ผลต่างระหว่างรุ่นของ "ลำดับเลขคณิต"
Octahedron80 (คุย | ส่วนร่วม) |
Octahedron80 (คุย | ส่วนร่วม) |
||
บรรทัด 45: | บรรทัด 45: | ||
== ดูเพิ่ม == |
== ดูเพิ่ม == |
||
* [[การก้าวหน้าเรขาคณิต]] |
* [[การก้าวหน้าเรขาคณิต]] |
||
* [[อนุกรม]] |
|||
== แหล่งข้อมูลอื่น == |
== แหล่งข้อมูลอื่น == |
รุ่นแก้ไขเมื่อ 00:43, 9 มกราคม 2552
ในทางคณิตศาสตร์ การก้าวหน้าเลขคณิต (อังกฤษ: arithmetic progression) หรือ ลำดับเลขคณิต (อังกฤษ: arithmetic sequence) คือลำดับของจำนวนซึ่งมีผลต่างของสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกันในลำดับเป็นค่าคงตัว ตัวอย่างเช่น ลำดับ 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... เป็นการก้าวหน้าเลขคณิตที่มีผลต่างร่วมเท่ากับ 2
ถ้าหากพจน์เริ่มต้นของการก้าวหน้าเลขคณิตลำดับหนึ่งคือ a1 และมีผลต่างร่วมของสมาชิกที่อยู่ติดกันเท่ากับ d ดังนั้นพจน์ที่ n ของลำดับนี้คือ
หรือในกรณีทั่วไป จะได้
หรือเขียนได้ด้วยรูปแบบความสัมพันธ์เวียนเกิด
ผลรวม
ผลรวมของสมาชิกในการก้าวหน้าเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต (อังกฤษ: arithmetic series) ซึ่งสามารถนำเสนอได้สองแบบ ได้แก่
รวมสองสมการข้างต้นเข้าด้วยกัน ทุกพจน์ที่เกี่ยวข้องกับ d จะหายไป และเหลือเพียง
จัดรูปแบบใหม่ และในเมื่อเราทราบแล้วว่า ดังนั้นเราจะได้
มีเรื่องเล่ากันว่าเกาส์ได้ค้นพบสูตรนี้ เมื่อครูของเขาสั่งให้ทั้งห้องหาผลบวกของ 100 จำนวนแรก และเขาก็ตอบอย่างรวดเร็วว่า 5,050[ต้องการอ้างอิง]
ผลคูณ
ผลคูณของสมาชิกในการก้าวหน้าเลขคณิต โดยเริ่มตั้งแต่พจน์ a1 ไปถึง an ซึ่งมีผลต่างร่วมเท่ากับ d สามารถคำนวณได้จาก
โดยที่สัญลักษณ์ หมายถึงแฟกทอเรียลลำดับเพิ่ม (rising factorial) และ แทนฟังก์ชันแกมมา อย่างไรก็ตามสูตรนี้จะใช้งานไม่ได้เมื่อ เป็นจำนวนเต็มลบหรือศูนย์
นี่เป็นรูปแบบทั่วไป ซึ่งเกิดขึ้นจากการคูณสมาชิกของการก้าวหน้าเลขคณิต 1 × 2 × ... × n ที่ได้นิยามไว้แล้วในแฟกทอเรียล n! ดังนั้นผลคูณของลำดับนี้
จะมีค่าเท่ากับ
โดยที่ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก
อ้างอิง
- Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. pp. 259–260. ISBN 0-387-95419-8.