การแปลงฟูรีเยช่วงเวลาสั้น

การแปลงฟูรีเยช่วงเวลาสั้น หรือ การแปลงฟูรีเยช่วงสั้น (อังกฤษ: short-time Fourier transform: STFT) เป็นการแปลงที่มีความสัมพันธ์กับการแปลงฟูรีเย ใช้ในการหาความถี่ และ เฟส ของช่วงใดช่วงหนึ่งของสัญญาณที่มีการเปลี่ยนแปลงไปตามเวลา

STFT

STFT เวลาต่อเนื่อง

ในการแปลงแบบเวลาต่อเนื่อง ฟังก์ชันที่จะทำการแปลงจะถูกคูณด้วยฟังก์ชันหน้าต่าง หรือ วินโดว์ฟังก์ชัน ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่มีค่าไม่เป็นศูนย์ในช่วงเวลาสั้น ๆ เท่านั้น ผลการแปลงฟูรีเย (1 มิติ) ของผลคูณนี้ ซึ่งเสมือนการเลื่อนหน้าต่างไปตามแกนเวลา จะได้ผลลัพธ์เป็นสัญญาณ 2 มิติ แสดงในรูปคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้ :

$\mathbf{STFT} \left \{ x(t) \right \} \equiv X(\tau, \omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) w(t-\tau) e^{-j \omega t} \, dt$

โดยที่ w(t) เป็นฟังก์ชันหน้าต่าง ซึ่งโดยทั่วไปนิยมใช้ หน้าต่างฮานน์ หรือ ฟังก์ชันเกาส์ ซึ่งมีจุดกึ่งกลางที่จุดศูนย์ และ x(t) เป็นฟังก์ชันที่จะทำการแปลง X(τ,ω) เป็นผลการแปลงของ x(t)w(t-τ) แสดงให้เห็นถึง ขนาด และ เฟส ของสัญญาณ ที่เวลาและความถี่ต่าง ๆ มักมีการทำการเชื่อมต่อเฟส หรือ ที่เรียกว่าการ คลี่เฟส (phase unwrapping) ตามแกนเวลา τ และ แกนความถี่ ω เพื่อให้การความต่อเนื่องของเฟส ค่าเวลา τ โดยปกติจะถือเป็นเวลาที่ช้าเมื่อเทียบกับเวลา t จึงมักจะใช้หน่วยความละเอียดที่ต่ำกว่า

STFT เวลาไม่ต่อเนื่อง

ในกรณีเวลาไม่ต่อเนื่องนี้ ข้อมูลที่จะทำการแปลงจะถูกแบ่งออกเป็นช่วงหรือกลุ่ม เรียกว่า เฟรม (ซึ่งโดยทั่วไปมักจะมีช่วงที่เหลื่อมทับซ้อนกัน) แต่ละกลุ่มนี้จะถูกทำการแปลง และเก็บบันทึกไว้ในรูปของเมทริกซ์ ของจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งแสดงค่าขนาด และ เฟส ของแต่ละจุดของเวลา และ ความถี่ การแปลงมีรูปทางคณิตศาสตร์ดังต่อไปนี้:

$\mathbf{STFT} \left \{ x[n] \right \} \equiv X(m,\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]w[n-m]e^{-j \omega n}$

โดย x[n] คือ สัญญาณ และ w[n] คือฟังก์ชันหน้าต่าง ค่าเวลา m มีค่าไม่ต่อเนื่อง ค่าความถี่ ω มีค่าต่อเนื่อง แต่เนื่องจากในทางปฏิบัติการแปลง STFT นี้กระทำด้วยคอมพิวเตอร์ โดยใช้การแปลงฟูรีเยอย่างเร็ว (FFT-Fast Fourier Transform) ซึ่งค่าตัวแปรทั้งสองนั้นเป็นค่าดิจิทัล คือ ไม่ต่อเนื่อง และ ถูกควอนไตซ์ ค่าเวลาไม่ต่อเนื่อง "m" โดยปกติดจะถือเป็นเวลาที่ช้า เมื่อเทียบกับค่าเวลา "n" ดังนั้นจึงแสดงด้วยความละเอียดที่ต่ำกว่า

ค่าขนาดกำลังสอง ของ STFT ให้ฟังก์ชันเรียกว่า สเปกโตแกรม (spectrogram) :

$\mathrm{spectrogram} \left \{ x( t ) \right \} \equiv \left| X(\tau, \omega) \right|^2$

แหล่งข้อมูลอื่น

• DiscreteTFDs -- software for computing the short-time Fourier transform and other time-frequency distributions
• Singular Spectral Analysis - MultiTaper Method Toolkit - a free software program to analyze short, noisy time series.