ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ผลคูณไขว้"
Octahedron80 (คุย | ส่วนร่วม) |
Octahedron80 (คุย | ส่วนร่วม) |
||
บรรทัด 45: | บรรทัด 45: | ||
* [[ผลคูณจุด]] |
* [[ผลคูณจุด]] |
||
* [[การคูณเมทริกซ์]] |
* [[การคูณเมทริกซ์]] |
||
== แหล่งข้อมูลอื่น == |
|||
* [http://uk.arxiv.org/abs/math.la/0204357 Z.K. Silagadze (2002). Multi-dimensional vector product. Journal of Physics. A35, 4949] (it is only possible in 7-D space) |
|||
* [http://www.cut-the-knot.org/arithmetic/algebra/RealComplexProducts.shtml Real and Complex Products of Complex Numbers] |
|||
* [http://www.turbosite.com.ar/vectorproduct/ Vector Product Calculator] Online application to calculate the vector product of 3 element vectors |
|||
* [http://physics.syr.edu/courses/java-suite/crosspro.html An interactive tutorial] created at [[Syracuse University]] - (requires [[Java (programming language)|java]]) |
|||
* [http://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/MathH110/Cross.pdf W. Kahan (2007). Cross-Products and Rotations in Euclidean 2- and 3-Space. University of California, Berkeley (PDF).] |
|||
* [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/mul_vec.shtml Multiplication of Vectors] |
|||
[[หมวดหมู่:พีชคณิตนามธรรม]] |
[[หมวดหมู่:พีชคณิตนามธรรม]] |
รุ่นแก้ไขเมื่อ 19:07, 22 กันยายน 2550
ในทางคณิตศาสตร์ ผลคูณไขว้ หรือ ผลคูณเชิงเวกเตอร์ คือการดำเนินการทวิภาคบนเวกเตอร์สองอันในปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติ ซึ่งให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์อีกอันหนึ่งที่ตั้งฉากกับสองเวกเตอร์แรก ในขณะที่ผลคูณจุดของสองเวกเตอร์จะให้ผลลัพธ์เป็นปริมาณสเกลาร์ ผลคูณไขว้ไม่มีการนิยามบนมิติอื่นนอกจากสามมิติ และไม่มีคุณสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม เมื่อเทียบกับผลคูณจุด สิ่งที่เหมือนกันคือผลลัพธ์จะขึ้นอยู่กับปริภูมิอิงระยะทาง (metric space) ของปริภูมิแบบยุคลิด แต่สิ่งที่ต่างกันคือผลลัพธ์จะขึ้นอยู่กับการกำหนดทิศทาง (orientation)
นิยาม
ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์สองอัน a และ b ในปริภูมิสามมิติ เขียนแทนด้วย a × b (อ่านว่า เอ ครอสส์ บี) คือเวกเตอร์ c ที่ตั้งฉากกับทั้ง a และ b โดยมีทิศทางตามกฎมือขวาและมีขนาดเท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เวกเตอร์สองอันนั้นครอบคลุม
ผลคูณไขว้สามารถคำนวณได้จากสูตร
เมื่อ θ คือขนาดของมุม (ที่ไม่ใช่มุมป้าน) ระหว่าง a กับ b (0° ≤ θ ≤ 180°) a กับ b ในสูตรคือขนาดของเวกเตอร์ a และ b ตามลำดับ และ คือเวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ a และ b ถ้าหากทั้งสองเวกเตอร์นั้นร่วมเส้นตรงกัน (คือมีมุมระหว่างเวกเตอร์เป็น 0° หรือ 180°) ผลคูณไขว้จะได้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ศูนย์ 0
ทิศทางของเวกเตอร์ ถูกกำหนดโดยกฎมือขวา ซึ่งให้นิ้วชี้แทนทิศทางของเวกเตอร์ a และนิ้วกลางแทนทิศทางของเวกเตอร์ b ทิศทางของเวกเตอร์ จะอยู่ที่นิ้วโป้ง (ดูรูปทางขวาประกอบ)
วิธีคำนวณผลคูณไขว้
สัญกรณ์พิกัด
กำหนดให้ i, j, k เป็นเวกเตอร์หน่วยในระบบพิกัดมุมฉาก ที่ตั้งฉากซึ่งกันและกันตามคุณสมบัติต่อไปนี้
โดยเวกเตอร์ a และ b สามารถเขียนให้อยู่ในรูปแบบของ i, j, k ได้ดังนี้
ผลคูณไขว้ a × b สามารถคำนวณได้จากสูตรนี้ โดยไม่ต้องพิจารณาขนาดของมุม
สัญกรณ์เมทริกซ์
สัญกรณ์พิกัดข้างต้นสามารถเขียนได้อีกอย่างหนึ่งเป็นดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ดังนี้
ดูเพิ่ม
แหล่งข้อมูลอื่น
- Z.K. Silagadze (2002). Multi-dimensional vector product. Journal of Physics. A35, 4949 (it is only possible in 7-D space)
- Real and Complex Products of Complex Numbers
- Vector Product Calculator Online application to calculate the vector product of 3 element vectors
- An interactive tutorial created at Syracuse University - (requires java)
- W. Kahan (2007). Cross-Products and Rotations in Euclidean 2- and 3-Space. University of California, Berkeley (PDF).
- Multiplication of Vectors