สเตอเรเดียน

มุมในทรงตันขนาด 1 สเตอเรเดียน

สเตอเรเดียน (อังกฤษ: steradian) คือหน่วยวัดมุมในวัตถุทรงตันชนิดหนึ่ง ใช้อธิบายขนาดของการวาดมุมแบบสองมิติ บนปริภูมิสามมิติ ในแนวความคิดเดียวกับการวัดมุมบนระนาบสองมิติของเรเดียน ชื่อของ สเตอเรเดียน มาจากภาษากรีก stereos แปลว่า ตัน สเตอเรเดียนยังเป็นหน่วยอนุพัทธ์เอสไอ และใช้สัญลักษณ์ "sr"

สเตอเรเดียนนั้นเป็นหน่วยที่ไร้มิติ เช่น 1 sr = m²·m^-2 = 1 แต่ก็ควรใส่หน่วย "sr" ไว้เพื่อให้มีความแตกต่างจากหน่วยอนุพัทธ์ที่ไร้มิติอื่นๆ หรือไม่มีเลย ก็คือพื้นที่ของรูปที่เห็นหารด้วยพื้นที่ทั้งหมดของพื้นที่ที่เห็น

นิยาม

หนึ่งสเตอเรเดียน คือ ขนาดของมุมในทรงตันที่วัดจากจุดศูนย์กลางของทรงกลมที่มีรัศมียาว r ที่กวาดไปบนพื้นที่ผิวของทรงกลมนั้น เป็นพื้นที่เท่ากับ r²

ภาพตัดตามยาวของกรวยและหมวกของทรงกลม บนพื้นที่ผิว A

ถ้าสมมติให้ A มีพื้นที่เท่ากับ r² ที่อยู่บนหมวกของทรงกลมซึ่งมีพื้นที่ผิวเท่ากับ 2πrh
เราจะได้ความสัมพันธ์คือ h/r = 1/2π ดังนั้นมุมในทรงตันของกรวยที่อยู่ภายในจะกวาดมุมออกไปเท่ากับ θ ดังนี้

${\begin{aligned}\theta &=\cos ^{-1}\left({\frac {r-h}{r}}\right)\\&=\cos ^{-1}\left(1-{\frac {h}{r}}\right)\\&=\cos ^{-1}\left(1-{\frac {1}{2\pi }}\right)\approx 0.572\,rad{\mbox{ or }}32.77^{\circ }\end{aligned}}$

ซึ่งค่ามุมนี้แสดงให้เห็นว่าจุดยอดของกรวยนั้นกางออก 2θ ≈ 1.144 rad หรือ 65.54° เนื่องจากพื้นที่ผิวของทรงกลมนั้นมีค่า 4πr² ดังนั้นมุมในทรงตันของทรงกลมจึงมีค่า 4π ≈ 12.56637 สเตอเรเดียน และมุมในทรงตันที่มากที่สุดที่เป็นไปได้ก็คือ 4π สเตอเรเดียนนั่นเอง สเตอเรเดียนสามารถเรียกอีกอย่างหนึ่งได้ว่า ตารางเรเดียน

หนึ่งสเตอเรเดียนยังมีค่าเท่ากับพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมบนพื้นผิวทรงกลมที่มีมุมเกิน 1 เรเดียน หรือเท่ากับพื้นที่ 1/4π ของพื้นที่ผิวทรงกลม หรือเท่ากับ (180/π)² ≈ 3282.80635 ตารางองศา

เราสามารถหาสูตรของมุมตัน (ในหน่วยสเตอเรเดียน) ที่เกิดจากภาคตัดขวางของรูปทรงกรวย ที่รองรับมุมเรเดียน 2θ ได้ดังนี้

${\begin{aligned}\Omega &={\frac {A}{r}}\\&={\frac {2\pi rh}{r^{2}}}\\&={\frac {2\pi h}{r}}\\\end{aligned}}$

จะได้

${\frac {h}{r}}={\frac {\Omega }{2\pi }}$

${\begin{aligned}\theta &=\cos ^{-1}\left({\frac {r-h}{r}}\right)\\&=\cos ^{-1}\left(1-{\frac {h}{r}}\right)\\&=\cos ^{-1}\left(1-{\frac {\Omega }{2\pi }}\right)\\\cos \theta =1-{\frac {\Omega }{2\pi }}\\\end{aligned}}$

$\Omega =2\pi (1-\cos \theta )\quad$

ถ้าให้มุมที่จุดยอดของกรวยเป็น θ สมการความสัมพันธ์ดังกล่าวจะเป็น

$\Omega =2\pi (1-\cos {\frac {\theta }{2}})\quad$

ความคล้ายคลึงกับหน่วยเรเดียน

ในสองมิติ มุมเรเดียนมีความสัมพันธ์กับส่วนของเส้นโค้งที่รองรับดังนี้

$\theta ={\frac {l}{r}}\,$

เมื่อ

l แทนส่วนของเส้นโค้ง

r แทนรัศมีของวงกลม

ในสามมิติ มุมตันในหน่วยสเตอเรเดียนมีความสัมพันธ์กับพื้นที่ที่รองรับดังนี้

$\Omega ={\frac {S}{r^{2}}}\,$

เมื่อ

S แทนพื้นที่ผิว

r แทนรัศมีของทรงกลม

พหุคูณของเอสไอ

มุมสเตอเรเดียนมีค่าสูงสุดเพียงแค่ 4π ≈ 12.56637 ดังนั้นหน่วยสเตอเรเดียนจึงไม่ต้องอาศัยตัวคูณให้มากขึ้น แต่สำหรับตัวหารแล้ว เราสามารถเปรียบเทียบขนาดของพหุคูณเอสไอของสเตอเรเดียนได้ดังนี้

พหุคูณ	ชื่อ	สัญลักษณ์	ขนาดเมื่อเทียบกับโลก
101	เดคาสเตอเรเดียน	dasr	ใหญ่กว่าพื้นน้ำทั้งหมดบนโลกเล็กน้อย
100	สเตอเรเดียน	sr	ประมาณทวีปเอเชีย
10−1	เดซิสเตอเรเดียน	dsr	พื้นที่ของอาร์เจนตินารวมกับเปรู
10−2	เซนติสเตอเรเดียน	csr	พื้นที่ของโคลัมเบีย
10−3	มิลลิสเตอเรเดียน	msr	พื้นที่ของสวิตเซอร์แลนด์
10−6	ไมโครสเตอเรเดียน	µsr	พื้นที่ของแซนตามอนิกา (รัฐแคลิฟอร์เนีย)
10−9	นาโนสเตอเรเดียน	nsr	พื้นที่ของสนามอเมริกันฟุตบอล 8 สนาม
10−12	พิโคสเตอเรเดียน	psr	พื้นที่ของอพาร์ตเมนต์ขนาดเล็ก
10−15	เฟมโตสเตอเรเดียน	fsr	พื้นที่ของกระดาษ A5
10−18	อัตโตสเตอเรเดียน	asr	พื้นที่ขนาด ¼ ตารางนิ้ว
10−21	เซปโตสเตอเรเดียน	zsr	พื้นที่หน้าตัดของสายไฟเบอร์ 32
10−24	ยอกโตสเตอเรเดียน	ysr	พื้นที่ผิวของเซลล์เม็ดเลือดแดง