ขั้นตอนวิธีโฟรเบนีอุส

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

ขั้นตอนวิธีโฟรเบนิอุส (อังกฤษ: Frobenius algorithm) เป็นวิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่อยู่ในรูปแบบ

z^2u''+p(z)zu'+q(z)u=0\!\;

หรือที่เราเรียกกันว่ารูปแบบที่ทำให้เกิดจุดเอกฐานปกติ(Regular Singular Point) ซึ่งรูปแบบที่หารสมการด้วย z^2ตลอดแล้วจะได้

u''+{p(z) \over z}u'+{q(z) \over z^2}u=0

รูปแบบนี้จะไม่มีผลเฉลยเป็นอนุกรมกำลังทั่วไป

วิธีการ[แก้]

รูปแบบของผลเฉลยจะพบว่ามี x^rค่าหนึ่งคูณเข้าไปในอนุกรมกำลังทำให้ A_0ไม่ได้เป็นสัมประสิทธิ์ของ x^0 รูปแบบอนุกรมเป็นดังนี้

u(z)=\sum_{k=0}^{\infty} A_kz^{k+r}

เมื่อหาอนุพันธ์ของอนุกรมทั้งอันดับหนึ่งและอันดับสองจะได้

u'(z)=\sum_{k=0}^{\infty} (k+r)A_kz^{k+r-1}
u''(z)=\sum_{k=0}^{\infty} (k+r-1)(k+r)A_kz^{k+r-2}

เมื่อแทนค่าแล้วจะได้

z^2\sum_{k=0}^{\infty} (k+r-1)(k+r)A_kz^{k+r-2}+zp(z)\sum_{k=0}^{\infty} (k+r)A_kz^{k+r-1}+q(z)\sum_{k=0}^{\infty} A_kz^{k+r}
=\sum_{k=0}^{\infty} (k+r-1)(k+r)A_kz^{k+r}+p(z)\sum_{k=0}^{\infty} (k+r)A_kz^{k+r}+q(z)\sum_{k=0}^{\infty} A_kz^{k+r}
=\sum_{k=0}^{\infty} (k+r-1)(k+r)A_kz^{k+r}+p(z)(k+r)A_kz^{k+r}+q(z)A_kz^{k+r}
=\sum_{k=0}^{\infty} ((k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z))A_kz^{k+r}
=(r(r-1)+p(0)r+q(0))A_0z^r+\sum_{k=1}^{\infty} ((k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z))A_kz^{k+r}

เมื่อจัดพจน์แล้วเราพบว่าทั้งอนุกรมนี้จะให้คำตอบเท่ากับศูนย์ทุกๆค่า x ดังนั้นสัมประสิทธิ์แต่ละตัวของ x^n จะต้องเป็นศูนย์ด้วย สำหรับส่วนที่เกินขึ้นมานอก \sum เป็นส่วนที่ใช้หาค่า r โดยเฉพาะ โดยการแทนค่าเพื่อหาค่า r ที่ทำให้สัมประสิทธิ์ทุกตัวเป็นศูนย์โดยที่ A_0 ไม่เท่ากับศูนย์ ส่วนใน\sum จะได้ความสัมพันธ์เวียนเกิดซึ่งใช้หา A_n ต่อไป