ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ผลคูณไขว้"
Nullzerobot (คุย | ส่วนร่วม) ล ลบลิงก์ที่ซ้ำซ้อน wikidata |
|||
บรรทัด 33: | บรรทัด 33: | ||
=== สัญกรณ์เมทริกซ์ === |
=== สัญกรณ์เมทริกซ์ === |
||
สัญกรณ์พิกัดข้างต้นสามารถเขียนได้อีกอย่างหนึ่งเป็น[[ดีเทอร์มิแนนต์]]ของ[[เมทริกซ์]]ดังนี้ |
สัญกรณ์พิกัดข้างต้นสามารถเขียนได้อีกอย่างหนึ่งเป็น[[ดีเทอร์มิแนนต์]]ของ[[เมทริกซ์]]ดังนี้ |
||
::<math> |
::<math> |
||
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = |
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = |
||
บรรทัด 40: | บรรทัด 41: | ||
b_1 & b_2 & b_3 \\ |
b_1 & b_2 & b_3 \\ |
||
\end{vmatrix} = |
\end{vmatrix} = |
||
\mathbf{i}(a_2b_3) + \mathbf{j}(a_3b_1) + \mathbf{k}(a_1b_2) - \mathbf{i}(a_3b_2) - \mathbf{j}(a_1b_3) - \mathbf{k}( |
\mathbf{i}(a_2b_3) + \mathbf{j}(a_3b_1) + \mathbf{k}(a_1b_2) - \mathbf{i}(a_3b_2) - \mathbf{j}(a_1b_3) - \mathbf{k}(a_1b_2) |
||
</math> |
</math> |
||
รุ่นแก้ไขเมื่อ 02:04, 23 กรกฎาคม 2562
บทความนี้ไม่มีการอ้างอิงจากแหล่งที่มาใด |
ผลคูณไขว้ หรือ ผลคูณเชิงเวกเตอร์ ในทางคณิตศาสตร์ คือ การดำเนินการทวิภาคบนเวกเตอร์สองอันในปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติ ซึ่งให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์อีกอันหนึ่งที่ตั้งฉากกับสองเวกเตอร์แรก ในขณะที่ผลคูณจุดของสองเวกเตอร์จะให้ผลลัพธ์เป็นปริมาณสเกลาร์ ผลคูณไขว้ไม่มีการนิยามบนมิติอื่นนอกจากสามมิติ และไม่มีคุณสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม เมื่อเทียบกับผลคูณจุด สิ่งที่เหมือนกันคือผลลัพธ์จะขึ้นอยู่กับปริภูมิอิงระยะทาง (metric space) ของปริภูมิแบบยุคลิด แต่สิ่งที่ต่างกันคือผลลัพธ์จะขึ้นอยู่กับการกำหนดทิศทาง (orientation)
นิยาม
ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์สองอัน a และ b ในปริภูมิสามมิติ เขียนแทนด้วย a × b (อ่านว่า เอ ครอสส์ บี) คือเวกเตอร์ c ที่ตั้งฉากกับทั้ง a และ b โดยมีทิศทางตามกฎมือขวาและมีขนาดเท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เวกเตอร์สองอันนั้นครอบคลุม
ผลคูณไขว้สามารถคำนวณได้จากสูตร
เมื่อ θ คือขนาดของมุม (ที่ไม่ใช่มุมป้าน) ระหว่าง a กับ b (0° ≤ θ ≤ 180°) a กับ b ในสูตรคือขนาดของเวกเตอร์ a และ b ตามลำดับ และ คือเวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ a และ b ถ้าหากทั้งสองเวกเตอร์นั้นร่วมเส้นตรงกัน (คือมีมุมระหว่างเวกเตอร์เป็น 0° หรือ 180°) ผลคูณไขว้จะได้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ศูนย์ 0
ทิศทางของเวกเตอร์ ถูกกำหนดโดยกฎมือขวา ซึ่งให้นิ้วชี้แทนทิศทางของเวกเตอร์ a และนิ้วกลางแทนทิศทางของเวกเตอร์ b ทิศทางของเวกเตอร์ จะอยู่ที่นิ้วโป้ง (ดูรูปทางขวาประกอบ)
วิธีคำนวณผลคูณไขว้
สัญกรณ์พิกัด
กำหนดให้ i, j, k เป็นเวกเตอร์หน่วยในระบบพิกัดมุมฉาก ที่ตั้งฉากซึ่งกันและกันตามคุณสมบัติต่อไปนี้
โดยเวกเตอร์ a และ b สามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบของ i, j, k ได้ดังนี้
ผลคูณไขว้ a × b สามารถคำนวณได้จากสูตรนี้ โดยไม่ต้องพิจารณาขนาดของมุม
สัญกรณ์เมทริกซ์
สัญกรณ์พิกัดข้างต้นสามารถเขียนได้อีกอย่างหนึ่งเป็นดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดังนี้
ดูเพิ่ม
แหล่งข้อมูลอื่น
- Z.K. Silagadze (2002). Multi-dimensional vector product. Journal of Physics. A35, 4949 (it is only possible in 7-D space)
- Real and Complex Products of Complex Numbers
- Vector Product Calculator Online application to calculate the vector product of 3 element vectors
- An interactive tutorial created at Syracuse University - (requires java)
- W. Kahan (2007). Cross-Products and Rotations in Euclidean 2- and 3-Space. University of California, Berkeley (PDF).
- Multiplication of Vectors