ไฟล์:Pm1234-Euler.png
ดูภาพที่มีความละเอียดสูงกว่า (960 × 1,560 พิกเซล, ขนาดไฟล์: 77 กิโลไบต์, ชนิดไมม์: image/png)
รูปภาพหรือไฟล์เสียงนี้ ต้นฉบับอยู่ที่ คอมมอนส์ รายละเอียดด้านล่าง เป็นข้อความที่แสดงผลจาก ไฟล์ต้นฉบับในคอมมอนส์
|
ความย่อ
Euler summation of 1 − 2 + 3 − 4 + · · · to 1/2-1/4.
The original series 1 − 2 + 3 − 4 + · · · is depicted at the top of the diagram; the Euler transformed series 1/2 − 1/4 + 0 + 0 + · · · is depicted at the bottom of the diagram. The conclusion is that the Euler sum of 1 − 2 + 3 − 4 + · · · is 1/2-1/4 = 1/4.
Only the first four terms of the series are shown. A white disk represents +1; a reddish disk represents −1. The units are grouped on top of each other as they occur within the terms of the series.
Let a = 1 − 2 + 3 − 4 + · · · be the original formal series. Let S be the shift operator on formal series,
Let T be the average between S and the identity operator:
Then given a series a, if it converges, then its sum is the same as the sum of the series
The Euler summation procedure has many descriptions, but for the present purposes it can be described as a repetition of the above "process". To be precise, the nth term of the Euler transformed series is
See eq. (20.3) of Korevaar, Jacob (พ.ศ. 2547) Tauberian Theory: A Century of Developments, Springer, pp. 326 ISBN 3-540-21058-X
To compute this transform in place, one pulls half of each term into the next term, then fixes the first term, then repeats.
The part of the diagram with the four green stripes indicates taking half of every term in the original series a and pulling it into the next term. Most of the units cancel, leaving the series
The first term of this series is fixed, leaving
The process repeated upon the remaining terms, leaving 1/2 − 1/4 + 0 + 0 + · · ·. Now two terms are fixed, and the remaining terms are all zero, so all further applications of T do not change the series, and they are not depicted. In the visual language, subsequent green stripes pull on nothingness.
The result is the Euler transformed series, 1/2 − 1/4 + 0 + 0 + · · ·. It is convergent, having only two nonzero terms, and its sum is 1/2 − 1/4. The diagram does not distinguish between the finite series and its sum. As a number, 1/2 − 1/4 = 1/4.
The above is done to illustrate how Euler summation works on the series. In practice, one exploits auxiliary quantities, and the computation is much easier; see for example Image:Pm1234-Euler1755.png. An extended description of Euler's procedure on 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·, including reversing its alternation and taking iterated forward differences, is at w:1 − 2 + 3 − 4 + · · ·#Euler and Borel.
การอนุญาตใช้สิทธิ
อนุญาตให้คัดลอก แจกจ่ายและ/หรือดัดแปรเอกสารนี้ภายใต้เงื่อนไขของสัญญาอนุญาตเอกสารเสรีของกนู รุ่น 1.2 หรือรุ่นใด ๆ นับจากนี้ที่ออกโดยมูลนิธิซอฟต์แวร์เสรี โดยไม่มีส่วนใดห้ามแก้ไข ไม่มีข้อความปกหน้าและปกหลัง สำเนาของสัญญาอนุญาตรวมอยู่ในส่วนชื่อ สัญญาอนุญาตเอกสารเสรีของกนูhttp://www.gnu.org/copyleft/fdl.htmlGFDLGNU Free Documentation Licensetruetrue |
ไฟล์นี้อยู่ภายใต้สัญญาอนุญาต ครีเอทีฟคอมมอนส์ แบบแสดงที่มา-อนุญาตแบบเดียวกัน 3.0 ต้นฉบับ | ||
| ||
ป้ายแสดงสถานะลิขสิทธิ์นี้ถูกเพิ่มเพื่อให้เป็นไปตามการเปลี่ยนแปลงสัญญาอนุญาตของมูลนิธิวิกิมีเดีย จาก GFDL ไปยัง GFDL ควบคู่กับ CC-BY-SA 3.0http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/CC BY-SA 3.0Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0truetrue |
- คุณสามารถ:
- ที่จะแบ่งปัน – ที่จะทำสำเนา แจกจ่าย และส่งงานดังกล่าวต่อไป
- ที่จะเรียบเรียงใหม่ – ที่จะดัดแปลงงานดังกล่าว
- ภายใต้เงื่อนไขต่อไปนี้:
- แสดงที่มา – คุณต้องให้เกียรติเจ้าของงานอย่างเหมาะสม โดยเพิ่มลิงก์ไปยังสัญญาอนุญาต และระบุหากมีการเปลี่ยนแปลง คุณอาจทำเช่นนี้ได้ในรูปแบบใดก็ได้ตามควร แต่ต้องไม่ใช่ในลักษณะที่แนะว่าผู้ให้อนุญาตสนับสนุนคุณหรือการใช้งานของคุณ
- อนุญาตแบบเดียวกัน – หากคุณดัดแปลง เปลี่ยนรูป หรือต่อเติมงานนี้ คุณต้องใช้สัญญาอนุญาตแบบเดียวกันหรือแบบที่เหมือนกับสัญญาอนุญาตที่ใช้กับงานนี้เท่านั้น
ไอเทมที่แสดงอยู่ในไฟล์นี้
ประกอบด้วย
MIME type อังกฤษ
image/png
ประวัติไฟล์
คลิกวันที่/เวลาเพื่อดูไฟล์ที่ปรากฏในขณะนั้น
วันที่/เวลา | รูปย่อ | ขนาด | ผู้ใช้ | ความเห็น | |
---|---|---|---|---|---|
ปัจจุบัน | 00:40, 14 มีนาคม 2550 | 960 × 1,560 (77 กิโลไบต์) | Melchoir | {{vector version available|Pm1234 Euler.svg}} == Summary == Euler summation of 1 − 2 + 3 − 4 + · · · to 1/2-1/4. The original series 1 − 2 + 3 − 4 + · · · is depicted at the top of the diagram; the Euler |
หน้าที่มีภาพนี้
หน้าต่อไปนี้ โยงมาที่ภาพนี้:
การใช้ไฟล์ข้ามโครงการ
วิกิอื่นต่อไปนี้ใช้ไฟล์นี้:
- การใช้บน ca.wikipedia.org
- การใช้บน fr.wikipedia.org
- การใช้บน gl.wikipedia.org
- การใช้บน no.wikipedia.org
- การใช้บน sl.wikipedia.org