ทรงหลายหน้า

ทรงหลายหน้า (อังกฤษ: polyhedron, พหูพจน์: polyhedra) หมายถึง วัตถุทางเรขาคณิตที่ประกอบด้วยหน้าเรียบและขอบตรง

ทรงหลายหน้าเป็นที่น่าหลงใหลของมนุษยชาติมาตั้งแต่ยุคก่อนประวัติศาสตร์ ซึ่งได้ศึกษาอย่างเป็นกิจลักษณะโดยชาวกรีกโบราณ ต่อเนื่องมาจนถึงนักเรียน นักคณิตศาสตร์ และศิลปินทุกวันนี้ คำว่า polyhedron มาจากภาษากรีก πολυεδρον โดยที่ poly- มาจาก πολυς แปลว่า "มากมาย" และ -edron มาจาก εδρον แปลว่า "ฐาน, ที่นั่ง, หน้า"

อะไรคือทรงหลายหน้า

ทรงหลายหน้าถูกสร้างขึ้นมาจากความแตกต่างในองค์ประกอบหรือเอกลักษณ์ ซึ่งมีความเกี่ยวเนื่องกับจำนวนที่แตกต่างบนมิติ (dimension) ดังเช่น

• 3 มิติ: วัตถุ (body) ที่ถูกปิดล้อมด้วยหน้าหลายหน้า และมักจะมีปริมาตร (volume) อยู่ข้างใน
• 2 มิติ: หน้า (face) ที่ถูกปิดล้อมด้วยขอบเขตเส้นตรง และมักจะเป็นพื้นราบที่เรียกว่ารูปหลายเหลี่ยม (polygon) เมื่อหลายๆ หน้ารวมกันทำให้เกิดผิวหน้า (surface) ของทรงหลายหน้า
• 1 มิติ: ขอบ (edge) ที่เชื่อมระหว่างจุดยอดหนึ่งกับจุดยอดอื่น และมักจะเป็นเส้นตรง เมื่อหลายๆ ขอบรวมกันทำให้เกิดโครงสร้าง (skeleton) ของทรงหลายหน้า
• 0 มิติ: จุดยอด (vertex, พหูพจน์: vertices) คือจุดปลายของทรงหลายหน้า
• -1 มิติ: ความว่างเปล่า (nullity) องค์ประกอบชนิดหนึ่งที่ใช้อธิบายทฤษฎีเชิงนามธรรม

ทรงหลายหน้าเป็นตัวอย่างที่เป็นสามมิติของโพลีโทป (polytope) ที่มีจำนวนมิติใดๆ

ลักษณะเฉพาะ

ชื่อของทรงหลายหน้า

ทรงหลายหน้ามักจะถูกตั้งชื่อตามจำนวนหน้า โดยใช้ระบบเลขในภาษากรีกเป็นพื้นฐาน ตัวอย่างเช่น ทรงสี่หน้า (tetrahedron), ทรงห้าหน้า (pentahedron), ทรงหกหน้า (hexahedron), ทรงเจ็ดหน้า (heptahedron), ทรงสามสิบหน้า (triacontahedron) เป็นต้น และมักจะมีการอธิบายชนิดของหน้าบนทรงหลายหน้านั้น เช่น ทรงสิบสองหน้าสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน (rhombic dodecahedron) กับ ทรงสิบสองหน้าห้าเหลี่ยม (pentagonal dodecahedron) เป็นต้น

แต่ก็มีทรงหลายหน้าพิเศษบางชนิดซึ่งมีชื่อเรียกมานานแล้ว เช่น สัตว์ประหลาดของมิลเลอร์ (Miller's monster) หรือ ทรงหลายหน้าซิแลสซี (Szilassi polyhedron) เป็นต้น

ขอบ

ขอบของทรงหลายหน้ามีลักษณะเฉพาะที่สำคัญสองอย่าง ได้แก่

• ขอบหนึ่งขอบจะเชื่อมต่อระหว่างจุดยอดสองจุดเท่านั้น
• ขอบหนึ่งขอบเป็นตัวเชื่อมระหว่างหน้าสองหน้าเท่านั้น

ลักษณะเฉพาะออยเลอร์

ลักษณะเฉพาะออยเลอร์ (Euler characteristic) แทนด้วยอักษรกรีก ไค ตัวเล็ก (χ) ซึ่งสัมพันธ์กับจำนวนจุดยอด V ขอบ E และหน้า F ของทรงหลายหน้า

$\chi =V-E+F$

ทรงหลายหน้าอย่างง่าย เช่น ทรงตันเพลโต (Platonic solid) จะมีลักษณะเฉพาะออยเลอร์เท่ากับ 2 เป็นต้น

ภาวะคู่กัน

ภาวะคู่กัน (duality) จะปรากฏในทรงหลายหน้าทุกรูปทรง และเรียกรูปทรงที่คู่กันว่า ทรงหลายหน้าคู่กัน (dual polyhedron) ซึ่งเป็นรูปทรงที่แทนจุดยอดด้วยหน้า และแทนหน้าด้วยจุดยอดไปเป็นอีกรูปทรงหนึ่ง ส่วนใหญ่ทรงหลายหน้าคู่กันสามารถสร้างได้จากกระบวนการการแลกเปลี่ยนเชิงทรงกลม หรือการตัดปลาย (truncation) ของทรงหลายหน้านั้น

ภาพจุดยอด

สำหรับทุกๆ จุดยอด เราสามารถสร้างภาพจุดยอด (vertex figure) โดยการลากเส้นที่จุดยอดอื่น ซึ่งเชื่อมต่อรอบจุดยอดที่เราพิจารณา ให้เป็นรูปร่างขึ้นมา

แหล่งข้อมูลอื่น

• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Polyhedron" จากแมทเวิลด์.
• Making Polyhedra
• Polyhedra Pages
• Stella: Polyhedron Navigator - Software for exploring polyhedra and printing nets for their physical construction. Includes uniform polyhedra, stellations, compounds, Johnson solids, etc.
• The Uniform Polyhedra
• Virtual Reality Polyhedra - The Encyclopedia of Polyhedra
  • Polyhedra and Pyramids
• Paper Models of Polyhedra Many links
• Paper Models of Uniform (and other) Polyhedra
• Interactive 3D polyhedra in Java
• World of Polyhedra - Comprehensive polyhedra in flash applet, showing vertices and edges (but not shaded faces)
• Polyhedra software, die-cast models, & posters
• Electronic Geometry Models - Contains a peer reviewed selection of polyhedra with unusual properties
• Symmetry, Crystals and Polyhedra
• uniform solution for uniform polyhedra by Dr. Zvi Har'El
• Java applet with the use of kaleido
• Origami Polyhedra - Models made with Modular Origami
• Polyhedra Collection - Various virtual and physical polyhedra models