ค่าสัมบูรณ์

กราฟของฟังก์ชันค่าสมบูรณ์

ในคณิตศาสตร์ ค่าสัมบูรณ์ หรือ มอดุลัส (อังกฤษ: absolute value หรือ modulus)ของจำนวนจริง x ใด ๆ คือ ผลต่างระหว่างจำนวนนั้นกับ 0 หรืออีกนัยหนึ่ง ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนใด ๆ ได้จากการตัดเครื่องหมายลบทิ้ง ตัวอย่างเช่น ค่าสัมบูรณ์ของ 3 คือ 3 และค่าสัมบูรณ์ของ −3 ก็คือ -3 เช่นกัน

นอกจากนี้ยังมีการขยายนัยทั่วไปของค่าสัมบูรณ์ไปสู่ค่าสมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน จำนวนควอเตอร์เนียน ริงเรียงอันดับ ฟีลด์ ปริภูมิเวกเตอร์ และนำไปสู่นอร์มเหนือปริภูมิเวกเตอร์

นิยามบนจำนวนจริง

สำหรับจำนวนจริง a ใดๆ , ค่าสัมบูรณ์ของ a เขียนแทนด้วย |a| เท่ากับ a ถ้า a ≥ 0 และเท่ากับ −a ถ้า a < 0 ค่าสัมบูรณ์จะเป็นจำนวนบวกหรือศูนย์เสมอ ไม่เป็นจำนวนลบ นั่นคือจะไม่มีค่า a ที่ |a| < 0

ค่าสัมบูรณ์สามารถถือว่าเป็นระยะทางระหว่างจำนวนนั้นกับศูนย์

สมบัติของค่าสัมบูรณ์บนจำนวนจริง

ค่าสัมบูรณ์มีสมบัติดังนี้ สำหรับจำนวนจริง $a,b,c$ ใด ๆ

$|a|\geq 0$	ความไม่เป็นลบ (Non-negativity)
$|a|=0\iff a=0$	สมบัติความเป็นบวกแน่นอน (Positive-definiteness)
$|ab|=\left|a\right|\left|b\right|$	สมบัติแยกคูณ (Multiplicativity)
$|a+b|\leq |a|+|b|$	สมบัติ Subadditivity หรือเรียกว่าอสมการอิงรูปสามเหลี่ยม

สมบัติข้างต้นเป็นสมบัติพื้นฐานที่ใช้ในการนิยามค่าสัมบูรณ์ในกรณีทั่วไป สมบัติด้านล่างเป็นผลจากสมบัติข้างต้นทั้งสี่ข้อ

${\bigl |}\left|a\right|{\bigr |}=|a|$	สมบัตินิจพล (Idempotence)
$\left|-a\right|=|a|$	ความสมมาตรผ่านการสะท้อน หรือ ความเป็นฟังก์ชันคู่
$|a-b|\leq |a-c|+|c-b|$	อสมการอิงรูปสามเหลี่ยม
$\left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}\$ (เมื่อ $b\neq 0$)	สมบัติการแยกหาร
$|a-b|\geq {\bigl |}\left|a\right|-\left|b\right|{\bigr |}$	อสมการอิงรูปสามเหลี่ยมย้อนกลับ

สมบัติที่สำคัญอีกสองข้อของค่าสัมบูรณ์มีดังนี้

$|a|\leq b\iff -b\leq a\leq b$

$|a|\geq b\iff a\leq -b\$ or $a\geq b$

ซึ่งใช้ในการแก้อสมการที่เกี่ยวข้องกับค่าสัมบูรณ์ อาทิ

$|x-3|\leq 9$	$\iff -9\leq x-3\leq 9$
	$\iff -6\leq x\leq 12$

ค่าสัมบูรณ์บนจำนวนเชิงซ้อน

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน $z=x+yi$ ใด ๆ เมื่อ $x,y\in \mathbb {R}$ เป็นจำนวนจริง จะนิยามค่าสัมบูรณ์หรือมอดุลัสของ $z$ ได้ดังนี้

$|z|={\sqrt {[\operatorname {Re} (z)]^{2}+[\operatorname {Im} (z)]^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

เมื่อ Re(z) แทนส่วนจริง และ Im(z) แทนส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน z