ตัวคูณร่วมน้อย

ตัวคูณร่วมน้อย หรือ ค.ร.น. (อังกฤษ: least common multiple: lcm) คือ จำนวนเต็มบวกที่มีค่าน้อยที่สุดซึ่งนำไปหารด้วยจำนวนเต็มบวกอื่นๆ ตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไป แล้วจะได้ผลลัพธ์ลงตัวพอดี หรือกล่าวอีกนัยนึง คือ เมื่อเรามีจำนวนตัวเลขอยู่กลุ่มหนึง เราต้องการหาจำนวนเต็มบวกใดๆที่น้อยที่สุด โดยที่ตัวเลขทุกตัวในกลุ่มสามารถหารจำนวนนี้ได้ลงตัว ประโยชน์ในการใช้ เช่น เวลาบวกเลขเศษส่วนโดยที่ตัวส่วนไม่เท่ากัน เราจำเป็นต้องหา ค.ร.น ของตัวส่วนทั้งสอง เพื่อปรับเลขเศษส่วนโดยการคูณทั้งเศษและส่วน และทำเหมือนกันกับเลขเศษส่วนอีกตัวนึง เพื่อให้ตัวส่วนของจำนวนทั้งสองมีค่าเท่ากัน จึงจะสามารถบวกตัวเศษกันได้ อย่างเช่น 2/12 + 1/16 , ค.ร.น ของ 12 และ 16 = 48 เท่ากับว่า ตัวแรกต้องคูณด้วย 48/12 = 4 ทั้งเศษและส่วน และตัวที่สองต้องคูณด้วย 48/16 = 3 ทั้งเศษและส่วน ดังนั้นเราจึงสามารถคำนวณการบวกของเลขเศษส่วนได้ดังนี้ (2/12) * (4/4) + (1/16) * (3/3) = 8/48 + 3/48 = 11/48

การหา ค.ร.น.

ทำได้หลายวิธี ในที่นี้จะเน้นกล่าว 3 วิธีหลักๆที่เป็นที่นิยม

วิธีที่ 1 โดยการพิจารณาพหุคูณ

เช่น เราต้องการ ค.ร.น. ของ 6 , 9 และ 18

วิธีทำ พิจารณา พหุคูณ ของ 6,9 และ 18 ได้ดังนี้

  พหุคูณของ 6 คือ 6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,...

  พหุคูณของ 9 คือ 9,18,27,36,45,54,63,72,90,99,108,117,...

 พหุคูณของ 18 คือ 18,36,54,72,90,108,126,144,162,180,198,216,...

• พหุคูณร่วมของ 6,9,18 คือ 18,36,72,...

• พหุคูณร่วมน้อยที่สุดของ 6,9,18 คือ 18

• ดังนั้น 18 จึงเป็น ค.ร.น. ของ 6,9 และ 18

วิธีที่ 2 แยกตัวประกอบ

เช่น เราต้องการหา ค.ร.น ของ 18 24 210

• ให้กระจายตัวประกอบออกมา

18 = 2x3x3

24 = 2x3x2x2

210 = 2x3x5x7

• จากข้างบน ทั้ง 3 บรรทัด มี 2 เหมือนกัน อยู่ 1 ตัว (ลองเขียนในกระดาษแล้ววาดวงกลมล้อมคอลัมน์แรก (แถวแรกในแนวตั้ง)) และก็มี 3 เหมือนกัน อยู่อีก 1 ตัว (คอลัมน์ที่ 2) หยิบมาคูณกัน

2x3 = 6

• นำตัวเลขที่เหลือ (ที่ไม่ได้วงกลม ในกรณีที่วาดในกระดาษตามที่แนะนำ) มาคูณต่อ ได้คำตอบของ ค.ร.น

6 (จากขั้นตอนที่แล้ว) x3x2x2x5x7 = 2520

• การหา ค.ร.น. จะต้องเอาเลขที่แตกต่างจากพวกมากที่สุดไว้หน้า เช่น 12 = 3x2x2

วิธีที่ 3 การหารสั้น

วิธีนี้ เป็นวิธีที่ง่าย เพราะบางครั้งการแยกตัวประกอบ ค่อนข้างจะคำนวณยาก โดยเฉพาะผู้ที่เพิ่งเริ่มศึกษา

• นำมาเขียนเรียงกัน โดยเว้นวรรคระหว่างจำนวนด้วย 18 24 210
• ลองไล่เอา 2 หารดูว่าลงตัวทั้งหมดไหม ถ้าไม่ลงตัว ก็เปลี่ยนเป็น 3 ลองหารทั้งหมดดู ถ้าไม่ลงตัว ก็ลองใช้ 5 ลองหารดู โดยมีวิธีไล่ลำดับตัวเลขที่ใช้จากจำนวนเฉพาะ

 2,3,5,7,11,13,17,19,...

• ทำซ้ำกับผลหารที่ได้จากข้อที่แล้ว ไปเรื่อยๆ จนไม่สามารถหารจำนวนเฉพาะมาหารได้ลงตัวอีกต่อไป
• เอาเลขที่หารที้งหมดมาคูณกันแล้วคูณกับผลหารที่เหลืออยู่ ได้คำตอบ

ดูตัวอย่างประกอบ

2  ) 18 24 210
   ---------------  
     9  12 105

ลอง 2 หารอีก

2  )  9   12 105
   ----------------
     4.5  6  52.5

จะเห็นว่าหารไม่ลงตัว เพราะหารได้ผลติดทศนิยม เปลี่ยนเลขเป็นจำนวนเฉพาะถัดไป ได้แก่ 3

3 ) 9 12 105

   ----------------
      3   4   35

ถึงตรงนี้ เราจะไม่สามารถหาจำนวนเฉพาะใดๆเพื่อมาหารได้อีกต่อไป เราจึงนำเอาเลขที่หารที้งหมดมาคูณกันแล้วคูณกับผลหารที่เหลืออยู่ ได้คำตอบ

2x3x3x4x35 = 2520

อธิบายซ้ำ : เราสามารถเขียนภาพรวมได้ดังนี้

2  ) 18 24 210
   --------------      
3  ) 9  12 105
   --------------
     3   4  35

2x3x3x4x35 = 2520

นอกจาก 2 วิธีที่แนะนำไปแล้ว ยังสามารถทำวิธีอื่นๆ อย่างเช่น ลองไล่สูตรคูณของกลุ่มตัวเลขที่เราต้องการหา แล้วหยิบตัวเลขที่น้อยที่สุดที่มีเหมือนกันในผลสูตรคูณของตัวเลขทั้งหมดนั้น

เช่นหา ค.ร.น. ของ 12 และ 16 โดยเลือกจากจำนวนที่มี 12 และ 16 เป็นตัวประกอบ

• จำนวนนับที่มี 12 เป็นตัวประกอบ ได้แก่ (12*1), (12*2), (12*3),… = 12,24,36,48,60…
• จำนวนนับที่มี 16 เป็นตัวประกอบ ได้แก่ (16*1), (16*2), (16*3),… = 16,32,48,64,80…

48 เป็นจำนวนนับที่น้อยที่สุดที่มี 12 และ 16 เป็นตัวประกอบ ดังนั้น ค.ร.น. ของ 12 และ 16 คือ 48

ดูเพิ่ม

• ตัวหารร่วมมาก