ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ผลคูณไขว้"
Octahedron80 (คุย | ส่วนร่วม) ล →นิยาม |
Octahedron80 (คุย | ส่วนร่วม) ล →นิยาม |
||
บรรทัด 8: | บรรทัด 8: | ||
ผลคูณไขว้สามารถคำนวณได้จาก[[สูตร]] |
ผลคูณไขว้สามารถคำนวณได้จาก[[สูตร]] |
||
::<math>\mathbf{a} \times \mathbf{b} = a b \sin \theta \ \mathbf{\hat{n}}</math> |
::<math>\mathbf{a} \times \mathbf{b} = a b \sin \theta \ \mathbf{\hat{n}}</math> |
||
เมื่อ ''θ'' คือขนาดของ[[มุม]] (ที่ไม่ใช่มุมป้าน) ระหว่าง '''a''' กับ '''b''' (0° ≤ ''θ'' ≤ 180°) ''a'' กับ ''b'' ในสูตรคือ[[ขนาด (คณิตศาสตร์)|ขนาด]]ของเวกเตอร์ '''a''' และ '''b''' ตามลำดับ และ <math>\mathbf{\hat{n}}</math> คือ[[เวกเตอร์หน่วย]]ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ '''a''' และ '''b''' ถ้าหากทั้งสองเวกเตอร์นั้นร่วมเส้นตรงกัน (คือมีมุมระหว่างเวกเตอร์เป็น 0° หรือ 180°) ผลคูณไขว้จะได้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ศูนย์ '''0''' |
เมื่อ ''θ'' คือขนาดของ[[มุม]] (ที่ไม่ใช่มุมป้าน) ระหว่าง '''a''' กับ '''b''' (0° ≤ ''θ'' ≤ 180°) ''a'' กับ ''b'' ในสูตรคือ[[ขนาด (คณิตศาสตร์)|ขนาด]]ของเวกเตอร์ '''a''' และ '''b''' ตามลำดับ และ <math>\mathbf{\hat{n}}</math> คือ[[เวกเตอร์หน่วย]]ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ '''a''' และ '''b''' ถ้าหากทั้งสองเวกเตอร์นั้นร่วมเส้นตรงกัน (คือมีมุมระหว่างเวกเตอร์เป็น 0° หรือ 180°) ผลคูณไขว้จะได้ผลลัพธ์เป็น[[เวกเตอร์ศูนย์]] '''0''' |
||
ทิศทางของเวกเตอร์ <math>\mathbf{\hat{n}}</math> ถูกกำหนดโดยกฎมือขวา ซึ่งให้[[นิ้วชี้]]แทนทิศทางของเวกเตอร์ '''a''' และ[[นิ้วกลาง]]แทนทิศทางของเวกเตอร์ '''b''' ทิศทางของเวกเตอร์ <math>\mathbf{\hat{n}}</math> จะอยู่ที่[[นิ้วโป้ง]] (ดูรูปทางขวาประกอบ) |
ทิศทางของเวกเตอร์ <math>\mathbf{\hat{n}}</math> ถูกกำหนดโดยกฎมือขวา ซึ่งให้[[นิ้วชี้]]แทนทิศทางของเวกเตอร์ '''a''' และ[[นิ้วกลาง]]แทนทิศทางของเวกเตอร์ '''b''' ทิศทางของเวกเตอร์ <math>\mathbf{\hat{n}}</math> จะอยู่ที่[[นิ้วโป้ง]] (ดูรูปทางขวาประกอบ) |
รุ่นแก้ไขเมื่อ 09:06, 21 กันยายน 2550
ในทางคณิตศาสตร์ ผลคูณไขว้ หรือ ผลคูณเชิงเวกเตอร์ คือการดำเนินการทวิภาคบนเวกเตอร์สองอันในปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติ ซึ่งให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์อีกอันหนึ่งที่ตั้งฉากกับสองเวกเตอร์แรก ในขณะที่ผลคูณจุดของสองเวกเตอร์จะให้ผลลัพธ์เป็นปริมาณสเกลาร์ ผลคูณไขว้ไม่มีการนิยามบนมิติอื่นนอกจากสามมิติ และไม่มีคุณสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม เมื่อเทียบกับผลคูณจุด สิ่งที่เหมือนกันคือผลลัพธ์จะขึ้นอยู่กับปริภูมิอิงระยะทาง (metric space) ของปริภูมิแบบยุคลิด แต่สิ่งที่ต่างกันคือผลลัพธ์จะขึ้นอยู่กับการกำหนดทิศทาง (orientation)
นิยาม
ผลคูณไขว้ของเวกเตอร์สองอัน a และ b ในปริภูมิสามมิติ เขียนแทนด้วย a × b (อ่านว่า เอ ครอสส์ บี) คือเวกเตอร์ c ที่ตั้งฉากกับทั้ง a และ b โดยมีทิศทางตามกฎมือขวาและมีขนาดเท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เวกเตอร์สองอันนั้นครอบคลุม
ผลคูณไขว้สามารถคำนวณได้จากสูตร
เมื่อ θ คือขนาดของมุม (ที่ไม่ใช่มุมป้าน) ระหว่าง a กับ b (0° ≤ θ ≤ 180°) a กับ b ในสูตรคือขนาดของเวกเตอร์ a และ b ตามลำดับ และ คือเวกเตอร์หน่วยที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ a และ b ถ้าหากทั้งสองเวกเตอร์นั้นร่วมเส้นตรงกัน (คือมีมุมระหว่างเวกเตอร์เป็น 0° หรือ 180°) ผลคูณไขว้จะได้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ศูนย์ 0
ทิศทางของเวกเตอร์ ถูกกำหนดโดยกฎมือขวา ซึ่งให้นิ้วชี้แทนทิศทางของเวกเตอร์ a และนิ้วกลางแทนทิศทางของเวกเตอร์ b ทิศทางของเวกเตอร์ จะอยู่ที่นิ้วโป้ง (ดูรูปทางขวาประกอบ)