ผลต่างระหว่างรุ่นของ "จำนวนธรรมชาติ"
ล →อ้างอิง: แก้การแสดงผล |
ล →อ้างอิง: แก้การแสดงผล |
||
บรรทัด 39: | บรรทัด 39: | ||
== อ้างอิง == |
== อ้างอิง == |
||
<references/> |
|||
{{reference}} |
|||
{{เริ่มอ้างอิง}} |
{{เริ่มอ้างอิง}} |
||
* [[Edmund Landau]], Foundations of Analysis, Chelsea Pub Co. ISBN 0-8218-2693-X. |
* [[Edmund Landau]], Foundations of Analysis, Chelsea Pub Co. ISBN 0-8218-2693-X. |
รุ่นแก้ไขเมื่อ 21:32, 21 กุมภาพันธ์ 2557
ในทางคณิตศาสตร์ จำนวนธรรมชาติ อาจหมายถึง จำนวนเต็มบวก หรือ จำนวนนับ (1, 2, 3, 4, ...) หรือ จำนวนเต็มไม่เป็นลบ (0, 1, 2, 3, 4, ...) ความหมายแรกมีการใช้ในทฤษฎีจำนวน ส่วนแบบหลังได้ใช้งานใน ตรรกศาสตร์,เซตและวิทยาการคอมพิวเตอร์
จำนวนธรรมชาติมีการใช้งานหลักอยู่สองประการ กล่าวคือเราสามารถใช้จำนวนธรรมชาติในการนับ เช่น มีส้มอยู่ 3 ผลบนโต๊ะ หรือเราอาจใช้สำหรับการจัดอันดับ เช่น เมืองนี้เป็นเมืองที่มีขนาดใหญ่เป็นอันดับที่ 3 ในประเทศ เป็นต้น
คุณสมบัติของจำนวนธรรมชาติที่เกี่ยวกับการหารลงตัว เช่นการกระจายของจำนวนเฉพาะ เป็นเนื้อหาในทฤษฎีจำนวน ปัญหาที่เกี่ยวกับการนับ เช่น ทฤษฎีแรมซี นั้นถูกศึกษาในคณิตศาสตร์เชิงการจัด
ประวัติของจำนวนธรรมชาติและจำนวนศูนย์
สันนิษฐานว่าจำนวนธรรมชาติ มีแหล่งกำเนิดอยู่ที่การนับ, เริ่มด้วยเลขหนึ่ง จำนวนธรรมชาติในนามธรรมได้เกิดขึ้นครั้งแรกจากการใช้ตัวเลข เพื่อแสดงให้ค่าจำนวน จนพัฒนาขึ้นมาในการบันทึกจำนวนที่มากขึ้น ยกตัวอย่างเช่น ชาวบาบิลอนสร้างระบบหลักจำนวนขึ้นมาซึ่งจำเป็นมากในระบบเลขหนึ่งถึงสิบ, ชาวอียิปต์ได้สร้างระบบจำนวนอย่างแตกต่างในภาษาเฮียโรกริฟต์ สำหรับหนึ่งถึงสิบและเลขยกกำลังตั้งแต่หลักสิบถึงหลักล้าน ตั้งแต่ที่ถ้ำหินของคาร์หนัก(เคหกรรมของชาวอียิปต์)ก่อนคริสต์ศักราช 1500 ปี จนถึงลูฟฟ์ที่ปารีส แสดงจำนวน 276 โดย 2 แทนที่หลักร้อย, 7 แทนที่หลักสิบ, 6 แทนที่หลักหน่วย และดังเช่นการเขียนจำนวน 4,622 ด้วย
นิยามอย่างเป็นทางการ
นิยามอย่างชัดเจนเชิงคณิตศาสตร์ของจำนวนธรรมชาติพัฒนาตลอดช่วงประวัติศาสตร์โดยมีอุปสรรคบางประการ สัจพจน์ของเปอาโนกำหนดเงื่อนไขที่นิยามสมบูรณ์ใดๆ ต้องสอดคล้อง การสร้างบางประการแสดงว่าแบบจำลองทางคณิตศาสตร์เมื่อกำหนดทฤษฎีเซต ต้องมีอยู่
สัจพจน์ของเปอาโน
สัจพจน์ของเปอาโนเป็นที่มาของทฤษฎีอย่างเป็นทางการของจำนวนธรรมชาติ สัจพจน์ของเปอาโนมีดังนี้:
- 0 เป็นจำนวนธรรมชาติ
- ทุกจำนวนธรรมชาติ a มีตัวตามหลัง เขียนแทนด้วย S(a) จริงๆ แล้ว S(a) คือ a + 1
- ไม่มีจำนวนธรรมชาติที่ตัวตามหลังเป็น 0
- S เป็น ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง กล่าวคือจำนวนธรรมชาติที่ต่างกันมีตัวตามหลังที่ต่างกัน: ถ้า a ≠ b แล้ว S(a) ≠ S(b)
- ถ้า 0 มีสมบัติอย่างหนึ่ง และ ตัวตามหลังของทุกๆ จำนวนนับที่มีสมบัตินั้น ก็มีสมบัตินั้น แล้วทุกจำนวนธรรมชาติจะมีสมบัตินั้น (สัจพจน์นี้ยืนยันว่าการพิสูจน์โดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ถูกต้อง)
หมายเหตุ "0" ในนิยามข้างต้นไม่ได้หมายถึงเลขศูนย์เสมอไป "0" หมายถึงบางจำนวนที่สอดคล้องกับสัจพจน์ของเปอาโน เมื่อพิจารณาร่วมกับ"ฟังก์ชันตัวตามหลัง"ตามเหมาะสม ทุกระบบที่สอดคล้องกับสัจพจน์เหล่านี้สมมูลกันตามตรรกศาสตร์ชั้นต้น อย่างไรก็ตาม มีแบบจำลองสัจพจน์ของเปอาโนที่นับไม่ได้ ซึ่งเรียกว่าแบบจำลองเลขคณิตแบบไม่มาตรฐาน และยืนยันโดยUpward Löwenheim-Skolem Theorem ชื่อ nbsp;"0" ใช้ในที่นี้สำหรับสมาชิกตัวแรก (มีการเสนอชื่อ"สมาชิกตัวที่ศูนย์" เพื่อให้ใช้ "สมาชิกตัวแรก" เรียก "1" ใช้ "สมาชิกตัวที่สอง" เรียก "2" ฯลฯ) ซึ่งเป็นสมาชิกที่ไม่มีตัวนำหน้า เช่นจำนวนธรรมชาติที่เริ่มด้วย 1 ก็สอดคล้องสัจพจน์ ถ้าสัญลักษณ์ 0 ถือเป็นจำนวนธรรมชาติ 1 สัญลักษณ์ S(0) ถือเป็น number 2 ฯลฯ ที่จริงแล้วในต้นฉบับของเปอาโน จำนวนธรรมชาติจำนวนแรกคือ 1
การสร้างบนพื้นฐานทฤษฎีเซต
การสร้างมาตรฐาน
การสร้างมาตรฐานในวิชาทฤษฎีเซต เป็นกรณีพิเศษของการสร้างเรียงลำดับแบบวอน นิวมันน์[1] กำหนดนิยามของจำนวนธรรมชาติดังนี้:
- กำหนด 0 := { } เป็นเซตว่าง
- และนิยาม S(a) = a ∪ {a} สำหรับทุกเซต a S(a) คือตัวตามหลัง a และเรียก S ว่า ฟังก์ชันตัวตามหลัง
- โดยสัจพจน์ของอนันต์ เซตของจำนวนธรรมชาติทุกจำนวนมีอยู่ เซตนี้คืออินเตอร์เซกชันของทุกเซตที่มี 0 ที่มีสมบัติปิดภายใต้ฟังก์ชันตัวตามหลัง จึงสอดคล้องสัจพจน์ของเปอาโน
- ทุกจำนวนธรรมชาติเท่ากับเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดที่น้อยกว่าจำนวนนั้นๆ นั่นคือ
- 0 = { }
- 1 = {0} = {{ }}
- 2 = {0, 1} = {0, {0}} = {{ }, {{ }}}
- 3 = {0, 1, 2} = {0, {0}, {0, {0}}} ={{ }, {{ }}, {{ }, {{ }}}}
- n = {0, 1, 2, ..., n−2, n−1} = {0, 1, 2, ..., n−2,} ∪ {n−1} = {n−1} ∪ (n−1) = S(n−1)
- ฯลฯ
อ้างอิง
- Edmund Landau, Foundations of Analysis, Chelsea Pub Co. ISBN 0-8218-2693-X.
- Richard Dedekind, Essays on the theory of numbers, Dover, 1963, ISBN 0-486-21010-3 / Kessinger Publishing, LLC , 2007, ISBN 0-548-08985-X
- N. L. Carothers. Real analysis. Cambridge University Press, 2000. ISBN 0-521-49756-6
- Brian S. Thomson, Judith B. Bruckner, Andrew M. Bruckner. Elementary real analysis. ClassicalRealAnalysis.com, 2000. ISBN 0-13-019075-6
- เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Natural Number" จากแมทเวิลด์.