โอเมกา (ค่าคงตัว)

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

โอเมกา (Omega: Ω; ขึ้นต้นตัวใหญ่) เป็นค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ที่นิยามขึ้นจาก

\Omega \, \exp (\Omega) = 1\!

ค่านี้ได้มาจาก W (1) ซึ่ง W คือฟังก์ชันดับเบิลยูของแลมเบิร์ต (Lambert W function) ซึ่งชื่อของค่าคงตัวนี้มาจากอีกชื่อหนึ่งของฟังก์ชันคือ ฟังก์ชันโอเมกา

Ω มีค่าประมาณ 0.5671432904097838729999686622 (ลำดับ OEISA030178) มีสมบัติว่า

e^{-\Omega} = \Omega\!

หรือเทียบเท่ากับ

\ln \Omega^{-1} = \Omega\!

เราสามารถคำนวณ Ω ด้วยวิธีการวนซ้ำ โดยสมมติ Ω0 ขึ้นมาค่าหนึ่ง แล้วใช้ลำดับนี้วนซ้ำ

\Omega_{n+1} = e^{-\Omega_n}\!

ลำดับนี้จะลู่เข้าค่า Ω เมื่อ n มีค่าเข้าใกล้อนันต์

ความเป็นอตรรกยะและอดิศัย[แก้]

Ω สามารถพิสูจน์ว่าเป็นจำนวนอตรรกยะ จากข้อเท็จจริงว่า e เป็นจำนวนอดิศัย โดยการพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง

ถ้าหาก Ω เป็นจำนวนตรรกยะ จะต้องมีจำนวนเต็ม p และ q ที่ทำให้สามารถเขียนอยู่ในรูปเศษส่วนได้

\frac{p}{q} = \Omega

ซึ่งทำให้

1 = \frac{p e^{\left( \frac{p}{q} \right)}}{q}
e = \left( \frac{q}{p} \right)^{\left( \frac{q}{p} \right)} = \sqrt[p]{\frac{q^q}{p^q}}

ดังนั้น e ควรจะเป็นจำนวนเชิงพีชคณิตดีกรี p แต่ในเมื่อ e เป็นจำนวนอดิศัย (ไม่เป็นจำนวนเชิงพีชคณิต) จึงสรุปได้ว่า Ω เป็นจำนวนอตรรกยะ (ไม่เป็นจำนวนตรรกยะ)

Ω ก็เป็นจำนวนอดิศัยตามผลสืบเนื่องจากทฤษฎีบทลินเดอมันน์-ไวเออร์ชตรัสส์ เพราะถ้าหาก Ω เป็นจำนวนเชิงพีชคณิต แต่ exp (Ω) เป็นจำนวนอดิศัยเช่นเดียวกับ exp−1 (Ω) ซึ่งขัดกับสมมติฐานในตอนต้นว่ามันเป็นจำนวนเชิงพีชคณิต

ดูเพิ่ม[แก้]

แหล่งข้อมูลอื่น[แก้]