ผลต่างระหว่างรุ่นของ "การหารด้วยศูนย์"

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
เนื้อหาที่ลบ เนื้อหาที่เพิ่ม
Octahedron80 (คุย | ส่วนร่วม)
Octahedron80 (คุย | ส่วนร่วม)
บรรทัด 56: บรรทัด 56:


== ลิมิตกับการหารด้วยศูนย์ ==
== ลิมิตกับการหารด้วยศูนย์ ==
[[ภาพ:Hyperbola one over x.svg|thumb|300px|กราฟของฟังก์ชัน ''y'' = <math>\textstyle\frac{1}{x}</math> เมื่อ ''x'' มีค่าเข้าใกล้ 0 แล้ว ''y'' จะมีค่าเข้าใกล้อนันต์]]
[[ภาพ:Hyperbola one over x.svg|thumb|300px|กราฟของฟังก์ชัน ''y'' = 1/''x'' เมื่อ ''x'' มีค่าเข้าใกล้ 0 แล้ว ''y'' จะมีค่าเข้าใกล้อนันต์]]
เราอาจสามารถนิยาม <math>\textstyle\frac{a}{0}</math> ได้โดยการพิจารณา[[ลิมิต]]ของ <math>\textstyle\frac{a}{b}</math> เมื่อ ''b'' มีค่าเข้าใกล้ 0
เราอาจสามารถนิยาม <math>\textstyle\frac{a}{0}</math> ได้โดยการพิจารณา[[ลิมิต]]ของ <math>\textstyle\frac{a}{b}</math> เมื่อ ''b'' มีค่าเข้าใกล้ 0



รุ่นแก้ไขเมื่อ 23:46, 5 สิงหาคม 2550

ในทางคณิตศาสตร์ การหารด้วยศูนย์ หมายถึงการหารที่มีตัวหารเท่ากับ 0 ซึ่งอาจสามารถเขียนอยู่ในรูปเศษส่วน โดยที่ a เป็นตัวตั้ง ค่าของนิพจน์นี้จะมีความหมายหรือไม่ขึ้นอยู่กับบทตั้งทางคณิตศาสตร์ที่เป็นบริบท แต่โดยทั่วไปในเลขคณิตของจำนวนจริง นิพจน์ดังกล่าวไม่มีความหมาย

สำหรับการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ การหารด้วยศูนย์ในจำนวนเต็มอาจทำให้โปรแกรมหยุดทำงาน หรือในกรณีของทศนิยมอาจให้ผลลัพธ์เป็นค่าพิเศษที่เรียกว่า NaN (Not a Number)

การแปลความหมายในเลขคณิตมูลฐาน

การหารในระดับพื้นฐานสามารถอธิบายได้ว่า เป็นการแบ่งเซตของวัตถุออกเป็นส่วนๆ ที่เท่ากัน ตัวอย่างเช่น ถ้าคุณมีแอปเปิล 10 ผล และคุณต้องการแบ่งให้คน 5 คนเป็นจำนวนเท่ากัน ดังนั้นแต่ละคนจะได้รับแอปเปิล = 2 ผล เป็นต้น

เราจะใช้ปัญหาเดียวกันนี้อธิบายการหารด้วยศูนย์ นั่นคือถ้าคุณมีแอปเปิล 10 ผล แล้วจะแบ่งให้คนจำนวน 0 คน แล้วหาว่าแต่ละ "คน" จะได้รับคนละกี่ผล การคำนวณเพื่อหาค่า จะกลับกลายเป็นไม่มีความหมาย เพราะตัวปัญหาเองก็ไม่มีความหมายเช่นกัน เพราะแต่ละ "คน" จะไม่ได้รับแอปเปิลไม่ว่าจะ 0 ผล หรือ 10 ผล หรือจำนวนแอปเปิลที่เป็นอนันต์ก็ตาม เนื่องจากไม่มีคนที่จะมารับแอปเปิลตั้งแต่แรกอยู่แล้ว นี่เป็นเหตุผลที่เลขคณิตมูลฐานกำหนดให้การหารด้วยศูนย์ไม่มีความหมาย หรือไม่นิยาม

อีกทางหนึ่งที่สามารถใช้อธิบายการหารได้นั่นคือการลบซ้ำกันไปเรื่อยๆ ซึ่งการหารด้วยวิธีนี้จะเป็นการลบตัวตั้งด้วยตัวหารหลายๆ ครั้งจนกว่าตัวตั้งจะมีค่าน้อยกว่าตัวหาร และอาจเหลือเศษจากการหารอยู่ด้วย ตัวอย่างเช่น การหาร 13 ด้วย 5 เราสามารถนำ 5 ไปลบออกจาก 13 จำนวน 2 ครั้ง และจะเหลือเศษเท่ากับ 3 ซึ่งสามารถสรุปเป็น = 2 เศษ 3 แต่ในกรณีที่ตัวหารเป็น 0 ถึงแม้จะลบตัวตั้งไปถึงอนันต์ครั้ง ก็ยังไม่สามารถทำให้ตัวตั้งมีค่าน้อยกว่าตัวหารได้ ดังนั้นการหารด้วยศูนย์จึงไม่นิยาม

ความพยายามในอดีต

หนังสือ พรัหมสผุตะ สิทธันตะ (Brahmasphuta-siddhanta) เขียนโดยพรัหมคุปตะ (Brahmagupta) (ค.ศ. 598 - 668) ซึ่งเป็นตำราเล่มแรกสุดที่ค้นพบ ที่กำหนดให้เลข 0 เป็นตัวเลขพิเศษ เพื่อที่จะนิยามการกระทำทางเลขคณิตที่เกี่ยวข้องกับ 0 โดยเฉพาะ อย่างไรก็ตามพรัหมคุปตะก็ประสบความล้มเหลวในความพยายามที่จะอธิบายการหารด้วยศูนย์ เพราะคำนิยามของเขาสามารถพิสูจน์ได้ง่ายและนำไปสู่ความผิดพลาด ดังข้อความที่ยกมา

"...จำนวนบวกและลบที่หารด้วยศูนย์ ได้ผลลัพธ์เป็นเศษส่วนที่มีศูนย์เป็นตัวส่วน ศูนย์ที่หารด้วยจำนวนบวกหรือลบ ได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์ หรือเศษส่วนที่มีศูนย์เป็นตัวเศษและจำนวนนั้นเป็นตัวส่วน อย่างใดอย่างหนึ่ง ศูนย์ที่หารด้วยศูนย์ ได้ผลลัพธ์เป็นศูนย์..."

ใน ค.ศ. 830 มหวิระ (Mahavira) พยายามที่จะแก้ข้อผิดพลาดของพรัหมคุปตะแต่ก็ไม่สำเร็จ ซึ่งในหนังสือ คณิตะ สาระ สังครหะ กล่าวไว้ว่า

"...ตัวเลขหนึ่งๆ จะมีค่าไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อหารด้วยศูนย์..."

ในเวลาต่อมาภาสคระที่ 2 (Bhāskara II) (ค.ศ. 1114 - 1185) พยายามที่จะแก้ปัญหานี้โดนการนิยามให้ ซึ่งนิยามนี้สามารถมีความเป็นไปได้ แต่ก็อาจนำไปสู่ปฏิทรรศน์หากใช้อย่างไม่ระมัดระวัง ซึ่งปฏิทรรศน์เหล่านั้นก็ยังไม่สามารถแก้ได้จวบจนถึงปัจจุบัน[1] (ดูตัวอย่างที่หัวข้อลิมิต)

การแปลความหมายในพีชคณิต

สิ่งหนึ่งที่เป็นที่ยอมรับในหมู่นักคณิตศาสตร์ด้วยกันว่า วิธีธรรมดาที่สุดที่จะใช้อธิบายความหมายของการหารด้วยศูนย์ คือการนิยามการหารด้วยการกระทำทางเลขคณิต กฎเกณฑ์พื้นฐานของเลขคณิตคือจำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ จำนวนจริง และจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งภายใต้กฎเกณฑ์ดังกล่าวการหารด้วยศูนย์จะไม่ถูกนิยาม และจะต้องคงไว้อยู่อย่างนั้นในระบบคณิตศาสตร์ใดๆ เพื่อให้เป็นกฎเกณฑ์ที่ยอมรับกันโดยทั่วไปในฟีลด์ เหตุผลคือการหารถูกนิยามให้เป็นอินเวิร์สของการคูณ นั่นหมายความว่า ค่าของ จะมีค่าเท่ากับคำตอบของ x ในสมการ bx = a ตราบใดที่ค่านั้นยังคงมีคำตอบและมีเพียงหนึ่งเดียว นอกเหนือจากนั้นจะปล่อยให้เป็นไม่นิยาม

หากกำหนดให้ b = 0 ในสมการ bx = a จะสามารถเขียนเป็น 0x = a หรือ 0 = a ดังนั้นสมการ bx = a ในกรณีนี้จึง (1) ไม่มีคำตอบเมื่อ a ไม่เท่ากับ 0 และ (2) มีคำตอบของสมการเป็นค่า x ใดๆ เมื่อ a เท่ากับ 0 ในกรณีดังกล่าวไม่มีค่าใดที่เป็นหนึ่งเดียว ดังนั้น จึงไม่นิยาม และในทางกลับกัน นิพจน์ จะถูกนิยามว่า b ต้องมีค่าไม่เท่ากับ 0 เสมอ

เหตุผลวิบัติที่เกิดจากการหารด้วยศูนย์

เราสามารถปลอมแปลงกรณีพิเศษของการหารด้วยศูนย์ด้วยความขัดแย้งทางพีชคณิต โดยใช้การพิสูจน์ที่ไม่สมเหตุสมผลว่า 2 = 1 ดังตัวอย่างต่อไปนี้

เริ่มต้นด้วยสมมติฐานที่ว่า

ดังนั้นสมการต่อไปนี้ต้องเป็นจริง

จากนั้นนำศูนย์ไปหารทั้งสองข้างของสมการ

ตัดทอนผลลัพธ์สุดท้าย จะได้

เหตุผลวิบัติ (fallacy) อยู่ที่การตั้งสมมติฐานที่ไม่สมบูรณ์ ว่าการหารด้วยศูนย์ทำให้ เท่ากับ 1

คนทั่วไปอาจรับรู้ได้ง่ายว่าการพิสูจน์ข้างต้นนั้นไม่สมเหตุสมผล สำหรับความขัดแย้งเดียวกันนี้สามารถนำเสนอให้อยู่ในรูปแบบอื่นซึ่งทำให้ยากขึ้นต่อการชี้จุดข้อผิดพลาด ดังเช่นตัวอย่างนี้ ถ้าเปลี่ยน 1 ให้เป็น x แล้วค่าของ 0 จะซ่อนอยู่ในนิพจน์ x - x และค่าของ 2 ก็จะซ่อนอยู่ในนิพจน์ x + x จากตัวอย่างด้านบนจึงสามารถเขียนให้อยู่ในอีกรูปแบบหนึ่งได้ดังนี้

ดังนั้น

หารด้วย ทั้งสองข้างของสมการ

จากนั้นหารด้วย ทั้งสองข้าง จะได้

พีชคณิตนามธรรม

แนวความคิดที่ใช้กับเลขคณิตพื้นฐาน มีความคล้ายกันกับโครงสร้างพีชคณิตทั่วไป เช่นในเรื่องของริงและฟีลด์ ในฟีลด์หนึ่งๆ องค์ประกอบทุกอย่างที่ไม่เป็นศูนย์จะสามารถอินเวิร์สได้ภายใต้การคูณ ดังนั้นการหารจึงเป็นปัญหาอยู่ที่การหารด้วยศูนย์เท่านั้น เหตุผลดังกล่าวยังคงเป็นจริงในสกิวฟีลด์ (skew field) (ด้วยเหตุผลนี้จึงเรียกได้ในอีกชื่อว่า ริงการหาร) แต่อย่างไรก็ตาม การหารด้วยองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์อาจทำให้เกิดปัญหาได้ในริงอื่นๆ ตัวอย่างเช่น ในการพิจารณาริง Z/6Z ของจำนวนเต็ม mod 6 คำถามคือเราจะให้ความหมายกับนิพจน์ ได้อย่างไร ซึ่งควรจะมีคำตอบ x เพียงหนึ่งเดียวสำหรับสมการ 2x = 2 ในจำนวนจริง แต่ 2 ไม่สามารถมีอินเวิร์สของการคูณภายใต้ริง Z/6Z และสมการนี้มีคำตอบได้สองอย่างคือ x = 1 และ x = 4 ดังนั้นนิพจน์ จึงไม่นิยาม

ลิมิตกับการหารด้วยศูนย์

กราฟของฟังก์ชัน y = 1/x เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 0 แล้ว y จะมีค่าเข้าใกล้อนันต์

เราอาจสามารถนิยาม ได้โดยการพิจารณาลิมิตของ เมื่อ b มีค่าเข้าใกล้ 0

สำหรับค่า a ที่เป็นบวก จะได้ว่า

และสำหรับค่า a ที่เป็นลบ จะได้ว่า

ดังนั้น เราอาจนิยามให้ มีค่าเป็น +∞ เมื่อ a เป็นจำนวนบวก และมีค่าเป็น −∞ เมื่อ a เป็นจำนวนลบ อย่างไรก็ตามการนิยามนี้อาจทำให้เกิดความยุ่งยากด้วยเหตุผลสองประการ

  1. อนันต์ที่เป็นบวกและลบไม่ใช่จำนวนจริง ดังนั้นถ้าหากเราต้องการคงเหลือบริบทไว้ให้เป็นจำนวนจริง เราจะต้องไม่นิยามอะไรที่มีความหมายพิเศษมากไปกว่าจำนวนจริง และถ้าหากต้องการใช้นิยามดังกล่าว เราจะต้อง ขยายเส้นจำนวนจริงออกไป
  2. การหาลิมิตทางขวาเพียงอย่างเดียวเป็นการเลือกโดยไม่มีกฎเกณฑ์ เราอาจสามารถหาลิมิตทางซ้ายและได้นิยามของ มีค่าเป็น −∞ เมื่อ a เป็นจำนวนบวก และมีค่าเป็น +∞ เมื่อ a เป็นจำนวนลบ (สลับกัน) ซึ่งสามารถแสดงให้เห็นโดยใช้สมการดังนี้ (สมมติว่าเส้นจำนวนจริงได้ถูกขยายออกไปถึงอนันต์แล้ว)
ซึ่งไม่ค่อยสมเหตุสมผล กลายเป็นว่า สามารถเป็นบวกและลบได้ในเวลาเดียวกัน ดังนั้นการขยายที่ควรใช้มีเพียง อนันต์ที่ไม่มีเครื่องหมาย เท่านั้น

นอกเหนือไปจากนั้น นิยามของ ไม่สามารถกำหนดได้โดยการหาลิมิตบนเศษส่วน เนื่องจากลิมิต

นั้นไม่มีคำตอบ ส่วนลิมิตที่อยู่ในรูปแบบ

ในกรณีที่เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 0 แล้วทำให้ทั้ง f(x) และ g(x) มีค่าเข้าใกล้ 0 ทั้งคู่ คำตอบของลิมิตอาจจะลู่เข้าไปยังค่าใดค่าหนึ่ง หรือไม่ลู่เข้าเลยก็ได้ (โดยใช้หลักเกณฑ์โลปีตาลช่วยคำนวณ) ซึ่งแนวความคิดนี้ก็ยังไม่สามารถนำไปสู่การนิยาม ได้อยู่ดี (เพราะมีหลายคำตอบ)

การแปลความหมายแบบรูปนัย

การคำนวณแบบรูปนัย (formal calculation) เป็นตัวอย่างหนึ่งที่นำมาอธิบายการคำนวณในกฎเกณฑ์ทางเลขคณิต โดยไม่มีการพิจารณาว่าผลลัพธ์จากการคำนวณจะถูกนิยามไว้แล้วเป็นอย่างดีหรือไม่ ดังนั้นการกำหนดให้ มีค่าเป็น ∞ เมื่อ a มีค่าไม่เท่ากับศูนย์ เป็นกฎเกณฑ์อย่างหยาบ (rule of thumb) ในบางครั้งก็อาจมีประโยชน์ ซึ่งค่าอนันต์นี้จะสามารถเป็นได้ทั้งจำนวนบวก จำนวนลบ หรือไม่มีเครื่องหมาย ขึ้นอยู่กับบริบทที่แวดล้อม ดังตัวอย่างนี้เป็นการคำนวณแบบรูปนัย

ซึ่งจะเกิดผลลัพธ์ที่ไม่น่ายอมรับแต่ก็สามารถนำไปใช้ได้ เช่นเดียวกับการคำนวณแบบรูปนัยอื่นๆ สำหรับความถูกต้องตามตรรกะซึ่งตรงข้ามกับแบบรูปนัยอาจจะกล่าวเพียงว่า

(+∞ ไม่ใช่จำนวน แต่เป็นวัตถุอย่างหนึ่งที่นำแนวคิดไปสู่เส้นจำนวนจริง คล้ายกับแนวคิดที่ว่า เซตของจุดเป็นสมาชิกของการยุบขนาดมิติ (compactification) บนส่วนของเส้นตรงที่ประกอบด้วยจุดสองจุด ในทอพอโลยี)

อ้างอิง

  1. Zero