\mbox{ , }}t\in [0,1].$

ตัวอย่าง

เส้นโค้งเบซิเยร์เชิงเส้น

กำหนดให้ จุดควบคุมมี 2 จุด คือ p₀ และ p₁ เส้นโค้งเบซิเยร์เชิงเส้นก็คือส่วนของเส้นตรงระหว่างจุดสองจุดนั่นเอง โดยมีสมการคือ

$\mathbf {B} (t)=(1-t)\mathbf {p} _{0}+t\mathbf {p} _{1}{\mbox{ , }}t\in [0,1].$

เส้นโค้งเบซิเยร์กำลังสอง

กำหนดให้ จุดควบคุมมี 3 จุด คือ p₀ p₁ และ p₂ เส้นโค้งเบซิเยร์กำลังสอง มีสมการ คือ

$\mathbf {B} (t)=(1-t)^{2}\mathbf {p} _{0}+2t(1-t)\mathbf {p} _{1}+t^{2}\mathbf {p} _{2}{\mbox{ , }}t\in [0,1].$

เส้นโค้งเบซิเยร์กำลังสาม

กำหนดให้ จุดควบคุมมี 4 จุด คือ p₀ p₁ p₂ และ p₃ เส้นโค้งเบซิเยร์กำลังสาม มีสมการ คือ

$\mathbf {B} (t)=(1-t)^{3}\mathbf {p} _{0}+3t(1-t)^{2}\mathbf {p} _{1}+3t^{2}(1-t)\mathbf {p} _{2}+t^{3}\mathbf {p} _{3}{\mbox{ , }}t\in [0,1].$

แหล่งข้อมูลอื่น

• Bezier Curves interactive applet เก็บถาวร 2007-10-10 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• 3rd order Bezier Curves applet
• Living Math Bézier applet
• Living Math Bézier applets of different spline types, JAVA programming of splines in An Interactive Introduction to Splines
• Don Lancaster's Cubic Spline Library describes how to approximate a circle (or a circular arc, or a hyperbola) by a Bézier curve; using cubic splines for image interpolation, and an explanation of the math behind these curves.
• Pictovia: ทำ กราฟ เก็บถาวร 2010-04-27 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน