โครงสร้างเชิงพีชคณิต

ในคณิตศาสตร์ โครงสร้างเชิงพีชคณิต (อังกฤษ: algebraic structure) หรือ ระบบเชิงพีชคณิต (อังกฤษ: algebraic system) คือโครงสร้างที่ประกอบด้วยเซตที่ไม่ว่างเปล่า A (ซึ่งเรียกว่า เซตพื้นฐาน) ชุดของการดำเนินการบน A (โดยทั่วไปมักเป็นการดำเนินการทวิภาค เช่น การบวกและการคูณ) และเซตจำกัดของเอกลักษณ์ (ซึ่งเรียกว่า สัจพจน์) ที่การดำเนินการเหล่านี้ต้องเป็นไปตามนั้น

โครงสร้างเชิงพีชคณิตหนึ่งอาจตั้งอยู่บนโครงสร้างเชิงพีชคณิตอื่น ๆ โดยมีการดำเนินการและสัจพจน์ที่เกี่ยวข้องกับหลายโครงสร้าง ตัวอย่างเช่น ปริภูมิเวกเตอร์เกี่ยวข้องกับโครงสร้างอีกชนิดหนึ่งที่เรียกว่า ฟีลด์ และมีการดำเนินการที่เรียกว่า การคูณสเกลาร์ (scalar multiplication) ระหว่างสมาชิกของฟีลด์ (เรียกว่า สเกลาร์) กับสมาชิกของปริภูมิเวกเตอร์ (เรียกว่า เวกเตอร์)

พีชคณิตนามธรรม เป็นชื่อที่ใช้เรียกโดยทั่วไปสำหรับการศึกษาวิจัยเกี่ยวกับโครงสร้างเชิงพีชคณิต ทฤษฎีทั่วไปของโครงสร้างเชิงพีชคณิตได้รับการทำให้เป็นรูปนัยในสาขาที่เรียกว่า พีชคณิตสากลลักษณ์ ส่วนทฤษฎีแคทิกอรีเป็นอีกแนวทางหนึ่งของการทำให้เป็นรูปนัย ซึ่งครอบคลุมโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ชนิดอื่น ๆ รวมทั้งฟังก์ชันระหว่างโครงสร้างชนิดเดียวกัน (เรียกว่า สาทิสสัณฐาน) ด้วย

ในพีชคณิตสากลลักษณ์ โครงสร้างเชิงพีชคณิตจะถูกเรียกว่า พีชคณิต (algebra) อย่างไรก็ตาม คำนี้อาจก่อให้เกิดความกำกวมได้ เพราะในบริบทอื่น ๆ คำว่า พีชคณิต อาจหมายถึงโครงสร้างเชิงพีชคณิตที่เป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟีลด์หรือเป็นโมดูลเหนือริงสลับที่ก็ได้

กลุ่มรวมของโครงสร้างทั้งหมดที่มีชนิดเดียวกัน (กล่าวคือ มีการดำเนินการและกฎเหมือนกัน) เรียกว่า วาไรตี (variety) ในพีชคณิตสากลลักษณ์ อย่างไรก็ตาม คำนี้ยังถูกใช้ในความหมายที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิงในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต โดยเป็นคำย่อของ วาไรตีเชิงพีชคณิต (algebraic variety) ในทฤษฎีแคทิกอรี กลุ่มรวมของโครงสร้างทั้งหมดชนิดเดียวกัน พร้อมทั้งสาทิสสัณฐานระหว่างโครงสร้างเหล่านั้น จะก่อให้เกิดสิ่งที่เรียกว่า แคทิกอรีรูปธรรม (concrete category)