ผลต่างระหว่างรุ่นของ "เอกลักษณ์ของอ็อยเลอร์"

เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม

ในบรรทัด

รุ่นแก้ไขเมื่อ 22:10, 18 พฤษภาคม 2563

เอกลักษณ์ของออยเลอร์ (Euler's identity) หรือเรียกอีกชื่อหนึ่งว่า สมการของออยเลอร์ (Euler's equation) คือสมการต่อไปนี้:

e^{i\pi }+1=0

สมการประกอบด้วย:

e\,\!

คือ เลขของออยเลอร์ ซึ่งเป็นเลขฐานของลอการิทึมธรรมชาติ

i\,\!

คือ หน่วยจินตภาพ: หนึ่งในจำนวนเชิงซ้อนที่ยกกำลังสองแล้วได้ −1 (อีกตัวคือ

-i\,\!

)

\pi \,\!

คือ พาย : อัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวง ต่อ เส้นผ่านศูนย์กลาง ของวงกลม

เอกลักษณ์ของออยเลอร์ เป็นเอกลักษณ์ที่ตั้งชื่อตาม เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ นักคณิตศาสตร์ชื่อดังชาวสวิสเซอร์แลนด์ ได้ซื่อว่าเป็น สมการคณิตศาสตร์ที่สวยที่สุด (mathematical beauty) เนื่องจากสมการนี้แสดงความสัมพันธ์ของค่าคงที่ทั้ง 5 ตัว ( $e\,\!$ , $i\,\!$ , $\pi \,\!$ , 1, 0) อันเป็นค่าคงที่และตัวเลขที่เป็นรากฐานของคณิตศาสตร์

ความงามทางคณิตศาสตร์

เอกลักษณ์ของออยเลอร์มักถูกอ้างถึงเป็นตัวอย่างของ ความงามทางคณิตศาสตร์^[1]ที่ลึกซึ้ง มีเอกลักษณ์การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ขั้นพื้นฐาน 3 อย่างเกิดขึ้นอย่างละหนึ่งครั้ง: การบวก การคูณ และ การยกกำลัง เอกลักษณ์ยังเชื่อมโยงค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์พื้นฐานห้าประการเข้าไว้ด้วยกัน:

หมายเลข 0 เอกลักษณ์การบวก
หมายเลข 1 เอกลักษณ์การคูณ
ค่าคงที่ π (π = 3.141 ... )
จำนวน e (e = 2.718 ... ) หรือรู้จักกันในนามเลขของออยเลอร์ ซึ่งปรากฏเกิดขึ้นอย่างกว้างขวางในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์
ตัวเลข i, หน่วยจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน

ยิ่งไปกว่านั้นสมการถูกกำหนดในรูปแบบของการแสดงออกมีค่าเท่ากับศูนย์ ซึ่งเป็นเรื่องที่นิยมทำกันในคณิตศาสตร์

Keith Devlin ศาสตราจารย์วิชาคณิตศาสตร์ของมหาวิทยาลัยสแตนฟอร์ด กล่าวว่า "เอกลักษณ์ของออยเลอร์เปรียบเสมือนโคลงของเชคสเปียร์ ที่รวบรวมแก่นแท้ของความรัก หรือ ภาพวาดที่แสดงความงามของร่างมนุษย์ที่อยู่ไกลเกินผิวหนัง ส่วนสมการของออยเลอร์ ได้ดำดิ่งไปดูความเป็นจริงของสรรพสิ่ง"^[2]

Paul Nahin ศาสตราจารย์กิตติคุณแห่งมหาวิทยาลัยนิวแฮมป์เชียร์ ผู้เขียนหนังสือเกี่ยวกับสูตรของออยเลอร์และการประยุกต์ใช้ในการวิเคราะห์ฟูริเยร์ อธิบายถึงอัตลักษณ์ของออยเลอร์ว่าเป็น "ความงามที่งดงาม"

Constance Reid นักเขียนวิชาคณิตศาสตร์ ได้ให้ความเห็นว่าอัตลักษณ์ของออยเลอร์คือ "สูตรที่มีชื่อเสียงที่สุดในคณิตศาสตร์ทั้งหมด"^[3] และ Benjamin Peirce นักปรัชญาชาวอเมริกัน นักคณิตศาสตร์ และ ศาสตราจารย์แห่งมหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด ในศตวรรษที่ 19 กล่าวไว้หลังจากพิสูจน์เอกลักษณ์ของออยเลอร์ ในระหว่างการบรรยาย ระบุว่าอัตลักษณ์ "นั้นขัดแย้งกันจริง ๆ เราไม่เข้าใจและเราไม่รู้ว่ามันหมายถึงอะไร แต่เราได้พิสูจน์มันแล้ว ดังนั้นเราจึงรู้ว่ามันต้องเป็นความจริง"^[4]

แบบสำรวจความคิดเห็นของผู้อ่านที่จัดทำโดย The Mathematical Intelligencer ในปี ค.ศ.1990 ได้จัดอัตลักษณ์ของออยเลอร์ให้เป็น "ทฤษฎีบทที่สวยที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์"^[5] ในการสำรวจความคิดเห็นของผู้อ่านที่จัดทำโดย Physics World ในปี ค.ศ.2004 มีการพบว่าเอกลักษณ์ของออยเลอร์มีความเชื่อมโยงกับสมการของแม็กเวลล์^[6] (ของแม่เหล็กไฟฟ้า) ในฐานะ "สมการที่ยิ่งใหญ่ที่สุดที่เคยมีมา"^[7]

การศึกษาสมองของนักคณิตศาสตร์สิบหกคนพบว่า "สมองส่วนควบคุมอารมณ์" (โดยเฉพาะคือเยื่อหุ้มสมอง orbitofrontal ซึ่งส่องสว่างขึ้นสำหรับดนตรีบทกวีรูปภาพ ฯลฯ ) สว่างขึ้นเมื่อดูเอกลักษณ์ของออยเลอร์มากกว่าสูตรอื่น ๆ^[8]

หนังสืออย่างน้อยสามเล่มที่เป็นหนังสือคณิตศาสตร์ยอดนิยม ได้ตีพิมพ์เกี่ยวกับเอกลักษณ์ของออยเลอร์:

Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills, โดย Paul Nahin (2011)^[9]
A Most Elegant Equation: Euler's formula and the beauty of mathematics, โดย David Stipp (2017)^[10]
Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics, โดย Robin Wilson (2018).^[11]

คำอธิบาย

เลขชี้กำลังจำนวนจินตภาพ

โดยพื้นฐานแล้วเอกลักษณ์ของออยเลอร์ แสดงออกว่า $e^{i\pi }$ มีค่าเท่ากับ −1. นิพจน์ $e^{i\pi }$ คือ รูปพิเศษหนึ่งของ $e^{z}$ โดยที่ z เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ. โดยทั่วไปแล้ว $e^{z}$ ได้ถูกนิยามไว้สำหรับ z ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยการขยายหนึ่งในนิยามของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง, จากเลขชี้กำลังจริง เป็นเลขชี้กำลังเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น:

$e^{z}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}.$

ในอนิเมชั่นนี้ N มีค่าเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ ตั้งแต่ 1 ถึง 100. การคำนวณ $(1 + iπ / N) N$ มีการแสดงการดำเนินการคูณที่ซ้ำ ๆ ในแกนจำนวนซ้อน (imaginary part). จะเห็นว่าเมื่อ N มากขึ้น $(1 + iπ / N) N$ จะมีค่าลิมิตพุ่งเข้าหา -1.

เอกลักษณ์ของออยเลอร์ระบุว่า ลิมิต เมื่อ n เข้าใกล้อินฟินิตี้, $(1+i\pi /n)^{n}$ จะมีค่าเท่ากับ -1 ลิมิตที่ว่านี้มีการแสดงให้เห็นภาพ ในรูปทางด้านขวา

เอกลักษณ์ของออยเลอร์ เป็นกรณีหนึ่งของสูตรของออยเลอร์ (Euler's formula) ซึ่งระบุว่าสำหรับจำนวนจริง x ใด ๆ:

e^{ix}=\cos x+i\sin x\,\!

สำหรับจำนวนจริง $x$ ถ้าเราให้ $x=\pi$ จะได้

e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi \,\!

จากนิยามของ

\cos \pi =-1\,\!

และ

\sin \pi =0\,\!

เราจะได้

e^{i\pi }=-1\,\!

หรือ

e^{i\pi }+1=0

อ้างอิง

↑ https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_beauty
↑ Nahin, 2006, p. 1.
↑ Reid, chapter e.
↑ Maor, p. 160, and Kasner & Newman, p. 103–104.
↑ Wells, 1990.
↑ Maxwell's equations
↑ Crease, 2004.
↑ Zeki et al., 2014.
↑ Nahin, Paul (2011). Dr. Euler's fabulous formula : cures many mathematical ills (ภาษาEnglish). Princeton University Press. ISBN 978-0691118222.{{cite book}}: CS1 maint: unrecognized language (ลิงก์)
↑ Stipp, David (2017). A most elegant equation : Euler's formula and the beauty of mathematics (ภาษาEnglish) (First ed.). Basic Books. ISBN 978-0465093779.{{cite book}}: CS1 maint: unrecognized language (ลิงก์)
↑ Wilson, Robin (2018). Euler's pioneering equation : the most beautiful theorem in mathematics (ภาษาEnglish). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0198794936.{{cite book}}: CS1 maint: unrecognized language (ลิงก์)

บทความคณิตศาสตร์นี้ยังเป็นโครง คุณสามารถช่วยวิกิพีเดียได้โดยการเพิ่มเติมข้อมูล

[1] ttps://en.wikipedia.org/wiki/Mathematical_beauty

[2] Nahin, 2006, p. 1.

[3] Reid, chapter e.

[4] Maor, p. 160, and Kasner & Newman, p. 103–104.

[5] Wells, 1990.

[6] Maxwell's equations

[7] Crease, 2004.

[8] Zeki et al., 2014.

[9] Nahin, Paul (2011). Dr. Euler's fabulous formula : cures many mathematical ills (ภาษาEnglish). Princeton University Press. ISBN 978-0691118222.{{cite book}}: CS1 maint: unrecognized language (ลิงก์)

[10] Stipp, David (2017). A most elegant equation : Euler's formula and the beauty of mathematics (ภาษาEnglish) (First ed.). Basic Books. ISBN 978-0465093779.{{cite book}}: CS1 maint: unrecognized language (ลิงก์)

[11] Wilson, Robin (2018). Euler's pioneering equation : the most beautiful theorem in mathematics (ภาษาEnglish). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0198794936.{{cite book}}: CS1 maint: unrecognized language (ลิงก์)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

@@ บรรทัด 38: / บรรทัด 38: @@
 * ''Euler's Pioneering Equation: The most beautiful theorem in mathematics'', โดย [[:en:Robin_Wilson_(mathematician)|Robin Wilson]] (2018).<ref>{{cite book|last1=Wilson|first1=Robin|title=Euler's pioneering equation : the most beautiful theorem in mathematics|date=2018|publisher=Oxford University Press|location=Oxford|isbn=978-0198794936|language=English}}</ref>
+== คำอธิบาย ==
-== ที่มา ==
-สมการนี้ ปรากฏอยู่ใน ''Introduction'' ของ[[เลออนฮาร์ด ออยเลอร์]] ซึ่งตีพิมพ์ใน Lausanne ใน [[พ.ศ. 2291]] (ค.ศ. 1748) เอกลักษณ์นี้เป็นกรณีหนึ่งของ[[สูตรของออยเลอร์]] (Euler's formula) ซึ่งกล่าวว่า
+=== เลขชี้กำลังจำนวนจินตภาพ ===
-: <math>e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!</math>
+โดยพื้นฐานแล้วเอกลักษณ์ของออยเลอร์ แสดงออกว่า <math>e^{i\pi}</math>มีค่าเท่ากับ −1. [[นิพจน์]] <math>e^{i\pi}</math>คือ รูปพิเศษหนึ่งของ <math>e ^ {z}</math> โดยที่ z เป็นจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ. โดยทั่วไปแล้ว <math>e ^ {z}</math> ได้ถูกนิยามไว้สำหรับ z ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยการขยายหนึ่งในนิยามของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง, จากเลขชี้กำลังจริง เป็นเลขชี้กำลังเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น:
+<math>e^z = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac z n \right)^n.</math>
+[[ไฟล์:ExpIPi.gif|thumb|ในอนิเมชั่นนี้ N มีค่าเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ ตั้งแต่ 1 ถึง 100. การคำนวณ {{math|(1 + {{sfrac|''iπ''|''N''}})<sup>''N''</sup>}}มีการแสดงการดำเนินการคูณที่ซ้ำ ๆ ในแกนจำนวนซ้อน (imaginary part). จะเห็นว่าเมื่อ N มากขึ้น {{math|(1 + {{sfrac|''iπ''|''N''}})<sup>''N''</sup>}} จะมีค่าลิมิตพุ่งเข้าหา -1.]]
+เอกลักษณ์ของออยเลอร์ระบุว่า ลิมิต เมื่อ n เข้าใกล้อินฟินิตี้, <math>(1 + i\pi/n)^n</math>จะมีค่าเท่ากับ -1 ลิมิตที่ว่านี้มีการแสดงให้เห็นภาพ ในรูปทางด้านขวา
+เอกลักษณ์ของออยเลอร์ เป็นกรณีหนึ่งของ[[สูตรของออยเลอร์]] (Euler's formula) ซึ่งระบุว่าสำหรับจำนวนจริง x ใด ๆ:
+:<math>e^{ix} = \cos x + i \sin x \,\!</math>
 สำหรับ[[จำนวนจริง]] <math>x</math> ถ้าเราให้ <math>x = \pi</math> จะได้
-: <math>e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi \,\!</math>
+:<math>e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi \,\!</math>
 จากนิยามของ
@@ บรรทัด 57: / บรรทัด 65: @@
 เราจะได้
-: <math>e^{i \pi} = -1 \,\!</math>
+: <math>e^{i \pi} = -1 \,\!</math> หรือ <math>e^{i \pi} + 1 = 0</math>
-{{โครงคณิตศาสตร์}}
+== อ้างอิง ==
 [[หมวดหมู่:การวิเคราะห์เชิงซ้อน]]
 [[หมวดหมู่:การยกกำลัง]]
@@ บรรทัด 66: / บรรทัด 74: @@
 [[pl:Wzór Eulera#Tożsamość Eulera]]
+<references />{{โครงคณิตศาสตร์}}