รายชื่อเอกลักษณ์ลอการิทึม

ในทางคณิตศาสตร์ เอกลักษณ์ลอการิทึมมีอยู่เป็นจำนวนมากดังนี้

เอกลักษณ์ชัด (Trivial Identities)

$\log _{b}(1)=0\!\,$	เพราะ	$b^{0}=1\!\,$, โดยให้ b>0
$\log _{b}(b)=1\!\,$	เพราะ	$b^{1}=b\!\,$

ในเอกลักษณ์ที่สอง log_b(0) มีคำตอบคือไม่นิยาม เพราะไม่มีจำนวน x ใด ๆ ที่ทำให้ b^x = 0 โดยความเป็นจริงแล้ว เส้นกำกับแนวตั้ง (Vertical asymptote) บนกราฟในฟังก์ชัน log_b(x) อยู่ที่ x = 0.

ยกเลิกฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (Cancelling exponents)

ลอการิทึมและเลขชี้กำลัง (แอนติลอการิทึม) ที่อยู่ฐานเดียวกันจะยกเลิกฟังก์ชันนั้นด้วยกันเอง ซึ่งเป็นความจริงเพราะลอการิทึมและเลขชี้กำลังเป็นตัวดำเนินการย้อนกลับ (คล้ายกับการคูณกับการหาร หรือ การบวกกับการลบ)

$b^{\log _{b}(x)}=x$ เพราะ ${\mbox{antilog}}_{b}(\log _{b}(x))=x$

$\log _{b}(b^{x})=x$ เพราะ $\log _{b}({\mbox{antilog}}_{b}(x))=x$

ทั้งสองเอกลักษณ์ข้างบนแปลงมาจาก 2 สมการที่กำหนดนิยามของลอการิทึมไว้ดังต่อไปนี้

$b^{c}=x{\text{, }}\log _{b}(x)=c$

โดยแทนค่า c ไปที่สมการทางซ้ายจะได้ b^log_b(x) = x และแทนค่า x ไปที่สมการทางด้านขวาจะได้ log_b(b^c) = c สุดท้ายจึงแทนค่า c เป็น x.

ตัวดำเนินการลดรูป (Simpler operations)

ลอการิทึมสามารถลดรูปเพื่อให้การคำนวณนั้นง่ายขึ้น ยกตัวอย่างเช่น จำนวนสองจำนวนสามารถคูณกันได้โดยใช้ตารางลอการิทึมและจับค่าที่แปลงได้มาบวกกัน โดยตัวดำเนินการสามตัวแรกข้างใต้นี้กำหนดให้ x = b^c และ/หรือ y = b^d ทำให้ log_b(x) = c และ log_b(y) = d การแปลงสมการก็สามารถใช้ตามนิยามของลอการิทึม x = b^log_b(x) และ x = log_b(b^x)

$\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)$	เพราะ	$b^{c}\cdot b^{d}=b^{c+d}$
$\log _{b}({\tfrac {x}{y}})=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)$	เพราะ	$b^{c-d}={\tfrac {b^{c}}{b^{d}}}$
$\log _{b}(x^{d})=d\log _{b}(x)$	เพราะ	$(b^{c})^{d}=b^{cd}$
$\log _{b}\left({\sqrt[{y}]{x}}\right)={\frac {\log _{b}(x)}{y}}$	เพราะ	${\sqrt[{y}]{x}}=x^{1/y}$
$x^{\log _{b}(y)}=y^{\log _{b}(x)}$	เพราะ	$x^{\log _{b}(y)}=b^{\log _{b}(x)\log _{b}(y)}=(b^{\log _{b}(y)})^{\log _{b}(x)}=y^{\log _{b}(x)}$
$c\log _{b}(x)+d\log _{b}(y)=\log _{b}(x^{c}y^{d})$	เพราะ	$\log _{b}(x^{c}y^{d})=\log _{b}(x^{c})+\log _{b}(y^{d})$

โดยให้ $b$, $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริงบวกและ $b\neq 1$ ทั้ง $c$ และ $d$ เป็นจำนวนจริง

ผลลัพธ์ของกฎที่มาจากการยกเลิกเลขชี้กำลัง และกฎของเลขชี้กำลังที่จำเป็น โดยเริ่มต้นจากกฎข้อแรกจะเห็นว่า

$xy=b^{\log _{b}(x)}b^{\log _{b}(y)}=b^{\log _{b}(x)+\log _{b}(y)}\Rightarrow \log _{b}(xy)=\log _{b}(b^{\log _{b}(x)+\log _{b}(y)})=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)$

กฎสำหรับเลขยกกำลังได้ถูกใช้ในกฎข้ออื่น ๆ ของกฎเลขชี้กำลังอีกด้วยดังที่เห็น

$x^{y}=(b^{\log _{b}(x)})^{y}=b^{y\log _{b}(x)}\Rightarrow \log _{b}(x^{y})=y\log _{b}(x)$

กฎที่เกี่ยวข้องกับเศษส่วนได้ถูกใช้ตามนี้

$\log _{b}{\bigg (}{\frac {x}{y}}{\bigg )}=\log _{b}(xy^{-1})=\log _{b}(x)+\log _{b}(y^{-1})=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)$

เช่นเดียวกัน กฎของกรณฑ์ก็ได้แปลงโดยการเขียนกรณฑ์ต่างๆ เป็นเศษส่วน

$\log _{b}({\sqrt[{y}]{x}})=\log _{b}(x^{\frac {1}{y}})={\frac {1}{y}}\log _{b}(x)$

เปลี่ยนเลขฐาน

$\log _{b}a={\frac {\log _{d}(a)}{\log _{d}(b)}}$

เอกลักษณ์นี้เป็นประโยชน์มากต่อการคำนวณลอการิทึมผ่านเครื่องคิดเลข โดยเครื่องคิดเลขส่วนใหญ่มักจะมีแค่ปุ่ม ln และ log₁₀ เท่านั้น ไม่มีลอการิทึมฐานอื่น ๆ เช่น log₂ ดังนั้นเมื่อจะหา log₂(3) จะใช้ log₁₀(3) / log₁₀(2) (or ln(3)/ln(2)) แทนซึ่งผลลัพธ์มีค่าเท่ากัน

พิสูจน์

ให้ $c=\log _{b}a$

จากนั้น $b^{c}=a$

นำ $\log _{d}$ ไปใส่ไว้ในสมการทั้งสองข้างจะได้ $\log _{d}b^{c}=\log _{d}a$

ลดรูป $c$ จะได้ $c\log _{d}b=\log _{d}a$

$c={\frac {\log _{d}a}{\log _{d}b}}$

เมื่อ $c=\log _{b}a$ ดังนั้น $\log _{b}a={\frac {\log _{d}a}{\log _{d}b}}$

โดยสมการนี้สามารถให้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้ได้อีกด้วย

$\log _{b}a={\frac {1}{\log _{a}b}}$

$\log _{b^{n}}a={{\log _{b}a} \over n}$

$b^{\log _{a}d}=d^{\log _{a}b}$

$-\log _{b}a=\log _{b}\left({1 \over a}\right)=\log _{1 \over b}a$

$\log _{b_{1}}a_{1}\,\cdots \,\log _{b_{n}}a_{n}=\log _{b_{\pi (1)}}a_{1}\,\cdots \,\log _{b_{\pi (n)}}a_{n},\,$

โดยให้ $\scriptstyle \pi \,$เป็นการเรียงสับเปลี่ยนของจำนวน 1, ..., n ใด ๆ ยกตัวอย่างเช่น

$\log _{b}w\cdot \log _{a}x\cdot \log _{d}c\cdot \log _{d}z=\log _{d}w\cdot \log _{b}x\cdot \log _{a}c\cdot \log _{d}z.\,$

การบวกและการลบของลอการิทึม

กฎการบวกและการลบของลอการิทึมดังต่อไปนี้มีประโยชน์มาก โดยเฉพาะในทฤษฎีความน่าจะเป็น เมื่อมีการใช้ผลรวมของความน่าจะเป็นแบบลอการิทึม

$\log _{b}(a+c)=\log _{b}a+\log _{b}\left(1+{\frac {c}{a}}\right)$

$\log _{b}(a-c)=\log _{b}a+\log _{b}\left(1-{\frac {c}{a}}\right)$

N$a$ และ $c$

have to be switched on the right hand side of the equations if $c>a$. Also note that the subtraction identity is not defined if $a=c$ since the logarithm of zero is not defined. Many programming languages have a specific log1p(x) function that calculates $\log _{e}(1+x)$ without underflow when $x$ is small.

More generally:

$\log _{b}\sum \limits _{i=0}^{N}a_{i}=\log _{b}a_{0}+\log _{b}\left(1+\sum \limits _{i=1}^{N}{\frac {a_{i}}{a_{0}}}\right)=\log _{b}a_{0}+\log _{b}\left(1+\sum \limits _{i=1}^{N}b^{\left(\log _{b}a_{i}-\log _{b}a_{0}\right)}\right)$

where $a_{0}>a_{1}>\ldots >a_{N}$ are sorted in descending order.

Exponents

A useful identity involving exponents:

$x^{\frac {\log(\log(x))}{\log(x)}}=\log(x)$

Inequalities

Based on and

${\frac {x}{1+x}}\leq \log(1+x)\leq x{\mbox{ for all }}-1<x$

${\frac {2x}{2+x}}\leq {\frac {x}{\sqrt {1+x+x^{2}/12}}}\leq \log(1+x)\leq {\frac {x}{\sqrt {1+x}}}\leq {\frac {x}{2}}{\frac {2+x}{1+x}}{\mbox{ for }}0\leq x{\mbox{, reverse for }}-1<x\leq 0$

Both are pretty sharp around x=0, but not for large x.

Calculus identities

Limits

$\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}(x)=-\infty \quad {\mbox{if }}a>1$

$\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}(x)=\infty \quad {\mbox{if }}a<1$

$\lim _{x\to \infty }\log _{a}(x)=\infty \quad {\mbox{if }}a>1$

$\lim _{x\to \infty }\log _{a}(x)=-\infty \quad {\mbox{if }}a<1$

$\lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}(x)=0\quad {\mbox{if }}b>0$

$\lim _{x\to \infty }{\frac {\log _{a}(x)}{x^{b}}}=0\quad {\mbox{if }}b>0$

The last limit is often summarized as "logarithms grow more slowly than any power or root of x".

Derivatives of logarithmic functions

${d \over dx}\ln x={1 \over x},$

${d \over dx}\log _{b}x={1 \over x\ln b},$

Where $x>0$, $b>0$, and $b\neq 1$.

Integral definition

$\ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt$

Integrals of logarithmic functions

$\int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C$

To remember higher integrals, it's convenient to define:

$x^{\left[n\right]}=x^{n}(\log(x)-H_{n})$

Where $H_{n}$ is the nth Harmonic number.

$x^{\left[0\right]}=\log x$

$x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x$

$x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{2}}\end{matrix}}\,x^{2}$

$x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {11}{6}}\end{matrix}}\,x^{3}$

Then,

${\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=n\,x^{\left[n-1\right]}$

$\int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C$

Approximating large numbers

The identities of logarithms can be used to approximate large numbers. Note that log_b(a) + log_b(c) = log_b(ac), where a, b, and c are arbitrary constants. Suppose that one wants to approximate the 44th Mersenne prime, 2^32,582,657 − 1. To get the base-10 logarithm, we would multiply 32,582,657 by log₁₀(2), getting 9,808,357.09543 = 9,808,357 + 0.09543. We can then get 10^9,808,357 × 10^0.09543 ≈ 1.25 × 10^9,808,357.

Similarly, factorials can be approximated by summing the logarithms of the terms.

Complex logarithm identities

The complex logarithm is the complex number analogue of the logarithm function. No single valued function on the complex plane can satisfy the normal rules for logarithms. However a multivalued function can be defined which satisfies most of the identities. It is usual to consider this as a function defined on a Riemann surface. A single valued version called the principal value of the logarithm can be defined which is discontinuous on the negative x axis and equals the multivalued version on a single branch cut.

Definitions

The convention will be used here that a capital first letter is used for the principal value of functions and the lower case version refers to the multivalued function. The single valued version of definitions and identities is always given first followed by a separate section for the multiple valued versions.

ln(r) is the standard natural logarithm of the real number r.

Log(z) is the principal value of the complex logarithm function and has imaginary part in the range (-π, π].

Arg(z) is the principal value of the arg function, its value is restricted to (-π, π]. It can be computed using Arg(x+iy)= atan2(y, x).

$\operatorname {Log} (z)=\ln(|z|)+i\operatorname {Arg} (z)$

$e^{\operatorname {Log} (z)}=z$

The multiple valued version of log(z) is a set but it is easier to write it without braces and using it in formulas follows obvious rules.

log(z) is the set of complex numbers v which satisfy e^v = z

arg(z) is the set of possible values of the arg function applied to z.

When k is any integer:

$\log(z)=\ln(|z|)+i\arg(z)$

$\log(z)=\operatorname {Log} (z)+2\pi ik$

$e^{\log(z)}=z$

Constants

Principal value forms:

$\operatorname {Ln} (1)=0$

$\operatorname {Ln} (e)=1$

Multiple value forms, for any k an integer:

$\log(1)=0+2\pi ik$

$\log(e)=1+2\pi ik$

Summation

Principal value forms:

$\operatorname {Log} (z_{1})+\operatorname {Log} (z_{2})=\operatorname {Log} (z_{1}z_{2}){\pmod {2\pi i}}$

$\operatorname {Log} (z_{1})-\operatorname {Log} (z_{2})=\operatorname {Log} (z_{1}/z_{2}){\pmod {2\pi i}}$

Multiple value forms:

$\log(z_{1})+\log(z_{2})=\log(z_{1}z_{2})$

$\log(z_{1})-\log(z_{2})=\log(z_{1}/z_{2})$

Powers

A complex power of a complex number can have many possible values.

Principal value form:

${z_{1}}^{z_{2}}=e^{z_{2}\operatorname {Log} (z_{1})}$

$\operatorname {Log} {\left({z_{1}}^{z_{2}}\right)}=z_{2}\operatorname {Log} (z_{1}){\pmod {2\pi i}}$

Multiple value forms:

${z_{1}}^{z_{2}}=e^{z_{2}\log(z_{1})}$

Where k₁, k₂ are any integers:

$\log {\left({z_{1}}^{z_{2}}\right)}=z_{2}\log(z_{1})+2\pi ik_{2}$

$\log {\left({z_{1}}^{z_{2}}\right)}=z_{2}\operatorname {Log} (z_{1})+z_{2}2\pi ik_{1}+2\pi ik_{2}$

See also

• List of trigonometric identities
• Exponential function

External links

• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Logarithm" จากแมทเวิลด์.
• Logarithm in Mathwords