Lagged Fibonacci Generator

Lagged Fibonacci generator (LFG) เป็นตัวอย่างของ pseudo-random number generator (หนึ่งในคลาสของ random number generator) ในคลาสของ random number generator นั้นมีเป้าหมายเพื่อที่จะปรับปรุงและพัฒนาบนพื้นฐานของ linear congruential generator ซึ่งทั้งหมดเหล่านี้ก็อยู่บนพื้นฐานของลำดับของ Fibonacci (Fibonacci Sequence)

ลำดับของ Fibonacci สามารถเขียนอยู่ในรูปแบบของความสัมพันธ์แบบเวียนเกิด (recurrence relation) ได้ดังนี้

S_n = S_{n − 1}+ S_{n − 2}

จากความสัมพันธ์ที่เขียนอยู่ในรูปสมการข้างต้นนั้น เห็นได้ว่าพจน์ใหม่เกิดขึ้นจากผลรวมของสองพจน์ก่อนหน้าในลำดับ ซึ่งสามารถทำให้อยู่ในรูปแบบของลำดับทั่วไปได้ดังนี้

S_n = S_n-j * S_n-k ( mod m ), 0<j<k

จากลำดับที่แสดงนี้เห็นได้ว่าพจน์ใหม่ที่เกิดขึ้นจากสองพจน์ใด ๆ ก่อนหน้ามากระทำการทางคณิตศาสตร์ อธิบายจากสมการของลำดับทั่วไปด้านบน - m คือตัวแปรที่ โดยส่วนใหญ่จะอยู่ในรูปของยกกำลังของ 2 (m = 2^m; ตัวอย่างเช่น 2³² หรือ 2⁶⁴) - * คือเครื่องหมายตัวกระทำการที่ใช้ในระบบของเลขฐานสอง ซึ่งอาจจะเป็นเครื่องหมาย การบวก การลบ การคูณ หรือเครื่องหมายทางตรรกศาสตร์เช่น XOR ( Exclusive-OR)

จะเห็นได้ว่าจากทฤษฎีนี้ค่อนข้างซับซ้อนและการเลือกค่าสุ่มของ j และ k ก็ไม่ใช่เรื่องง่ายและยังมีแนวโน้มที่จะเกิดความยุ่งยากได้อีกด้วย

ถ้าเครื่องหมาย * เป็นการบวกก็จะเรียกว่า Additive Lagged Fibonacci Generator หรือ ALFG ถ้าเครื่องหมาย * เป็นการคูณก็จะเรียกว่า Multiplicative Lagged Fibonacci Generator หรือ MLFG ถ้าเครื่องหมาย * เป็น XOR ก็จะเรียกว่า Two-tap generalised feedback shift register or GFSR ( ซึ่ง Mersenne twister algorithm ก็ใช้ GFSR ในขั้นตอนของการแก้ปัญหา )

คุณสมบัติของ lagged Fibonacci generators

Lagged Fibonacci generators นั้นมีข้อจำกัดของค่าที่มากที่สุดคือ (2^k - 1)*2^M-1 ถ้าเป็นในกรณีของการบวกและการลบ และ (2^k-1)*k ถ้าเป็นการ XOR กันของค่าใด ๆ ก่อนหน้า ส่วนช่วงของการคูณนั้น คือ (2^k - 1)*2^M-3 หรือ 1/4 ของการบวก

เพื่อความง่ายต่อการเข้าใจ สามารถเขียนอยู่ในรูปพหุนามได้ดังนี้

y = x^k + x^j + 1

จากสมการพุนามเบื้องต้นต้องเป็นเลขจำนวนเต็มที่ mod ด้วยสอง ส่วนค่าของ j และ k ที่เป็นที่นิยมใช้กันและถูกตีพิมพ์ลงในตำราทางวิชาการเช่น

{j = 7, k = 10}, {j = 5, k = 17}, {j = 24, k = 55}, {j = 65, k = 71}, {j = 128, k = 159} ^[1], {j = 6, k = 31}, {j = 31, k = 63}, {j = 97, k = 127}, {j = 353, k = 521}, {j = 168, k = 521}, {j = 334, k = 607}, {j = 273, k = 607}, {j = 418, k = 1279} ^[2]

จะเห็นได้ว่าจำนวนที่มีขนาดเล็กจะมีช่วงที่สั้น และจะมีเพียงไม่กี่จำนวนที่เป็นจำนวนสุ่มที่สร้างขึ้น ก่อนจำนวนสุ่มตัวแรกที่จะนำมาใช้อีกในลำดับใหม่

มันคือสิ่งจำเป็นอย่างน้อยหนึ่งค่าของค่า k ตัวแรกที่ถูกเลือกเพื่อเป็นค่าเริ่มต้นเป็นจำนวนคี่

ค่าอัตราส่วนระหว่าง j และ k ที่ควรจะอยู่ในช่วงของอัตราส่วนทอง (golden ratio).^[3]

ปัญหาของ LFGs

การเริ่มต้นของปัญหา LFG นั้นค่อนข้างซับซ้อน และช่วงของค่าสูงสุดใดๆของ LFG มีจำนวนของลำดับที่เป็นไปได้ที่แตกต่างกันมากมาย แต่การทำเช่นนี้อาจเป็นผลเสียต่อผลที่เกิดขึ้นตามมา อีกประการหนึ่งค่าผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นของลำดับ LFG ค่อนข้างจะไวต่อเงื่อนไขเริ่มต้นรวมถึงข้อบกพร่องทางสถิติที่อาจเกิดขึ้นแต่ก็เกิดขึ้นเป็นบางช่วงของผลลัพธ์ของลำดับ เว้นแต่มีการรองรับที่จะแก้ไขปัญหาที่อาจเกิดขึ้น อีกปัญหาที่อาจเกิดขึ้นกับ LFGs เป็นที่ทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่ไม่สมบูรณ์ทำให้จำเป็นที่จะต้องพึ่งพาการทดสอบทางสถิติมากกว่าประสิทธิภาพทางทฤษฎี ด้วยเหตุผลเหล่านี้ รวมทั้งมีขั้นตอนวิธีของ Mersenne twister ( Mersenne twister algorithm ) ที่มีประสิทธิภาพจึงมีแนวโน้มที่ขั้นตอนวิธีอื่นที่เหนือกว่าจะถูกเลือก

รหัสเทียมของ LFGs

ตัวอย่างของรหัสในภาษา C++

sub lfib{
   my ($m, $r, $k, $op, $seed) = @_;
   my (@x, $i);
   srand($seed ||time); #initialise state with rand
   for (0 .. $r){
       push @x, int(rand($m));
   }
   my $fn = "sub {
       \$i = (\$i + 1) % $r;
       \$x[\$i] = (\$x[\$i]  $op  \$x[(\$i-$k) % $r]) % $m;
       (shift || 1.0) * \$x[\$i] / $m;
   }\n";
   return eval($fn);
}

$rand = lfib(2**48, 607, 273, '+');  #additive LFib, period 2 ** 638
$rand2 = lfib(2**64, 1279, 861, '*');#multiplicative LFib, period 2 ** 1340

print &$rand(100) . "\n" . &$rand2() ."\n";

ตัวอย่างของรหัสในภาษาจาวา

public int getRandom(){
     Random generator = new Random();
       int j = generator.nextInt(90);
       int k = generator.nextInt(90);
       int max = Math.max(j, k);
       int min = Math.min(j, k);

  //Fibo is an array that contain Fibonacci's serie
     long rnd = (fibo[min] + fibo[max])%6 + 1;
     return (int)rnd;
}

การนำไปใช้

Freeciv ใช้ lagged Fibonacci generator โดยใช้ค่า {j = 24, k = 55} ในการ random number generator
The Boost library กล่าวถึงการใช้และการดำเนินการของ lagged Fibonacci generator
The Oracle Database ได้นำ LFG ไปใช้ใน DBMS_RANDOM package (available in Oracle 8 and newer versions)
.NET CLR ได้นำ lagged Fibonacci generator ไปใช้ใน System.Random generator (http://msdn.microsoft.com/en-us/library/system.random.aspx)

แหล่งข้อมูลอื่นๆ

อ้างอิง

↑ [1] เก็บถาวร 2004-03-09 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
↑ [2] เก็บถาวร 2010-06-14 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
↑ "Uniform random number generators for supercomputers", Richard Brent, Proc. of Fifth Australian Supercomputer Conference, Melbourne, Dec. 1992, pp. 704-706

http://neohumanism.org/l/la/lagged_fibonacci_generator.html

[1] [1] เก็บถาวร 2004-03-09 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน

[2] [2] เก็บถาวร 2010-06-14 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน

[3] "Uniform random number generators for supercomputers", Richard Brent, Proc. of Fifth Australian Supercomputer Conference, Melbourne, Dec. 1992, pp. 704-706

[1]

[2]

[3]