เซตม็องแดลโบรต

เซตมานดัลบรอ

เซตมานดัลบรอ (อังกฤษ: Mandelbrot set) คือ เซตของจุดในระนาบเชิงซ้อนที่เรียงตัวเป็นเฟร็กทัล ในทางคณิตศาสตร์นิยามเซตมานดัลบรอ คือ เซตของค่าจำนวนเชิงซ้อน c ซึ่งให้ทางเดินของ 0 ภายใต้การส่งวนซ้ำของ ฟ้งก์ชันกำลังสอง (quadratic map) x² + c มีค่าจำกัด

นอกจากแวดวงคณิตศาสตร์แล้ว เซตมานดัลบรอก็เป็นที่รู้จักแพร่หลาย เนื่องมาจากความสวยงามของมัน และโครงสร้างที่ซับซ้อน อันเกิดจากนิยามที่มีรูปแบบง่าย ๆ นักคณิตศาสตร์ เบอนัว มานดัลบรอ และนักคณิตศาสตร์อื่นอีกหลายท่าน ได้พยายามนำคณิตศาสตร์แขนงนี้มาเผยแพร่ให้เป็นที่รู้จักในวงกว้าง

นิยาม

เซตมานดัลบรอ $M$ นิยามโดยควาดราติกโพลิโนเมียลเชิงซ้อน

$f_{c}:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$

ที่กำหนดโดย

$f_{c}(z)=z^{2}+c.\,$

โดยที่ $c$ เป็นตัวเลขเชิงซ้อน สำหรับ $c$ แต่ละค่า พิจารณาพฤติกรรมของลำดับ $(0,f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),f_{c}(f_{c}(f_{c}(0))),\ldots )$ โดยการ ไอเทอเรทฟังก์ชัน $f_{c}(z)$ เริ่มต้นที่ $z=0$ ซึ่งเป็นได้สองกรณีคืออาจมีค่าสู่อนันต์ หรือ มีค่าจำกัดภายในวงกลมรัศมีหนึ่ง ๆ เซตมานดัลบรอ คือเซตของจุด $c$ ทุกจุดที่ไม่เข้าสู่อนันต์

ภาพเซตมานดัลบรอ จุด c มีสีดำถ้าอยู่ในเซต นอกนั้นมีสีขาว

นิยามอย่างเป็นทางการหนึ่งคือ ถ้า $f_{c}^{n}(z)$ คือไอเทอเรทที่ n ของฟังก์ชัน $f_{c}(z)$ (หมายถึงคอมโพสิทฟังก์ชัน $f_{c}(z)$ ของตัวมันเอง n ครั้ง) เซตมานดัลบรอเป็นซับเซตของระนาบเชิงซ้อนที่ถูกกำหนดโดย

$M=\left\{c\in \mathbb {C} :\sup _{n\in \mathbb {N} }|f_{c}^{n}(0)|<\infty \right\}.$

ในทางคณิตศาสตร์ เซตมานดัลบรอเป็นเพียงเซตของจำนวนเชิงซ้อน จำนวน $c$ จะอยู่ในเซต $M$ หรือไม่อยู่อย่างใดอย่างหนึ่ง ภาพของเซตมานดัลบรอสามารถสร้างได้โดยกำหนด $c$ ที่อยู่ใน $M$ ให้เป็นสีดำ นอกนั้นเป็นสีขาว ภาพที่มีสีสันสวยงามขึ้นที่พบเห็นบ่อย ๆ สร้างโดยการกำหนดสีต่าง ๆ แทนอัตราเร็วที่จุดมีค่าเข้าสู่อนันต์