ผลต่างระหว่างรุ่นของ "จำนวนฟีโบนัชชี"
Nullzerobot (คุย | ส่วนร่วม) ล ลบลิงก์ที่ซ้ำซ้อน wikidata |
|||
บรรทัด 119: | บรรทัด 119: | ||
[[ar:عدد فيبوناتشي]] |
[[ar:عدد فيبوناتشي]] |
||
[[az:Fibonaççi ədədləri]] |
|||
[[bg:Числа на Фибоначи]] |
|||
[[bn:ফিবোনাচ্চি রাশিমালা]] |
|||
[[bs:Fibonaccijev broj]] |
|||
[[ca:Successió de Fibonacci]] |
|||
[[cs:Fibonacciho posloupnost]] |
|||
[[da:Fibonacci-tal]] |
|||
[[de:Fibonacci-Folge]] |
|||
[[el:Ακολουθία Φιμπονάτσι]] |
|||
[[en:Fibonacci number]] |
|||
[[eo:Fibonaĉi-nombro]] |
|||
[[es:Sucesión de Fibonacci]] |
|||
[[et:Fibonacci jada]] |
|||
[[eu:Fibonacciren zenbakiak]] |
|||
[[fa:اعداد فیبوناچی]] |
|||
[[fi:Fibonaccin lukujono]] |
|||
[[fr:Suite de Fibonacci]] |
|||
[[ga:Seicheamh Fibonacci]] |
|||
[[gv:Straih Fibonacci]] |
|||
[[he:סדרת פיבונאצ'י]] |
|||
[[hi:हेमचन्द्र श्रेणी]] |
|||
[[hr:Fibonaccijev broj]] |
|||
[[hu:Fibonacci-számok]] |
|||
[[hy:Ֆիբոնաչիի թվեր]] |
|||
[[id:Bilangan Fibonacci]] |
|||
[[is:Fibonacci-runa]] |
|||
[[it:Successione di Fibonacci]] |
|||
[[ja:フィボナッチ数]] |
|||
[[kaa:Fibonachchi sanları]] |
|||
[[kk:Фибоначчи сандары]] |
|||
[[ko:피보나치 수]] |
|||
[[la:Numeri Fibonacciani]] |
|||
[[lt:Fibonačio skaičius]] |
|||
[[lv:Fibonači skaitļi]] |
|||
[[mk:Фибоначиева низа]] |
|||
[[ml:ഫിബനാച്ചി ശ്രേണി]] |
|||
[[mn:Фибоначчийн тоо]] |
|||
[[ms:Bilangan Fibonacci]] |
|||
[[nl:Rij van Fibonacci]] |
|||
[[nn:Fibonaccifølgja]] |
|||
[[no:Fibonaccitall]] |
|||
[[pl:Ciąg Fibonacciego]] |
|||
[[pms:Sequensa ëd Fibonacci]] |
|||
[[pt:Número de Fibonacci]] |
|||
[[ro:Numerele Fibonacci]] |
|||
[[ru:Числа Фибоначчи]] |
|||
[[scn:Succissioni di Fibonacci]] |
|||
[[si:ෆිබොනාච්චි සංඛ්යා]] |
|||
[[simple:Fibonacci number]] |
|||
[[sk:Fibonacciho postupnosť]] |
|||
[[sl:Fibonaccijevo število]] |
|||
[[sq:Numrat e Fibonaccit]] |
|||
[[sr:Фибоначијев низ]] |
|||
[[sv:Fibonaccital]] |
|||
[[ta:ஃபிபனாச்சி எண்கள்]] |
|||
[[tl:Bilang Fibonacci]] |
|||
[[tr:Fibonacci dizisi]] |
|||
[[uk:Послідовність Фібоначчі]] |
|||
[[uz:Fibonachchi sonlari]] |
|||
[[vi:Dãy Fibonacci]] |
|||
[[vls:Reke van Fibonacci]] |
|||
[[war:Ihap Fibonacci]] |
|||
[[zh:斐波那契数列]] |
รุ่นแก้ไขเมื่อ 10:05, 9 มีนาคม 2556
จำนวนฟีโบนัชชี หรือ เลขฟีโบนัชชี (อังกฤษ: Fibonacci number) คือจำนวนต่าง ๆ ที่อยู่ในลำดับจำนวนเต็มดังต่อไปนี้
- 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946 ... (ลำดับ A000045)
โดยมีนิยามของความสัมพันธ์ว่า จำนวนถัดไปเท่ากับผลบวกของจำนวนสองจำนวนก่อนหน้า และสองจำนวนแรกก็คือ 0 และ 1 ตามลำดับ และลำดับของจำนวนดังกล่าวก็จะเรียกว่า ลำดับฟีโบนัชชี (อังกฤษ: Fibonacci sequence)
หากเขียนให้อยู่ในรูปของสัญลักษณ์ ลำดับ Fn ของจำนวนฟีโบนัชชีนิยามขึ้นด้วยความสัมพันธ์เวียนเกิดดังนี้
โดยกำหนดค่าเริ่มแรกให้ [1]
ชื่อของจำนวนฟีโบนัชชีตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแก่นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีชื่อ เลโอนาร์โดแห่งปีซา (Leonardo de Pisa) ซึ่งเป็นที่รู้จักกันในนามฟีโบนัชชี (Fibonacci) ผู้ค้นพบจำนวนฟีโบนัชชีในต้นศตวรรษที่ 13
รูปปิด
เนื่องจากลำดับฟีโบนัชชีเป็นลำดับที่นิยามด้วยความสัมพันธ์เวียนบังเกิดเชิงเส้น เราจึงสามารถหารูปปิดของจำนวนฟีโบนัชชีได้ โดยสมการแสดงรูปปิดของจำนวนฟีโบนัชชี มีชื่อเรียกว่า สูตรของบิเนต์ มีดังต่อไปนี้
โดย เป็นตัวเลขที่รู้จักกันโดยทั่วไปว่าอัตราส่วนทองคำ
การพิสูจน์:
พิจารณาสมการพหุนาม เมื่อคูณทั้งสองข้างด้วย เราได้ว่า
ผลเฉลยของสมการ ได้แก่ และ ดังนั้น
= และ =
พิจารณาฟังก์ชัน
- เมื่อ และ เป็นจำนวนจริงใดๆ
เราได้ว่าฟังก์ชันเหล่านี้สอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนบังเกิดที่ใช้นิยมเลขฟีโบนัชชี
เลือก and เราได้ว่า
และ
เราสามารถใช้ข้อความนี้เป็นฐานของการพิสูจน์แบบอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ของข้อความ และใช้เอกลักษณ์ของ พิสูจน์กรณีอุปนัยได้ เราจึงสามารถสรุปว่า
- สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ทุกตัว
เนื่องจาก สำหรับทุกๆ เราจึงได้ว่า จึงเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ ที่สุด หรือเขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์โดยใช้ฟังก์ชันพื้น (floor function) ได้ว่า
ความสัมพันธ์กับอัตราส่วนทองคำ
โยฮันน์ เคปเลอร์ ค้นพบว่าอัตราส่วนของจำนวนฟีโบนัชชีที่ติดกันลู่เข้าสู่อัตราส่วนทองคำ กล่าวคือ
- ลู่เข้าสู่อัตราส่วนทองคำ
การพิสูจน์:
สำหรับจำนวนจริง เราได้ว่า
,
เนื่องจาก ดังนั้น
เนื่องจากจำนวนฟีโบนัชชีคือ เมื่อ และ ลิมิตของอัตราส่วนของเลขฟีโบนัชชีที่ติดกันจึงสอดคล้องกับสมการข้างบนด้วย
ลำดับฟิโบนัชชีในธรรมชาติ
สิ่งที่ปรากฏตามธรรมชาติมิได้มีแต่รูปร่างง่ายๆ เท่านั้น บางอย่างมีรูปร่างที่มีแบบแผนทางคณิตศาสตร์ที่ยุ่งยากขึ้นไปอีก ตัวอย่างที่น่าสนใจของธรรมชาติที่เป็นไปตามกฎเกณฑ์ของ คณิตศาสตร์ชั้นสูง ได้แก่ เส้นโค้งก้นหอย ซึ่งมีคุณสมบัติว่า ถ้าลากเส้นตรงจากจุดหลายของเกลียวข้างในสุดไปตัดกับเส้นโค้งแล้ว มุมที่เกิดจากเส้นตรงนั้นกับเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ณ จุดตัดจะเท่ากันเสมอดังรูป มุม A = มุม B = มุม C เส้นโคังที่มีลักษณะเป็นก้นหอยจะพบได้ในหอยบางชนิด เช่น หอยทาก
นอกจากนี้ยังมีความโค้งของงาช้าง ความโค้งของเกสรดอกทานตะวัน ตาสับปะรดและตาลูกสน ก็มีลักษณะคล้ายส่วนของเส้นโค้งก้นหอยด้วย ยังมีเรื่องที่น่าสนใจในธรรมชาติที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์อีก จากการศึกษาเส้นโค้งของตาลูกสน ตาสับปะรด และเกสรดอกทานตะวัน จะเห็นว่าเส้นโค้งที่หมุนตามเข็มนาฬิกาของตาลูกสนมีจำนวน 5 เส้น และหมุนทวนเข็มนาฬิกามีจำนวน 3 เส้น หรืออาจกล่าวได้ว่า จำนวนเส้นโค้งสองแบบมีอัตราส่วนเป็น 5 ต่อ 8 สำหรับตาสับปะรด เส้นโค้งตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกา มีอัตราส่วนเป็น 8 ต่อ 13 เส้นโค้งที่เกิดจากเกสรดอกทานตะวันตามเข็มนาฬิกา และทวนเข็มนาฬิกามีอัตราส่วนเป็น 21 ต่อ 34 ปรากฏการณ์นี้เป็นไปตามกฎเกณฑ์ของเลขฟีโบนัชชี
การนำไปใช้
จำนวนฟีโบนัชชีมีความสำคัญในการวิเคราะห์ประสิทธิภาพของยูคลีเดียนอัลกอริทึมซึ่งใช้ในการหาตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มสองจำนวน โดยยูคลิเดียนอัลกอริทึมจะทำงานได้ช้าที่สุดถ้าข้อมูลเข้าเป็นจำนวนฟีโบนัชชีสองตัวที่ติดกัน
ยูริ มาทิยาเซวิช พิสูจน์ได้ว่าจำนวนฟีโบนัชชีมีนิยามในรูปของผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน์ ซึ่งความจริงข้อนี้นำไปสู่การแก้ปัญหาข้อที่ 10 ของฮิลแบร์ท
จำนวนเต็มทุกจำนวนสามารถเขียนอยู่ในรูปของผลบวกของจำนวนฟีโบนัชชีที่ไม่ติดกินได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น ความจริงข้อนี้เป็นที่รู้จักกันในนามทฤษฎีบทของเซคเคนดอร์ฟ การเขียนจำนวนเต็มในรูปดังกล่าวเรียกว่า การนำเสนอแบบเซคเคนดอร์ฟ
ตัวกำเนิดจำนวนสุ่มเทียมบางตัวใช้จำนวนฟีโบนัชชีเป็นเครื่องมือในการสร้างเลขสุ่ม
จำนวนฟีโบนัชชีถูกใช้กำหนดความยาวของส่วนประกอบต่างๆ ของงานศิลปะ และถูกใช้ในการเทียบเสียงเครื่องดนตรี ผลงานเพลงที่มีความเกี่ยวข้องกับจำนวนฟีโบนัชชี ได้แก่ เพลงสำหรับเครื่องสาย เครื่องประกอบจังหวะ และซีเลสตา ของ เบลา บาท็อก, และเพลงแลเทอราทัส ของวงทูล ซึ่งมีจำนวนพยางค์ในวรรคของเนื้อร้องเท่ากับจำนวนฟีโบนัชชี ("Black/Then/White are/All I see/In my infancy/Red and yellow then came to be")
อ้างอิง
- ↑ Lucas p. 3
- Ball, Keith M. (2003). "Chapter 8: Fibonacci's Rabbits Revisited". Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations. Princeton University Press. ISBN 0691113211.
- Lucas, Édouard (1891). Théorie des nombres. Vol. 1. Gauthier-Villars.