หอคอยฮานอย

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
(เปลี่ยนทางจาก หอคอยแห่งฮานอย)
ชุดของเล่น หอคอยแห่งฮานอย

หอคอยแห่งฮานอย หรือ ทาวเวอร์ออฟฮานอย (Tower of Hanoi) เป็นเกมคณิตศาสตร์ ประกอบด้วยหมุด 3 แท่ง และ จานกลมแบนขนาดต่างๆ ซึ่งมีรูตรงกลางสำหรับให้หมุดลอด เกมเริ่มจากจานทั้งหมดวางอยู่ที่หมุดเดียวกัน โดยเรียงตามขนาดจากใหญ่ที่สุดอยู่ทางด้านล่าง จนถึงจานขนาดเล็กที่สุดอยู่ด้านบนสุด เป็นลักษณะกรวยคว่ำตามรูป

เป้าหมายของเกมคือ พยายามย้ายกองจานทั้งหมดไปไว้ที่อีกหมุดหนึ่ง โดยการเคลื่อนย้ายจานจะต้องเป็นไปตามกติกาคือ

  • สามารถย้ายจานได้เพียงครั้งละ 1 ใบ
  • ไม่สามารถวางจาน ไว้บนจานที่มีขนาดเล็กกว่าได้

ประวัติ[แก้]

เกมปัญหานี้คิดค้นขึ้นโดย นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ชื่อ เอดูอาร์ด ลูคาส (Edouard Lucas) ในปี ค.ศ. 1883 มีตำนานเล่าขานเกี่ยวกับโบสถ์ ในอินเดีย ซึ่งมีห้องที่ภายใน มีเสา 3 หลัก และ จานทองอยู่ 64 ใบ คล้องอยู่กับเสา โดยที่พราหมณ์ในโบสถ์นั้นจะทำการเคลื่อนย้ายจานทองตามคำสั่งที่ระบุไว้ในคำพยากรณ์ โดยการเคลื่อนย้ายนั้นจะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขของเกมปัญหา คำพยากรณ์ในตำนานได้ทำนายไว้ว่า เมื่อปัญหาถูกแก้ วาระสุดท้ายของโลกจะมาถึง ดังนั้นปัญหานี้จึงมีอีกชื่อหนึ่งว่า ปัญหา "Tower of Brahma" (หอแห่งพรหม) ไม่มีข้อมูลเด่นชัดว่า ลูคาสนั้นเป็นผู้แต่งตำนานนี้ขึ้น หรือ ว่าได้รับแรงบันดาลใจจากตำนานนี้

หากตำนานนี้เป็นจริง และ พราหมณ์สามารถย้ายจานด้วยความเร็ว 1 ใบต่อวินาทีและใช้จำนวนครั้งการย้ายที่น้อยที่สุด เวลาทั้งหมดที่ใช้ในการแก้ปัญหานี้คือ 264 − 1 วินาที หรือ ประมาณ 585 พันล้านปี (อายุของจักรวาลในตอนนี้ ประมาณ 13.7 พันล้านปี)

นอกเหนือจากตำนานข้างต้นแล้ว ยังมีตำนานดัดแปลงอื่นๆ อีก เช่น ในบางเรื่องเล่าเป็นเรื่องของ วัด กับ พระ โดยที่วัดนั้นอยู่ในประเทศอื่น เช่นที่ เมืองฮานอย ในประเทศเวียดนาม ในบางเรื่องก็มีการเสริมเรื่องเล่าว่า หอคอยนั้นถูกสร้างขึ้นมาพร้อมการกำเนิดของโลก หรือ มีเงื่อนไขว่า พราหมณ์ หรือ พระ จะเคลื่อนย้ายจานได้เพียงวันละ 1 ใบ

คำตอบ[แก้]

ของเล่นส่วนใหญ่จะมีจาน 8 ใบ เกมนี้จะดูเหมือนยากสำหรับผู้เริ่มเล่น แต่สามารถแก้ได้ด้วยขั้นตอนวิธีที่ไม่ซับซ้อน ดังนี้

ขั้นตอนวิธีเวียนเกิด[แก้]

  • ตั้งชื่อหมุดทั้งสาม A,B,C
  • สมมุติมีจานทั้งหมด n ใบ
  • ติดเบอร์ให้กับจานจากเล็กที่สุด 1 ไปจนถึงใหญ่ที่สุด n

ต้องการย้ายจานทั้งหมด n ใบ จากหมุด A ไปยังหมุด B:

  1. หากย้ายจาน n-1 ใบจาก A ไปไว้ที่ C ก่อน จะทำให้เหลือจาน #n (หมายเลข n ใบใหญ่ที่สุด) เพียงใบเดียวที่หมุด A
  2. ย้ายจาน #n จาก A ไปไว้ที่ B
  3. ย้ายจาน n-1 ใบจาก C ไปที่ B ซึ่งจานทั้งหมดจะอยู่บนจาน #n

ขั้นตอนวิธีด้านบนนั้นเรียกว่า ขั้นตอนวิธีเวียนเกิด (recursive algorithm): ในการแก้ปัญหาด้านบน จะเห็นได้ว่าจะเหลือปัญหาการย้ายจานจำนวน n-1 ใบ ซึ่งใช้ขั้นตอนวิธีเดียวกันแก้จะลดเหลือปัญหา n-2 ใบ ไปจนเหลือเพียงการย้ายจานเพียง 1 ใบ

ปัญหาทาวเวอร์ออฟฮานอยนี้ เป็นปัญหาที่นิยมใช้ในการสอนการเขียนโปรแกรมเบื้องต้น ใช้เป็นตัวอย่างสำหรับการเขียนโปรแกรมขั้นตอนวิธีเวียนเกิด นอกจากนั้นแล้วยังใช้เป็นตัวอย่างของขั้นตอนวิธีเวลาแบบเลขชี้กำลัง (exponential time) คือ ยกเว้นในกรณีจานจำนวนน้อยมากๆ เท่านั้น ที่ปัญหานี้จะสามารถแก้ได้ ในกรณีทั่วไปการแก้ปัญหานี้จะต้องใช้เวลามหาศาล ถึงแม้ว่าจะใช้คอมพิวเตอร์ที่เร็วที่สุดในโลกในการแก้ปัญหาก็ตาม และไม่มีวิธีที่จะแก้ปัญหาให้เร็วขึ้นอีกได้ เนื่องจากจำนวนครั้งของการย้ายจานเพื่อแก้ปัญหานั้น มีค่าเพิ่มขึ้นในระดับเลขยกกำลังตามจำนวนจาน

เราสามารถคำนวณหาจำนวนครั้งของการเคลื่อนย้ายจาน ที่จำเป็นในการแก้ปัญหานี้ จากความสัมพันธ์เวียนเกิด (recurrence relation) ได้เท่ากับ 2^n - 1 โดย n คือ จำนวนจานทั้งหมด ผลลัพธ์นี้ได้จากข้อสังเกตที่ว่า ในขั้นตอนที่ 1 และ 3 ใช้เวลาในการแก้ปัญหา T_{n-1} และ ขั้นที่ 2 ใช้เวลาคงที่ ซึ่งให้ความสัมพันธ์ T_n = 2T_{n-1} + 1

โปรแกรมในการแก้ปัญหา ในภาษาแฮสเคล :

hanoi n = hanoi' n 1 2 3
hanoi' 0 _ _ _ = []
hanoi' n f i t = (hanoi' (n-1) f t i) ++ (f, t) : (hanoi' (n-1) i f t)

โดย n คือ จำนวนจานทั้งหมด โปรแกรมจะส่งคืนผล ในรูปของรายการของการเคลื่อนย้ายทั้งหมดที่ต้องกระทำ

คำอธิบาย[แก้]

ขั้นตอนวิธีด้านบน สามารถอธิบายด้วยภาษาชาวบ้าน ได้ดังนี้

  1. ย้าย จาน #1 ไปหมุด C
  2. ย้าย จาน #2 ไปหมุด B
  3. ย้าย จาน #1 จาก C ไป B ไปไว้บนจาน #2

ตอนนี้ เรามีจาน 2 ใบวางตามลำดับถูกต้องที่หมุด B และ หมุด C ไม่มีจาน

  1. ย้าย จาน #3 ไปไว้ที่ C
  2. และ ทำตามขั้นตอนที่ 1 ถึง 3 เพื่อย้ายจาน #1 และ #2 ไปไว้บนจาน #3

ในแต่ละขั้นจะเห็นได้ว่า เราสร้างหอคอยจาก จาน #i ขึ้นไปจนถึง #1 แล้ว เราก็เริ่มย้ายจาน #i+1 จากหมุด A (ซึ่งเป็นหมุดเริ่มต้น) ไปยังหมุดที่ว่างอยู่ เพิ่มเริ่มต้นด้านล่างหอคอยใหม่ (สังเกตว่า การย้ายกองจาน #1 ถึง #i-1 ไปไว้บนหมุดที่ต้องการ คือ บนหมุดที่มี จาน #i อยู่นั้น จะสามารถใช้หมุดที่เหลืออยู่ได้อย่างอิสระ เนื่องจากจานที่เหลืออยู่บนหมุดนั้น คือ ที่หมายเลขมากกว่า #i+1 ไม่มีผลกระทบในการย้ายกองเนื่องจาก จานเหล่านี้มีขนาดใหญ่กว่าจานในกอง #1 ถึง #i-1 ทุกใบ จึงทำให้การย้ายไม่เกิดการผิกกติกา)

จำนวนครั้งในการเคลื่อนย้ายจาน n ใบ เพื่อแก้ปัญหา มีจำนวนครั้งเท่ากับ 2n-1

ในทางปฏิบัติ[แก้]

คำตอบสำหรับจาน 3 ใบ (<<< จานเล็กสุดเคลื่อนไปทางซ้าย)
คำตอบสำหรับจาน 4 ใบ (จานเล็กสุดเคลื่อนไปทางขวา >>>)

ทำการเคลื่อนย้ายจาน #1 และจานอื่นที่ใหญ่กว่า สลับกัน โดยที่หากมีจานใหญ่ 2 ใบที่สามารถย้ายได้ ให้ย้ายใบที่เล็กกว่าไปไว้บนใบที่ใหญ่กว่า ในการเคลื่อนย้าย ให้เคลื่อนจานที่มี หมายเลขคี่ ไปทางซ้ายทีละ 1 หมุด(จนสุดแล้ววนกลับมาเริ่มที่หมุดด้านขวา) และ จานที่มี หมายเลขคู่ ไปทางขวาทีละ 1 หมุด(จนสุดแล้ววนกลับมาเริ่มที่หมุดที่หมุดด้านซ้าย)

หรือที่ง่ายกว่านั้น คือ จะต้องย้ายจานใบเล็กที่สุด 1 ครั้ง หลังจากที่มีการย้ายจานอื่นทุกครั้ง โดยที่การย้ายจานใบเล็กนั้นจะย้ายไปในทิศทางเดียวกันตลอด หลังจากเคลื่อนย้ายจานใบเล็กแล้ว จะมีการเคลื่อนย้ายจานอื่น ที่ไม่ผิดกติกาให้ทำได้เพียงลักษณะเดียวเท่านั้น

ถึงแม้ว่า ขั้นตอนวิธีในการแก้ปัญหานั้นไม่ซับซ้อน แต่การแก้ปัญหาที่เร็วที่สุด สำหรับจาน n ใบนั้น ต้องใช้การย้ายถึง 2n−1 ครั้ง โดยทั่วไปแล้วในกรณีที่มีหมุดมากกว่า 3 หลักนั้น ไม่มีวิธีคำนวณหาจำนวนครั้งที่จำเป็นต้องใช้ในการแก้ปัญหา และวิธีการนับจำนวนครั้งสำหรับกรณีที่มีจานจำนวนมากก็ไม่สามารถทำได้ในทางปฏิบัติ

รหัสฐานสอง[แก้]

เราอาจใช้เลขฐานสอง ในการระบุการเคลื่อนย้ายตำแหน่งของจาน (โดยสภาวะเริ่มต้นเป็นการเคลื่อนที่ #0 มีเลขฐานสองทุกตำแหน่งเป็น 0 และ สภาวะสุดท้ายเป็นการเคลื่อนที่ #2n−1 มีเลขฐานสองทุกตำแหน่งเป็น 1) โดยใช้วิธีการดังนี้

  • จานแต่ละใบจะแทนด้วย 1 หลัก (บิต) ของเลขฐานสอง
  • บิตที่มีค่าความสำคัญมากที่สุด (บิตที่มีค่ามากที่สุด หรือ บิตทางซ้ายมือสุด) แทนจานใบใหญ่ที่สุด
  • บิตที่มีค่าความสำคัญมากที่สุด มีค่า 0 หมายถึงจานใบใหญ่ที่สุดอยู่บนหมุดเริ่มต้น และ มีค่า 1 หมายถึงอยู่ที่หมุดเป้าหมาย
  • สายบิต (อ่านจากบิตซ้าย ไปขวา) ใช้บอกตำแหน่งของจานแต่ละใบตามลำดับ
  • ในการอ่านสายบิต บิตที่มีค่าเดียวกับบิตก่อนหน้า หมายความว่า จานใบนั้นจะวางอยู่บนจานใบที่แทนด้วยบิตก่อนหน้านั้น
    • ซึ่งในกรณีที่ตัวเลขในสายบิต มีค่าเป็น 0 หรือ 1 ทั้งหมด หมายความว่าจานทั้งหมดอยู่บนหมุดเดียวกัน
  • บิตที่มีค่าต่างจากบิตก่อนหน้า มีความหมายว่า จานใบนั้นอยู่บนหมุดถัดจาก หมุดที่วางจานใบก่อนหน้า ไปทางซ้ายหรือทางขวา ซึ่งระบุโดย
    • หากเป็นจานหมายเลขคี่ โดยเริ่มการนับจากใบใหญ่ที่สุด หรือ บิตที่มีค่าความสำคัญมากที่สุด (เช่นจานใบใหญ่เป็นอันดับที่สาม ที่ห้า) ค่าบิต 1 หมายถึง หมุดถัดไปทางซ้าย และ ค่าบิต 0 หมายถึง หมุดถัดไปทางขวา
    • หากเป็นจานหมายเลขคู่ ค่าบิต 1 หมายถึง หมุดถัดไปทางขวา และ ค่าบิต 0 หมายถึง หมุดถัดไปทางซ้าย
    • รูปแบบดังกล่าวสมมติ ตำแหน่งเริ่มต้น คือหมุดทางด้านซ้าย และ หมุดสุดท้ายคือหมุดทางด้านขวา
    • และสมมติการเคลื่อนที่แบบวนรอบ คือ หมุดทางด้านซ้ายสุด ถือเป็นหมุดทางขวาของหมุดที่อยู่ขวาสุด และ หมุดขวาสุด ถือเป็นหมุดทางด้านซ้ายของหมุดซ้ายสุด

ตัวอย่าง จาน 8 ใบ:

  • การย้าย #0 (00000000)
    • จานใบใหญ่ที่สุด มีค่าบิต 0 (00000000) ดังนั้นจึงอยุ่บนหมุดซ้ายสุด (หมุดเริ่มต้น)
    • จานที่เหลือมีค่าบิต 0 ด้วยเช่นกัน (00000000) จึงวางอยู่บนจานใบใหญ่สุด ดังนั้นจานทุกใบจึงอยู่ที่หมุดเริ่มต้น
  • การย้าย #255 (11111111)
    • จานใบใหญ่ที่สุด มีค่าบิต 1 (11111111) ดังนั้นจึงอยู่ที่หมุดขวาสุด (หมุดเป้าหมาย)
    • จานที่เหลือมีค่าบิต 1 ด้วยเช่นกัน (11111111) จึงวางอยู่บนจานใบใหญ่สุด ดังนั้นจานทุกใบจึงอยู่ที่หมุดเป้าหมาย และ เป็นคำตอบของเกม
  • การย้าย #216 (11011000)
    • จานใบใหญ่ที่สุด มีค่าบิต 1 (11011000) ดังนั้นจึงอยู่ที่หมุดขวาสุด (หมุดเป้าหมาย)
    • จาน #2 มีค่าบิต 1 (11011000) ดังนั้นจึงวางอยู่บนจานใบแรกที่หมุดขวาสุด
    • จาน #3 มีค่าบิต 0 (11011000) จานหมายเลขคี่ มีค่าบิต 0 คือหมุดถัดไปทางด้านขวา (ของหมุดขวาสุด) คือ หมุดซ้ายมือสุด
    • จาน #4 มีค่าบิต 1 (11011000) จานหมายเลขคู่ มีค่าบิต 1 คือหมุดถัดไปทางด้านขวา คือ หมุดกลาง
    • จาน #5 มีค่าบิต 1 (11011000) เหมือนบิตก่อนหน้า จึงวางอยู่บนจานก่อนหน้าที่หมุดกลาง
    • จาน #6 มีค่าบิต 0 (11011000) จานหมายเลขคู่ มีค่าบิต 0 คือหมุดถัดไปทางด้านซ้าย คือหมุดซ้ายสุด
    • จาน #7 #8 มีค่าบิต 0 (11011000) ซึ่งมีค่าเหมือนบิตก่อนหน้า ดังนั้นจานทั้งสองจึงวางซ้อนอยู่บนจาน #6 ที่หมุดซ้ายสุด

ตามรูปแบบเลขฐานสองนี้ เราสามารถหาตำแหน่งของจานต่างๆ ได้ไม่ยาก ถึงแม้จะมีจานเป็นจำนวนมากก็ตาม ส่วนหาการย้ายจาน ครั้งที่ n ว่าย้ายจากหมุดไหนไปยังหมุดไหนนั้น สามารถหาได้จากเลขฐานสอง n โดยใช้ การดำเนินการเป็นบิต (bitwise operation) กรณีที่ใช้วากยสัมพันธ์ของภาษาซี การย้ายครั้งที่ n จะย้ายจากหมุด (n&n-1)%3 ไปยังหมุด ((n|n-1)+1)%3 โดยที่ตำแหน่งเริ่มของจานอยู่ที่หมุด 0 และจบการย้ายที่หมุด 1 หรือ หมุด 2 ขึ้นอยู่กับจำนวนจานว่าเป็นจำนวนคู่ หรือ จำนวนคี่ ซึ่งวิธีการนี้ ช่วยให้สร้างโปรแกรมสำหรับแก้ปัญหาด้วยคอมพิวเตอร์เป็นแบบไม่เวียนเกิด และสามารถแก้ปัญหาได้รวดเร็ว

รหัสเกรย์[แก้]

รหัสเกรย์ (Gray code) ซึ่งเป็นระบบตัวเลขฐานสองแบบหนึ่ง เป็นรูปแบบจำลองอีกแบบหนึ่งซึ่งสามารถใช้ในการแก้ปัญหา ในระบบรหัสเกรย์นั้น ตัวเลขจะเขียนอยู่ในรูปผสมของตัวเลข 0 และ 1 แต่จะแตกต่างเลขฐานสองมาตรฐาน โดยรหัสเกรย์ สำหรับแทนตัวเลขที่อยู่ถัดกัน จะต่างกันเพียง 1 บิตเท่านั้น จำนวนบิตที่ใช้ในรหัสเกรย์นั้นมีความสำคัญ รวมทั้งเลขศูนย์ที่อยู่นำหน้าก็ม่ความสำคัญ (ซึ่งต่างจากเลขฐานสองมาตรฐานที่เลขศูนย์ที่อยู่นำหน้านั้นไม่มีความสำคัญ)

หากจำนวนบิตของรหัสเกรย์ เท่ากับจำนวนจานในเกม และเริ่มนับจากศูนย์ เพิ่มขึ้นเรื่อยๆ บิตที่เปลี่ยนไปในการนับแต่ละขั้น ก็คือการย้ายจาน โดยบิตที่ค่าความสำคัญน้อยที่สุด คือจานใบเล็กที่สุด และ บิตที่มีค่าความสำคัญมากที่สุดคือ จานใบใหญ่ที่สุด

วิธีนี้บอกว่าจานใบไหนถูกย้าย แต่ไม่ได้บอกว่าย้ายไปที่ไหน กฎของการย้ายจะเป็นตัวบอกการย้าย โดยการย้ายจานนั้น จานที่มีภาวะคู่หรือคี่ (parity) เหมือนกันจะไม่วางซ้อนทับกัน (คือ จานเลขคู่ จะไม่ย้ายไปวางบนหมุดที่มีจานเลขคู่อยู่ด้านบนสุด จานเลขคี่ ก็จะไม่ย้ายไปวางบนจานเลขคี่) หากเราทำการย้ายตากกฎนี้ก็จะไม่เกิดความสับสนของตำแหน่งที่จะต้องย้ายจานไปวาง [1]

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]

ประวัติ[แก้]

ขั้นตอนวิธี[แก้]