จำนวนแคทาแลน

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

จำนวนแคทาแลน (อังกฤษ: Catalan numbers) ในคณิตศาสตร์เชิงการจัด ปรากฏอยู่ในปัญหาการนับหลายๆ ปัญหา โดยส่วนใหญ่มักอยู่ในรูปการเรียกซ้ำ (recursive) จำนวนแคทาแลนถูกตั้งชื่อตามชื่อของยูจีน ชาร์ลส์ แคทาแลน นักคณิตศาสตร์ชาวเบลเยียม

จำนวนแคทาแลนตัวที่ n สามารถหาได้โดยใช้สูตรสัมประสิทธิ์ทวินาม ดังนี้

C_n = \frac{1}{n+1}{2n\choose n} = \frac{(2n)!}{(n+1)!\,n!} สำหรับ n\ge 0

จำนวนแคทาแลนตัวที่ 0, 1, 2, 3, … คือ

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …

คุณสมบัติ[แก้]

Cn สามารถเขียนอีกแบบได้

C_n = {2n\choose n} - {2n\choose n-1} สำหรับ n\ge 1

ซึ่งแสดงให้เห็นว่า Cn เป็นจำนวนธรรมชาติ

จำนวนแคทาแลน เขียนในรูปความสัมพันธ์เวียนเกิด ได้ดังนี้

C_0 = 1 \quad และ C_{n+1}=\sum_{i=0}^{n}C_i\,C_{n-i} สำหรับ n\ge 0

หรือเขียนอีกแบบได้

C_0 = 1 \quad และ C_{n+1}=\frac{2(2n+1)}{n+2}C_n

ซึ่งสามารถคำนวณได้ง่ายกว่า

จำนวนแคทาแลนมีค่าประมาณ

C_n \sim \frac{4^n}{n^{3/2}\sqrt{\pi}}

การประยุกต์ใช้[แก้]

  • Cn คือจำนวนของ Dyck word ที่มีความยาว 2n. Dyck word คือ ข้อความที่ประกอบด้วย X และ Y อย่างละ n ตัว และเมื่ออ่านข้อความจากทางซ้ายทีละตัวอักษร จะไม่มีทางนับจำนวนตัว Y ได้มากกว่าตัว X. ตัวอย่าง Dyck words ที่มีความยาว 6
XXXYYY     XYXXYY     XYXYXY     XXYYXY     XXYXYY
  • Cn คือจำนวนวงเล็บ n คู่ทั้งหมดที่อยู่ในลำดับที่ถูกต้อง
((()))     ()(())     ()()()     (())()     (()())
Catalan number binary tree example.png
  • Cn คือ จำนวนวิถีทางเดียว (monotonic path) ทั้งหมดบนตารางขนาด n × n ช่อง ที่ไม่ตัดเส้นทแยงมุม. วิถีทางเดียว คือ เส้นทางที่เริ่มจากมุมล่างซ้าย และจบที่มุมบนขวา โดยเส้นเชื่อมจะชี้ไปทางขวา หรือข้างบนได้เท่านั้น. ตัวอย่างกรณี n = 3:
Catalan number 3x3 grid example.svg
Catalan-Hexagons-example.svg

ประวัติ[แก้]

ลำดับแคทาแลนถูกค้นพบตั้งแต่คริสต์ศตวรรษที่ 18 โดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ซึ่งเขาสนใจจำนวนวิธีตัดรูปหลายเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยม. ลำดับนี้ถูกตั้งชื่อโดย Eugène Charles Catalan เขาได้ค้นพบว่าจำนวนแคทาแลนมีความเกี่ยวข้องกับจำนวนวงเล็บทั้งหมดที่เป็นไปได้

อ้างอิง[แก้]

  • Stanley, R.P. (1999): Enumerative Combinatorics, Vol. 2. Cambridge University Press. (pp. 219-229)