ลำดับเลขคณิต

ในทางคณิตศาสตร์ การก้าวหน้าเลขคณิต (อังกฤษ: arithmetic progression) หรือ ลำดับเลขคณิต (อังกฤษ: arithmetic sequence) คือลำดับของจำนวนซึ่งมีผลต่างของสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกันในลำดับเป็นค่าคงตัว ตัวอย่างเช่น ลำดับ 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... เป็นการก้าวหน้าเลขคณิตที่มีผลต่างร่วมเท่ากับ 2

ถ้าหากพจน์เริ่มต้นของการก้าวหน้าเลขคณิตลำดับหนึ่งคือ a₁ และมีผลต่างร่วมของสมาชิกที่อยู่ติดกันเท่ากับ d ดังนั้นพจน์ที่ n ของลำดับนี้คือ

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d\,\!$

หรือในกรณีทั่วไป จะได้

$a_{n}=a_{m}+(n-m)d\,\!$

อนุกรมเลขคณิต

ผลรวมของสมาชิกในการก้าวหน้าเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต (อังกฤษ: arithmetic series) ซึ่งสามารถนำเสนอได้สองแบบ ได้แก่

$S_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\dots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)$

$S_{n}=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\dots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}$

รวมสองสมการข้างต้นเข้าด้วยกัน ทุกพจน์ที่เกี่ยวข้องกับ d จะหายไป และเหลือเพียง

$2S_{n}=n(a_{1}+a_{n})\,\!$

จัดรูปแบบใหม่ และในเมื่อเราทราบแล้วว่า $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ ดังนั้นเราจะได้

$S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}$

มีเรื่องเล่ากันว่าเกาส์ได้ค้นพบสูตรนี้ เมื่อครูของเขาสั่งให้ทั้งห้องหาผลบวกของ 100 จำนวนแรก และเขาก็ตอบอย่างรวดเร็วว่า 5,050

ดูเพิ่ม

• การก้าวหน้าเรขาคณิต

แหล่งข้อมูลอื่น

• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Arithmetic progression" จากแมทเวิลด์.
• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Arithmetic series" จากแมทเวิลด์.