ผลต่างระหว่างรุ่นของ "สมบัติการแจกแจง"

เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม

ในบรรทัด

รุ่นแก้ไขเมื่อ 10:05, 3 ตุลาคม 2564

ในทางคณิตศาสตร์ สมบัติการแจกแจง (อังกฤษ: distributivity) คือสมบัติหนึ่งที่สามารถมีได้บนการดำเนินการทวิภาค ซึ่งเป็นกรณีทั่วไปของกฎการแจกแจงจากพีชคณิตมูลฐาน ตัวอย่างเช่น

2 × (1 + 3) = (2 × 1) + (2 × 3) = 8

ข้างซ้ายของสมการข้างต้น 2 คูณเข้ากับผลบวกของ 1 กับ 3 ส่วนข้างขวา 2 คูณเข้ากับ 1 และ 3 แต่ละตัวแยกกัน แล้วค่อยนำผลคูณเข้ามาบวก เนื่องจากตัวอย่างข้างต้นให้ผลลัพธ์เท่ากันคือ 8 เราจึงกล่าวว่า การคูณด้วย 2 แจกแจงได้ (distribute) บนการบวกของ 1 กับ 3

เราสามารถแทนที่จำนวนเหล่านั้นด้วยจำนวนจริงใดๆ แล้วทำให้สมการยังคงเป็นจริง เราจึงกล่าวว่า การคูณของจำนวนจริง แจกแจงได้บนการบวกของจำนวนจริง สมบัติการแจกแจงจึงต้องเกี่ยวข้องกับการดำเนินการสองชนิด

นิยาม

กำหนดให้การดำเนินการทวิภาค · และ + บนเซต S และ x, y, z เป็นสมาชิกใดๆ ของเซต S

การดำเนินการ · จะเป็นการดำเนินการ แจกแจงข้างซ้าย บนการดำเนินการ + ถ้า
$x\cdot (y+z)=(x\cdot y)+(x\cdot z)\,$
การดำเนินการ · จะเป็นการดำเนินการ แจกแจงข้างขวา บนการดำเนินการ + ถ้า
$(y+z)\cdot x=(y\cdot x)+(z\cdot x)\,$
การดำเนินการ · จะเป็นการดำเนินการ แจกแจง (distributive) บนการดำเนินการ + ถ้าสามารถแจกแจงได้ทั้งข้างซ้ายและข้างขวา ^[1]

การดำเนินการ · และ + มิได้หมายความว่าจะต้องเป็นแค่การคูณกับการบวกเท่านั้น แต่หมายถึงการดำเนินการใดๆ ที่ตรงตามเงื่อนไขข้างต้น โปรดสังเกตว่าเมื่อการดำเนินการ การคูณของจำนวนแจกแจงได้บนการบวก ซึ่งใช้ได้กับจำนวนหลายชนิดตั้งแต่จำนวนธรรมชาติไปจนถึงจำนวนเชิงซ้อนและจำนวนเชิงการนับ (cardinal number)

ในทางตรงข้าม การคูณของจำนวนเชิงอันดับที่ (ordinal number) แจกแจงทางซ้ายได้อย่างเดียวบนการบวก ไม่แจกแจงข้างขวา
การคูณเมทริกซ์แจกแจงได้ทั้งข้างซ้ายและข้างขวาบนการบวก แต่ผลที่ได้ไม่เท่ากัน (สลับที่ไม่ได้)
ยูเนียนของเซตแจกแจงได้บนอินเตอร์เซกชัน และอินเตอร์เซกชันก็แจกแจงได้บนยูเนียน นอกจากนั้นอินเตอร์เซกชันก็แจกแจงได้บนผลต่างสมมาตรของเซต (symmetric difference)
ในทางตรรกศาสตร์ การเลือก (disjunction "or") แจกแจงได้บนการเชื่อม (conjunction "and") และการเชื่อมก็สามารถแจกแจงได้บนการเลือก นอกจากนั้นการเชื่อมก็แจกแจงได้บนการเลือกเฉพาะ (exclusive disjunction "xor")

อ้างอิง

↑ Ayres, Frank, Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1965). ISBN 0-07-002655-6.

ดูเพิ่ม

[1] Ayres, Frank, Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1965). ISBN 0-07-002655-6.

[1]

@@ บรรทัด 13: / บรรทัด 13: @@
 * การดำเนินการ · จะเป็นการดำเนินการ ''แจกแจง'' (distributive) บนการดำเนินการ + ถ้าสามารถแจกแจงได้ทั้งข้างซ้ายและข้างขวา <ref>Ayres, Frank, ''Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra'', McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1965). ISBN 0-07-002655-6.</ref>
-การดำเนินการ · และ + มิได้หมายความว่าจะต้องเป็นแค่การคูณกับการบวกเท่านั้น แต่หมายถึงการดำเนินการใดๆ ที่ตรงตามเงื่อนไขข้างต้น โปรดสังเกตว่าเมื่อการดำเนินการ · มี[[สมบัติการสลับที่]] ดังนั้นเงื่อนไขทั้งสามข้างต้นจะเทียบเท่ากันโดยตรรกะ
+การดำเนินการ · และ + มิได้หมายความว่าจะต้องเป็นแค่การคูณกับการบวกเท่านั้น แต่หมายถึงการดำเนินการใดๆ ที่ตรงตามเงื่อนไขข้างต้น โปรดสังเกตว่าเมื่อการดำเนินการ การคูณของ[[จำนวน]]แจกแจงได้บนการบวก ซึ่งใช้ได้กับจำนวนหลายชนิดตั้งแต่[[จำนวนธรรมชาติ]]ไปจนถึง[[จำนวนเชิงซ้อน]]และ[[จำนวนเชิงการนับ]] (cardinal number)
-== ตัวอย่าง ==
-* การคูณของ[[จำนวน]]แจกแจงได้บนการบวก ซึ่งใช้ได้กับจำนวนหลายชนิดตั้งแต่[[จำนวนธรรมชาติ]]ไปจนถึง[[จำนวนเชิงซ้อน]]และ[[จำนวนเชิงการนับ]] (cardinal number)
 * ในทางตรงข้าม การคูณของ[[จำนวนเชิงอันดับที่]] (ordinal number) แจกแจงทางซ้ายได้อย่างเดียวบนการบวก ไม่แจกแจงข้างขวา
 * การคูณ[[เมทริกซ์]]แจกแจงได้ทั้งข้างซ้ายและข้างขวาบนการบวก แต่ผลที่ได้ไม่เท่ากัน (สลับที่ไม่ได้)
 * [[ยูเนียน]]ของเซตแจกแจงได้บน[[อินเตอร์เซกชัน]] และอินเตอร์เซกชันก็แจกแจงได้บนยูเนียน นอกจากนั้นอินเตอร์เซกชันก็แจกแจงได้บน[[ผลต่างสมมาตร]]ของเซต (symmetric difference)
 * ในทางตรรกศาสตร์ [[การเลือกเชิงตรรกศาสตร์|การเลือก]] (disjunction "or") แจกแจงได้บน[[การเชื่อมเชิงตรรกศาสตร์|การเชื่อม]] (conjunction "and") และการเชื่อมก็สามารถแจกแจงได้บนการเลือก นอกจากนั้นการเชื่อมก็แจกแจงได้บน[[การเลือกเฉพาะ]] (exclusive disjunction "xor")
+*
-* สำหรับ[[จำนวนจริง]]หรือ[[เซตอันดับทุกส่วน]] (totally ordered set) การหาค่าสูงสุดแจกแจงได้บนการหาค่าต่ำสุด และการหาค่าต่ำสุดแจกแจงได้บนการหาค่าสูงสุด
-*: <math>\max(a,\min(b,c)) = \min(\max(a,b),\max(a,c))\,</math>
-*: <math>\min(a,\max(b,c)) = \max(\min(a,b),\min(a,c))\,</math>
-* สำหรับ[[จำนวนเต็ม]] การหา[[ตัวหารร่วมมาก]]แจกแจงได้บนการหา[[ตัวคูณร่วมน้อย]] และการหาตัวคูณร่วมน้อยแจกแจงได้บนการหาตัวหารร่วมมาก
-*: <math>\operatorname{gcd}(a,\operatorname{lcm}(b,c)) = \operatorname{lcm}(\operatorname{gcd}(a,b),\operatorname{gcd}(a,c))\,</math>
-*: <math>\operatorname{lcm}(a,\operatorname{gcd}(b,c)) = \operatorname{gcd}(\operatorname{lcm}(a,b),\operatorname{lcm}(a,c))\,</math>
-* สำหรับจำนวนจริง การบวกสามารถแจกแจงได้บนการหาค่าสูงสุดและการหาค่าต่ำสุด
-*: <math>a + \max(b,c) = \max(a+b,a+c)\,</math>
-*: <math>a + \min(b,c) = \min(a+b,a+c)\,</math>
 == อ้างอิง ==