ผลต่างระหว่างรุ่นของ "อนุกรมฟูรีเย"

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
ไม่มีความย่อการแก้ไข
ป้ายระบุ: ถูกย้อนกลับแล้ว การแก้ไขแบบเห็นภาพ แก้ไขจากอุปกรณ์เคลื่อนที่ แก้ไขจากเว็บสำหรับอุปกรณ์เคลื่อนที่
Waniosa Amedestir (คุย | ส่วนร่วม)
ย้อนการแก้ไขที่ 8483025 สร้างโดย 182.52.204.11 (พูดคุย)
ป้ายระบุ: ทำกลับ แก้ไขจากอุปกรณ์เคลื่อนที่ แก้ไขจากเว็บสำหรับอุปกรณ์เคลื่อนที่ แก้ไขขั้นสูงด้วยอุปกรณ์เคลื่อนที่
บรรทัด 29: บรรทัด 29:


== ตัวอย่าง ==
== ตัวอย่าง ==
พิจารณาฟังก์ชัน <math> \, f(x) = x \,</math> สำหรับค่า <math> x \in (-\pi,\pi) </math> และเป็นคาบในช่วงที่เหลือ ตามข้อสมมุติของอนุกรมฟูเรียร์ ดังรูป
พิจารณาฟังก์ชัน <math> \, f(x) = x \,</math> สำหรับค่า <math> x \in (-\pi,\pi) </math> และเป็นคาบในช่วงที่เหลือ ตามข้อสมมุติของอนุกรมฟูรีเย ดังรูป
::[[ไฟล์:Fxeqx.png|450px]]
::[[ไฟล์:Fxeqx.png|450px]]



รุ่นแก้ไขเมื่อ 17:09, 10 มีนาคม 2564

อนุกรมฟูรีเย ตั้งชื่อตามโฌแซ็ฟ ฟูรีเย อนุกรมฟูรีเยเป็นเทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่มีประโยชน์ เช่นใช้ในการแยกปัญหาออกเป็นส่วนย่อยๆ ที่ง่ายกว่าปัญหาดั้งเดิม โดยอนุกรมฟูรีเย นั้นเป็นการกระจายฟังก์ชันคาบ ที่มีคาบ 2π ให้อยู่ในรูปผลบวกของ ฟังก์ชันคาบในรูป

ซึ่งเป็น ฮาร์โมนิก ของ ei x หรือ อาจเขียนในรูปของฟังก์ชัน ไซน์ และ โคไซน์

ดูประวัติที่บทความหลัก การแปลงฟูรีเย

นิยาม

พิจารณาฟังก์ชันจำนวนเชิงซ้อน f(x) ของตัวแปรซึ่งมีค่าเป็นจำนวนจริง ที่มีคาบ 2π และ สามารถหาค่าปริพันธ์ของกำลังสอง ในช่วง 0 ถึง 2π ได้ การกระจายฟังก์ชันในรูปของอนุกรมฟูรีเยจะหาได้จาก

อนุกรมฟูรีเย สัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูรีเย
จาก สูตรของออยเลอร์ (Euler's formula) เราสามารถเขียน f(x) อยู่ในรูปอนุกรมอนันต์ของ และ

โดยที่ , และ

ตัวอย่าง

พิจารณาฟังก์ชัน สำหรับค่า และเป็นคาบในช่วงที่เหลือ ตามข้อสมมุติของอนุกรมฟูรีเย ดังรูป

สัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูรีเยสามารถคำนวณหาได้ดังต่อไปนี้ สังเกตว่า cos(nx) เป็นฟังก์ชันคู่ ในขณะที่ f เป็นฟังก์ชันคี่เช่นเดียวกับ sin(nx)

สังเกตว่า a0 และ an มีค่าเท่ากับ 0 เนื่องจาก x และ x cos(nx) เป็นฟังก์ชันคี่ ดังนั้นอนุกรมฟูรีเยของ f(x) = x คือ:

สำหรับการประยุกต์ใช้งานอนุกรมฟูรีเย ดู ค่าของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ที่ s = 2

ภาพเคลื่อนไหวแสดงกราฟต่อเนื่องห้าอันดับจากอนุกรมฟูรีเยที่เป็นคำตอบ