ลำดับเลขคณิต

ในทางคณิตศาสตร์ การก้าวหน้าเลขคณิต (อังกฤษ: arithmetic progression) หรือ ลำดับเลขคณิต (อังกฤษ: arithmetic sequence) คือลำดับของจำนวนซึ่งมีผลต่างของสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกันในลำดับเป็นค่าคงตัว ตัวอย่างเช่น ลำดับ 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... เป็นการก้าวหน้าเลขคณิตที่มีผลต่างร่วมเท่ากับ 2

ถ้าหากพจน์เริ่มต้นของการก้าวหน้าเลขคณิตลำดับหนึ่งคือ a₁ และมีผลต่างร่วมของสมาชิกที่อยู่ติดกันเท่ากับ d ดังนั้นพจน์ที่ n ของลำดับนี้คือ

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d\,\!$

หรือในกรณีทั่วไป จะได้

$a_{n}=a_{m}+(n-m)d\,\!$

หรือเขียนได้ด้วยรูปแบบความสัมพันธ์เวียนเกิด

$a_{n}=a_{n-1}+d\,\!$

ผลรวม

ผลรวมของสมาชิกในการก้าวหน้าเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต (อังกฤษ: arithmetic series) ซึ่งสามารถนำเสนอได้สองแบบ ได้แก่

$S_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\cdots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)$

$S_{n}=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\cdots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}$

รวมสองสมการข้างต้นเข้าด้วยกัน ทุกพจน์ที่เกี่ยวข้องกับ d จะหายไป และเหลือเพียง

$2S_{n}=n(a_{1}+a_{n})\,\!$

จัดรูปแบบใหม่ และในเมื่อเราทราบแล้วว่า $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ ดังนั้นเราจะได้

$S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}$

มีเรื่องเล่ากันว่าเกาส์ได้ค้นพบสูตรนี้ เมื่อครูของเขาสั่งให้ทั้งห้องหาผลบวกของ 100 จำนวนแรก และเขาก็ตอบอย่างรวดเร็วว่า 5,050

ผลคูณ

ผลคูณของสมาชิกในการก้าวหน้าเลขคณิต โดยเริ่มตั้งแต่พจน์ a₁ ไปถึง a_n ซึ่งมีผลต่างร่วมเท่ากับ d สามารถคำนวณได้จาก

$a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}=d^{n}{\frac {\Gamma \left(a_{1}/d+n\right)}{\Gamma \left(a_{1}/d\right)}}$

โดยที่สัญลักษณ์ $x^{\overline {n}}$ หมายถึงแฟกทอเรียลลำดับเพิ่ม (rising factorial) และ $\Gamma (x)$ แทนฟังก์ชันแกมมา อย่างไรก็ตามสูตรนี้จะใช้งานไม่ได้เมื่อ $a_{1}/d$ เป็นจำนวนเต็มลบหรือศูนย์

นี่เป็นรูปแบบทั่วไป ซึ่งเกิดขึ้นจากการคูณสมาชิกของการก้าวหน้าเลขคณิต 1 × 2 × ... × n ที่ได้นิยามไว้แล้วในแฟกทอเรียล n! ดังนั้นผลคูณของลำดับนี้

$m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n\,\!$

จะมีค่าเท่ากับ

${\frac {n!}{(m-1)!}}$

โดยที่ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก

ดูเพิ่ม

• การก้าวหน้าเรขาคณิต

แหล่งข้อมูลอื่น

• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Arithmetic progression" จากแมทเวิลด์.
• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Arithmetic series" จากแมทเวิลด์.