เรขาคณิตเชิงพีชคณิต

พื้นผิวตอกเกลียตติ (Togliatti surface) เป็นพื้นผิวพีชคณิตที่มีดีกรีเท่ากับห้า รูปนี้จำลองส่วนหนึ่งของโลคัสค่าจริงของพื้นผิวดังกล่าว

 เรขาคณิตเชิงพีชคณิต (อังกฤษ: Algebraic geometry) เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เริ่มแรกศึกษารากของพหุนามหลายตัวแปร โดยอาศัยวิธีการทางพีชคณิตนามธรรม โดยเฉพาะอย่างยิ่งเครื่องมือจากพีชคณิตสลับที่เพื่อใช้การแก้ปัญหาทางเรขาคณิตเกี่ยวกับเซตของรากของพหุนามดังกล่าว

วัตถุพื้นฐานของการศึกษาในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตคือวาไรตีเชิงพีชคณิต (Algebraic variety) ซึ่งเป็นผลเฉลยของระบบสมการพหุนามเมื่อมองว่าเป็นวัตถุเรขาคณิต ตัวอย่างวาไรตีเชิงพีชคณิตที่ได้รับการศึกษามากที่สุด เช่น เส้นโค้งเชิงพีชคณิตระนาบ ซึ่งรวมถึง เส้นตรง วงกลม พาราโบลา วงรี ไฮเพอร์โบลา, เส้นโค้งคิวบิก เช่น เส้นโค้งเชิงวงรี และเส้นโค้งควอร์ติกเช่น เลมนิสเคต และ วงรีแคสสินี เส้นโค้งข้างต้นมีจุดบนเส้นโค้งบางจุดที่มีความสำคัญและมีทฤษฎีที่เกี่ยวข้อง อาทิเช่น จุดเอกฐาน จุดเปลี่ยนเว้า และจุดที่ตำแหน่งอนันต์ ส่วนทฤษฎีขั้นสูงของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตสนใจทอพอโลยีของเส้นโค้งต่าง ๆ และความสัมพันธ์ระหว่างเส้นโค้งแต่ละเส้น

เรขาคณิตเชิงพีชคณิตเป็นหัวใจสำคัญของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ และมีความเชื่อมโยงไปยังสาขาต่าง ๆ จำนวนมาก เช่น การวิเคราะห์เชิงซ้อน ทอพอโลยี และ ทฤษฎีจำนวน ตลอดจนมีบทประยุกต์ในการออกแบบการทดลองในสถิติเชิงคณิตศาสตร์

แนวคิดพื้นฐาน

รากของระบบพหุนาม

ทรงกลมและวงกลมเอียง

ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต นักคณิตศาสตร์ศึกษารากของระบบสมการพหุนาม ซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นเซตของจุดในปริภูมิมิติต่าง ๆ ตัวอย่างเช่น ทรงกลมที่มีรัศมีเท่ากับ 1 ในปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติ R³ เป็นเซตของจุด (x,y,z) ∈ R³ ทั้งหมดที่ทำให้

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0$

อีกตัวอย่างหนึ่ง วงกลมเอียง ใน R³ ซึ่งเกิดจากเซตของจุด (x,y,z) ทั้งหมดที่สอดคล้องกับระบบสมการพหุนามสองสมการ

${\begin{cases}x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0\\x+y+z=0\end{cases}}$

วาไรตีเชิงพีชคณิต

บทความหลัก: วาไรตีเชิงพีชคณิต

วาไรตีเชิงพีชคณิต (Algebraic variety) เป็นวัตถุพื้นฐานที่ศึกษาในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต ในที่นี้เราสนใจวาไรตีในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตคลาสสิค ซึ่งมีนิยามดังนี้

วาไรตี V เหนือ Rⁿ (หรือ Cⁿ) เป็นเซตของจุด (x₁,...,x_n) ที่สอดคล้องกับระบบสมการพหนุม f_i (x₁,...,x_n) สำหรับแต่ละ i = 1, 2, ...

เส้นโค้งเชิงพีชคณิตคือวาไรตีเชิงพีชคณิตที่มี n = 2 วาไรตีเชิงพีชคณิตที่พื้นฐานที่สุด ได้แก่ วาไรตีสัมพรรค (Affine variety) และวาไรตีเชิงภาพฉาย หรือวาไรตีโพรเจคทีฟ (Projective variety)

ฟังก์ชันพหุนามและเซตเชิงพีชคณิต

บทความหลัก: เซตเชิงพีชคณิต

ให้ $k$ เป็นฟิลด์ ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตคลาสสิกนิยมใช้ฟิลด์จำนวนเชิงซ้อน C แต่เราสามารถเปลี่ยน C เป็นฟีลด์ที่มีสมบัติปิดเชิงพีชคณิตใด ๆ ได้ (นั่นคือทุกพหุนามดีกรีมากกว่า 1 ในฟิลด์ $k$ มีรากเสมอ) โดยที่ทฤษฎีทั่วไปยังคงเป็นจริง

เราสนใจปริภูมิสัมพรรค (Affine space) มิติ n เหนือฟิลด์ k ซึ่งเขียนแทนด้วย $\mathbf {A} ^{n}(k)$ (บางครั้งเขียน $\mathbf {A} ^{n}$ เมื่อ $k$ ชัดเจนจากบริบท) สังเกตว่า หากเรากำหนดระบบพิกัดฉากให้ $\mathbf {A} ^{n}(k)$ แล้ว $\mathbf {A} ^{n}(k)$ จะกลายเป็นปริภูมิเวกเตอร์ $k^{n}$ เหตุผลที่เราไม่พิจารณา $k^{n}$ โดยตรงก็เพื่อ "ลืม" ว่า $k^{n}$ มีโครงสร้างเป็นปริภูมิเวกเตอร์

ฟังก์ชัน $f\colon \mathbf {A} ^{n}\to \mathbf {A} ^{1}$ จะเป็น ฟังก์ชันพหุนาม (หรือ ฟังก์ชันปกติ) หากสามารถเขียนเป็นพหุนามได้ นั่นคือถ้ามีพหุนาม $p\in k[x_{1},\dotsc ,x_{n}]$ ที่ทำให้ $f(M)=p(t_{1},\dotsc ,t_{n})$ สำหรับทุกจุด $M$ ที่มีพิกัด $(t_{1},\dotsc ,t_{n})$ ใน $\mathbf {A} ^{n}$ ในกรณีที่ฟีลด์ของเราเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต (หรือโดยทั่วไปกว่าเมื่อฟิลด์เป็นฟิลด์อนันต์) จะมีความสัมพันธ์ 1-1 ทั่วถึงระหว่างฟังก์ชันพหุนามและพหุนามใน $k[x_{1},\dotsc ,x_{n}]$ ซึ่งทำให้เซตของฟังก์ชันพหุนามทั้งหมดเป็นริง เรียกว่า ริงของฟังก์ชันพหุนาม และเขียนแทนด้วย $k[\mathbf {A} ^{n}]$

ให้ $S$ เป็นเซตของพหุนามใน $k[\mathbf {A} ^{n}]$ เซตศูนย์ หรือ เซตแวนิชชิง (Zero set หรือ Vanishing set) ของ S คือเซต $V(S)$ ของจุดทั้งหมดใน $\mathbf {A} ^{n}$ ที่ทำให้พหุนามทุกตัวใน $S$ เป็นศูนย์ที่จุดนั้น ตามนิยามด้านล่าง

$V(S)=\{(t_{1},\dots ,t_{n})\mid p(t_{1},\dots ,t_{n})=0{\text{ for all }}p\in S\}$

จะเรียกสับเซต $W$ ใด ๆ ของ $\mathbf {A} ^{n}$ ว่าเป็น เซตเชิงพีชคณิต (Algebraic set) ถ้าหาก $W$ สามารถเขียนได้ในรูป $V(S)$ สำหรับบางเซต $S\subseteq k[\mathbf {A} ^{n}]$

ความสมมูลระหว่างเรขาคณิต-พีชคณิต

เราสนใจปัญหาที่ว่า หากระบุสับเซต $W$ ใด ๆ ของ $\mathbf {A} ^{n}$ มา สามารถหาเซตของพหุนาม $S\subseteq k[\mathbf {A} ^{n}]$ ที่ก่อกำเนิด $W$ (หรือก็คือ $V(S)=W$) ได้หรือไม่

นิยามเซต $I(W)$ แทนเซตของพหุนามทั้งหมดที่เซตศูนย์ของมันมี $W$ เป็นสับเซต สัญลักษณ์ $I$ มาจากสมบัติที่ว่าเซตดังกล่าวเป็นไอดีลของ $\mathbf {A} ^{n}$

จากนิยามข้างต้น ทำให้เกิดคำถามต่อไปนี้

• กำหนดเซต $W\subseteq \mathbf {A} ^{n}$ ใด ๆ เมื่อไรที่ $W=V(I(W))$
• กำหนดเซตของพหุนาม $S$ เมื่อไรที่ $S=I(V(S))$

คำตอบของคำถามแรกได้จากการกำหนดทอพอโลยีบน $\mathbf {A} ^{n}$ เรียกว่า ทอพอโลยีซาริสกี (Zariski topology) ซึ่งเซตปิดบนทอพอโลยีดังกล่าว ได้แก่เซตเชิงพีชคณิตทั้งหมด และทอพอโลยีนี้สะท้อนโครงสร้างพีชคณิตของ $k[\mathbf {A} ^{n}]$ แล้วจะได้ว่า $W=V(I(W))$ ก็ต่อเมื่อ $W$ เป็นเซตเชิงพีชคณิต หรือเซตปิดในทอพอโลยีซาริสกี ส่วนคำถามที่สองนั้นเป็นผลจากทฤษฎีบทที่เรียกว่า ฮิลแบร์ทนูลสเต็ลเลินซาต์ส หรือ ทฤษฎีบทโลคัส-ศูนย์ของฮิลแบร์ท (Hilbert's Nullstellensatz) ซึ่งกล่าวว่า $I(V(S))$ เป็นราดิคัลของไอดีลที่ก่อกำเนิดโดย $S$ ผลลัพธ์จากทฤษฎีทั้งสองระบุว่า ไอดีลใน $k[\mathbf {A} ^{n}]$ และเซตเชิงพีชคณิตใน $\mathbf {A} ^{n}$ เป็นอย่างเดียวกัน

วาไรตีสัมพรรค

บทความหลัก: วาไรตีสัมพรรค

เซตเชิงพีชคณิตจะเป็น เซตลดรูปไม่ได้ (Irreducible set) หากมันไม่เป็นยูเนียนของเซตเชิงพีชคณิตที่เล็กกว่าสองเซตได้ เราพบว่า เซตเชิงพีชคณิตใด ๆ อยู่ในรูปยูเนียนจำกัดของเซตเชิงพีชคณิตที่ลดรูปไม่ได้ และการแยกส่วนแบบดังกล่าวมีได้แบบเดียว ดังนั้นส่วนประกอบหรือเซตเชิงพีชคณิตที่ลดรูปไม่ได้ดังกล่าวจึงถูกเรียกว่า ส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดรูปได้ (Irreducible components) ของเซตพีชคณิต เซตเชิงพีชคณิตที่ลดรูปไม่ได้เรียกอีกอย่างว่า วาไรตี หรือ วาไรตีสัมพรรค เพื่อระบุเจาะจงว่าเราทำงานอยู่ในปริภูมิสัมพรรค

มีทฤษฎีบทว่า เซตเชิงพีชคณิตจะเป็นวาไรตีก็ต่อเมื่อ มีไอดีลเฉพาะ $I$ ของ $k[\mathbf {A} ^{n}]$ ที่ทำให้เซตเชิงพีชคณิตนั้นเป็นเซตศูนย์ของไอดีล $I$

ประวัติ

คริสต์ศตวรรษที่ 20

วาน เดอร์ วาร์เดน, ออสการ์ ซาริสกี และ อองเดร์ แวย์ พัฒนารากฐานสำหรับเรขาคณิตเชิงพีชคณิตโดยอาศัยพีชคณิตสลับที่ รวมถึง ทฤษฎีแวลิวเอชัน (Valuation theory) และทฤษฎีของไอดีล เป้าหมายประการหนึ่งเพื่อสร้างกรอบโครงร่างที่รัดกุมเพื่อใช้พิสูจน์ผลงานของนักคณิตศาสตร์ด้านเรขาคณิตเชิงพีชคณิตสกุลอิตาลี ทั้งนี้เพราะว่า นักคณิตศาสตร์ในสกุลนี้ใช้แนวคิดเรื่อง จุดทั่วไป (Generic points) ในงานคณิตศาสตร์โดยไม่มีคำจำกัดความที่ชัดเจน นิยามจุดทั่วไปกำหนดเป็นครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ข้างต้นในช่วงทศวรรษ 1930

ในช่วงทศวรรษที่ 1950 และ 1960 ฌ็อง-ปิแยร์ แซร์ และ อเล็กซองดร์ โกรเธนดีก สร้างรากฐานใหม่โดยใช้ ทฤษฎีชีฟ (Sheaf theory) ในภายหลังโกรเธนดีกได้ริเริ่มเสนอแนวคิดเกี่ยวกับ สกีม (Scheme) ร่วมกับวิธีการทางฮอมอโลยี

วาไรตีที่สำคัญรูปแบบหนึ่งคือ วาไรตีอาบีเลียน ซึ่งเป็นวาไรตีเชิงภาพฉายที่มีจุดบนวาไรตีนี้เป็นกรุปอาบีเลียน ตัวอย่างต้นแบบของวาไรตีอาบีเลียนคือ เส้นโค้งเชิงวงรี ซึ่งมีทฤษฎีที่เกี่ยวข้องมากมาย เส้นโค้งเชิงวงรีเป็นเครื่องมือในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ และยังใช้ใน การเข้ารหัสเส้นโค้งเชิงวงรีอีกด้วย

ดูเพิ่ม

• Hartshorne, Robin (1977). Algebraic geometry. New York: Springer. ISBN 0-387-90244-9. OCLC 2798099.
• Cutkosky, Steven Dale (2018). Introduction to Algebraic Geometry. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 9781470435189.
• Reid, Miles (1988). Undergraduate Algebraic Geometry (PDF). Cambridge University Press: Cambridge University Press. ISBN 9781139163699.
• The Rising Sea: Foundations of Algebraic Geometry โดย Ravi Vakil
• The Stacks Project หนังสือโอเพินซอร์สสำหรับอ้างอิงเกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงพีชคณิต