ผลต่างระหว่างรุ่นของ "สมการชเรอดิงเงอร์"
ไม่มีความย่อการแก้ไข |
ไม่มีความย่อการแก้ไข |
||
บรรทัด 46: | บรรทัด 46: | ||
ซึ่งสมการชเรอดิงเงอร์จะใช้ในการแก้ปัญหาการเคลื่อนที่ของอนุภาคในศักย์แบบ 1 มิติ เช่น [[ศักย์แบบขั้นบันได]] [[กำแพงศักย์]] [[บ่อศักย์แบบอนันต์]] [[บ่อศักย์แบบลึกจำกัด]] เป็นต้น ซึ่งจะพบว่ามีบางส่วนที่แตกต่างจากการใช้วิธีการทาง[[กลศาสตร์ดั้งเดิม]]แก้ปัญหาอย่างชัดเจน |
ซึ่งสมการชเรอดิงเงอร์จะใช้ในการแก้ปัญหาการเคลื่อนที่ของอนุภาคในศักย์แบบ 1 มิติ เช่น [[ศักย์แบบขั้นบันได]] [[กำแพงศักย์]] [[บ่อศักย์แบบอนันต์]] [[บ่อศักย์แบบลึกจำกัด]] เป็นต้น ซึ่งจะพบว่ามีบางส่วนที่แตกต่างจากการใช้วิธีการทาง[[กลศาสตร์ดั้งเดิม]]แก้ปัญหาอย่างชัดเจน |
||
=== สมการชเรอดิงเงอร์ของอะตอมไฮโดรเจน === |
|||
ผลเฉลยของสมการชโรดิงเจอร์ ออร์บิทัลของ[[อะตอมคล้ายไฮโดรเจน]]เป็น[[ไอเกนฟังก์ชัน]]ของตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุมของอิเล็กตรอน 1 ตัว ในแกน ''z'' (''L''<sub>z</sub>) ออบิทัลของอะตอมคล้ายไฮโดรเจน(hydrogen-like atom) สามารถหาได้จากเลขควอนตัมหลัก ''n'' เลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุม ''l'' และเลขควอนตัมแม่เหล็ก m พลังงานเฉพาะของอะตอมมีค่าขึ้นกับค่า ''n'' เท่านั้น เราจึงต้องบวกเลขควอนตัมการหมุน ''m<sub>s</sub>'' = ±½ สำหรับในออร์บิทัลที่มีระดับพลังงานเท่ากันของอะตอมคล้ายไฮโดรเจน ค่า ''n'', ''l'', ''m'' and ''s'' จะมีค่าเฉพาะที่เปลี่ยนไปตามระดับพลังงาน |
|||
การวิเคราะห์สมการชโรดิงเจอร์ของอะตอมที่มีอิเล็กตรอนมากกว่าหนึ่งตัวนั้นเป็นไปได้ยาก เนื่องจากมีแรงคูลอมบ์ระหว่างอิเล็กตรอนเข้ามาเกี่ยวข้องกับการคำนวณ เราจึงต้องใช้วิธีเชิงตัวเลข (Numerical method) มาช่วยคำนวณ เพื่อหาฟังก์ชันคลื่นหรือสมบัติทางควอนตัมอื่น ๆ ดังนั้นเราจึงใช้แบบจำลองของอะตอมคล้ายไฮโดรเจนในการแก้ปัญหา |
|||
จากกฎของคูลอมบ์ ศักย์ไฟฟ้าเป็นดังสมการ |
|||
:<math>V(r) = -\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \frac{Ze^2}{r}</math> |
|||
เมื่อ |
|||
* ε<sub>0</sub> คือ ค่าสภาพยอมของสุญญากาศ, |
|||
* ''Z'' คือ เลขอะตอม (จำนวนโปรตอนในนิวเคลียส), |
|||
* ''e'' คือ ประจุของอิเล็กตรอน, |
|||
* ''r'' คือ ระยะห่างระหว่างอิเล็กตรอนและนิวเคลียส |
|||
ดังนั้นจะได้สมการคลื่น (ในพิกัดทรงกลม) เป็น |
|||
:<math>\psi(r, \theta, \phi) = R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta,\phi)\,</math> |
|||
โดย <math>Y_{lm}</math> คือ [[ฮาร์มอนิกส์ทรงกลม]] |
|||
จะได้สมการชโรดิงเจอร์ |
|||
:<math> |
|||
\left[ - \frac{\hbar^2}{2\mu} \left({1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial R(r)\over \partial r}\right) - {l(l+1)R(r)\over r^2} \right) + V(r)R(r) \right]= E R(r), |
|||
</math> |
|||
โดย <math>\mu</math> คือ [[มวลลดทอน]] |
|||
== อ้างอิง == |
== อ้างอิง == |
||
{{รายการอ้างอิง}} |
{{รายการอ้างอิง}} |
รุ่นแก้ไขเมื่อ 21:09, 2 มีนาคม 2561
ในวิชากลศาสตร์ควอนตัม สมการชเรอดิงเงอร์ เป็นสมการทางคณิตศาสตร์ที่ใช้อธิบายระบบทางฟิสิกส์ ที่เป็นผลจากปรากฏการณ์ควอนตัม เช่น ทวิภาคของคลื่นและอนุภาค สมการชเรอดิงเงอร์เป็นสมการที่สำคัญในการศึกษาระบบทางกลศาสตร์ควอนตัม ซึ่งแอร์วิน ชเรอดิงเงอร์ (Erwin Schrödinger) นักฟิสิกส์ชาวออสเตรีย ได้ค้นพบ "สมการชเรอดิงเงอร์" ในปี พ.ศ. 2468 และถูกตีพิมพ์ในปีต่อมา จากการค้นพบสมการชเรอดิงเงอร์ ทำให้แอร์วิน ชเรอดิงเงอร์ได้รับรางวัลโนเบล สาขาฟิสิกส์ ในปี พ.ศ. 2476 สมการนี้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยหรือที่รู้จักกันว่าสมการคลื่น โดยสามารถแก้สมการชเรอดิงเงอร์เพื่อหาพฤติกรรมการเคลื่อนที่ของคลื่นได้
ในกลศาสตร์ดั้งเดิม กฎการเคลื่อนที่ของนิวตันโดยเฉพาะกฎข้อที่สอง จะสามารถอธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคโดยแสดงให้เห็นถึงตำแหน่ง ความเร็ว และความเร่งของอนุภาคที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา โดยใช้สมการการเคลื่อนที่ในการทำนายการเคลื่อนที่ของอนุภาคในระบบ แต่ในกลศาสตร์ควอนตัม พฤติกรรมของอนุภาคจะถูกอธิบายโดยฟังก์ชันคลื่น ดังนั้นเราจึงสามารถแก้สมการชเรอดิงเงอร์เพื่อหาผลเฉลยออกมาเป็นฟังก์ชันคลื่น โดยสมการชเรอดิงเงอร์นี้เป็นการอธิบายธรรมชาติในระดับจุลภาค[1]
สมการชเรอดิงเงอร์แบ่งออกได้เป็นสมการชเรอดิงเงอร์ที่ขึ้นกับเวลา และสมการชเรอดิงเงอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลา
สมการ
สมการชเรอดิงเงอร์ที่ขึ้นกับเวลา
Time-dependent Schrödinger equation (general)
โดยที่
i คือ หน่วยจินตภาพ
ħ คือ ค่าคงตัวของพลังค์แบบลดค่า
สัญลักษณ์ ∂∂t แสดงถึง อนุพันธ์ย่อยเทียบกับเวลา t
Ψ (อักษรกรีกพไซ) คือ ฟังก์ชันคลื่นในระบบควอนตัม
r และ t คือ เวกเตอร์บอกตำแหน่งและเวลาตามลำดับ
Ĥ คือ ตัวดำเนินการฮามิลโทเนียน
สมการชเรอดิงเงอร์ที่ไม่ขึ้นกับเวลา
Time-independent Schrödinger equation (general)
สมการนี้เป็นการเขียนให้อยู่ในรูปตัวดำเนินการฮามิลโทเนียน ซึ่งจะเรียกสมการนี้ว่าสมการEigenvalue ที่มีค่าคงตัว E เป็น Eigenvalue และมี Ψ เป็น Eigen function
ซึ่งสมการชเรอดิงเงอร์จะใช้ในการแก้ปัญหาการเคลื่อนที่ของอนุภาคในศักย์แบบ 1 มิติ เช่น ศักย์แบบขั้นบันได กำแพงศักย์ บ่อศักย์แบบอนันต์ บ่อศักย์แบบลึกจำกัด เป็นต้น ซึ่งจะพบว่ามีบางส่วนที่แตกต่างจากการใช้วิธีการทางกลศาสตร์ดั้งเดิมแก้ปัญหาอย่างชัดเจน
สมการชเรอดิงเงอร์ของอะตอมไฮโดรเจน
ผลเฉลยของสมการชโรดิงเจอร์ ออร์บิทัลของอะตอมคล้ายไฮโดรเจนเป็นไอเกนฟังก์ชันของตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุมของอิเล็กตรอน 1 ตัว ในแกน z (Lz) ออบิทัลของอะตอมคล้ายไฮโดรเจน(hydrogen-like atom) สามารถหาได้จากเลขควอนตัมหลัก n เลขควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุม l และเลขควอนตัมแม่เหล็ก m พลังงานเฉพาะของอะตอมมีค่าขึ้นกับค่า n เท่านั้น เราจึงต้องบวกเลขควอนตัมการหมุน ms = ±½ สำหรับในออร์บิทัลที่มีระดับพลังงานเท่ากันของอะตอมคล้ายไฮโดรเจน ค่า n, l, m and s จะมีค่าเฉพาะที่เปลี่ยนไปตามระดับพลังงาน
การวิเคราะห์สมการชโรดิงเจอร์ของอะตอมที่มีอิเล็กตรอนมากกว่าหนึ่งตัวนั้นเป็นไปได้ยาก เนื่องจากมีแรงคูลอมบ์ระหว่างอิเล็กตรอนเข้ามาเกี่ยวข้องกับการคำนวณ เราจึงต้องใช้วิธีเชิงตัวเลข (Numerical method) มาช่วยคำนวณ เพื่อหาฟังก์ชันคลื่นหรือสมบัติทางควอนตัมอื่น ๆ ดังนั้นเราจึงใช้แบบจำลองของอะตอมคล้ายไฮโดรเจนในการแก้ปัญหา
จากกฎของคูลอมบ์ ศักย์ไฟฟ้าเป็นดังสมการ
เมื่อ
- ε0 คือ ค่าสภาพยอมของสุญญากาศ,
- Z คือ เลขอะตอม (จำนวนโปรตอนในนิวเคลียส),
- e คือ ประจุของอิเล็กตรอน,
- r คือ ระยะห่างระหว่างอิเล็กตรอนและนิวเคลียส
ดังนั้นจะได้สมการคลื่น (ในพิกัดทรงกลม) เป็น
โดย คือ ฮาร์มอนิกส์ทรงกลม
จะได้สมการชโรดิงเจอร์
โดย คือ มวลลดทอน
อ้างอิง
- ↑ จิรศักดิ์ วงศ์เอกบุตร. (2557). กลศาสตร์ควอนตัมเบื้องต้น. มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์