จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
จอห์นสันนอยส์ (อังกฤษ : Johnson noise ) คือสัญญาณรบกวนซึ่งมีผลมาจากอุณหภูมิ (Thermal noise) ซึ่งมาจาการที่พลังงาน ความร้อน (Thermal Energy) มีผลต่อการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอน ในตัวนำไฟฟ้า สัญญาณนี้ได้ถูกทดลองโดย จอห์น บี จอห์นสัน (John B. Johnson) แต่ได้ถูก แฮร์รี่ ไนควิสต์ (Harry Nyquist) อธิบายในทางทฤษฎีไว้ โดยได้ผลตรงกัน บางทีจึงเรียกว่า ไนควิสต์นอยส์ (Nyquist noise)
ในแบบจำลองทางทฤษฎี เราจะสมมุติปัญหาให้เป็นความผันผวนจากอุณหภูมิแบบสุ่มของอิเล็กตรอนภายตัวต้านทาน 1 มิติ ที่มีความยาวเป็น L มีพื้นที่หน้าตัดเป็น A มีความต้านทาน R และมีศักย์ไฟฟ้าตกคร่อมจากกฎของโอห์ม V=IR โดยกระแสและศักย์ไฟฟ้านั้นจะมีผลมาจากความผันผวนทางอุณหภูมิ ที่จะอนุญาตให้อิเล็กตรอนเคลื่อนที่ไปในทิศทางหนึ่งๆ มากกว่าทิศทางอื่นๆ
โดยปรกติแล้วเมื่อไม่มีกระแสไหล จะได้ว่าศักย์ไฟฟ้าเฉลี่ยจะมีค่าเท่ากับศูนย์ จากการที่อิเล็กตรอนควรจะเคลื่อนที่แบบสุ่มไปเท่าๆกันทั้งสองด้านของตัวนำไฟฟ้า
นั่นคือ
⟨
V
⟩
=
0
{\displaystyle \left\langle V\right\rangle =0}
แต่ว่าในความเป็นจริงความผันผวนทางอุณหภูมิควรจะทำให้ค่าของศักย์ไฟฟ้ามีค่าที่เวลาต่างๆ
V
(
t
)
≠
0
{\displaystyle V(t)\neq 0}
จึงใช้ผลจาก
⟨
Δ
V
⟩
2
=
⟨
(
V
−
⟨
V
⟩
)
2
⟩
=
⟨
V
2
⟩
−
⟨
V
⟩
2
=
⟨
V
2
⟩
≠
0
{\displaystyle \left\langle \Delta V\right\rangle ^{2}=\left\langle (V-\left\langle V\right\rangle )^{2}\right\rangle =\left\langle V^{2}\right\rangle -\left\langle V\right\rangle ^{2}=\left\langle V^{2}\right\rangle \neq 0}
⟨
Δ
V
⟩
2
=
⟨
V
2
⟩
{\displaystyle \left\langle \Delta V\right\rangle ^{2}=\left\langle V^{2}\right\rangle }
จากกฎของโอห์ม
Δ
V
=
Δ
I
⋅
R
{\displaystyle \Delta V=\Delta I\cdot R}
=
Δ
q
t
0
R
=
e
Δ
x
/
L
t
0
R
{\displaystyle =\Delta {\frac {q}{t_{0}}}R={\frac {e\Delta x/L}{t_{0}}}R}
Δ
x
{\displaystyle \Delta x}
t
0
{\displaystyle t_{0}}
จะได้ว่า
Δ
x
=
N
Δ
d
{\displaystyle \Delta x={\sqrt {N}}\Delta d}
Δ
d
{\displaystyle \Delta d}
N
{\displaystyle N}
t
0
{\displaystyle t_{0}}
จะได้ว่า
Δ
V
=
e
L
N
Δ
d
t
0
R
{\displaystyle \Delta V={\frac {e}{L}}{\sqrt {N}}{\frac {\Delta d}{t_{0}}}R}
และจาก
N
=
(
n
A
L
)
t
0
τ
{\displaystyle N=(nAL){\frac {t_{0}}{\tau }}}
โดย n คือความหนาแน่นของอิเล็กตรอนที่ถูกเหนี่ยวนำ
τ
{\displaystyle \tau }
(
Δ
d
)
2
=
⟨
d
2
⟩
=
⟨
v
x
2
τ
2
⟩
=
⟨
v
x
2
⟩
τ
2
{\displaystyle (\Delta d)^{2}=\left\langle d^{2}\right\rangle =\left\langle v_{x}^{2}\tau ^{2}\right\rangle =\left\langle v_{x}^{2}\right\rangle \tau ^{2}}
และความสัมพันธ์อัตราเร็วกับอุณหภูมิ
⟨
E
⟩
=
1
2
m
⟨
v
x
2
⟩
=
1
2
k
B
T
{\displaystyle \left\langle E\right\rangle ={\frac {1}{2}}m\left\langle v_{x}^{2}\right\rangle ={\frac {1}{2}}k_{B}T}
นั่นคือ
(
Δ
d
)
2
=
k
B
T
τ
2
m
{\displaystyle (\Delta d)^{2}={\frac {k_{B}T\tau ^{2}}{m}}}
จะได้ว่า
(
Δ
V
)
2
=
e
2
L
2
N
(
Δ
d
)
2
t
0
2
R
2
{\displaystyle (\Delta V)^{2}={\frac {e^{2}}{L^{2}}}N{\frac {(\Delta d)^{2}}{t_{0}^{2}}}R^{2}}
=
e
2
L
2
n
A
L
t
0
τ
k
B
T
τ
2
m
t
0
2
R
2
=
A
L
n
e
2
τ
m
k
B
T
t
0
R
2
{\displaystyle ={\frac {e^{2}}{L^{2}}}{\frac {nALt_{0}}{\tau }}{\frac {k_{B}T\tau ^{2}}{mt_{0}^{2}}}R^{2}={\frac {A}{L}}{\frac {ne^{2}\tau }{m}}{\frac {k_{B}T}{t_{0}}}R^{2}}
แต่ว่า
L
A
2
m
n
e
2
τ
=
L
A
ρ
=
R
{\displaystyle {\frac {L}{A}}{\frac {2m}{ne^{2}\tau }}={\frac {L}{A}}\rho =R}
ดังนั้น
⟨
V
2
⟩
=
4
k
B
T
R
Δ
f
{\displaystyle \left\langle V^{2}\right\rangle =4k_{B}TR\Delta f}
Δ
f
=
1
2
t
0
{\displaystyle \Delta f={\frac {1}{2t_{0}}}}
⟨
V
2
⟩
Δ
f
=
4
k
B
T
R
{\displaystyle {\frac {\left\langle V^{2}\right\rangle }{\Delta f}}=4k_{B}TR}
[
V
o
l
t
2
/
H
z
]
{\displaystyle [Volt^{2}/Hz]}
![{\displaystyle [Volt^{2}/Hz]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6b7f4df69dbed4b7e0d2383144b3e638d9d815b)
