แคลคูลัส

บทความนี้เกี่ยวกับสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ สำหรับความหมายอื่น ดูที่ แคลคูลัส (แก้ความกำกวม)

แคลคูลัส (อังกฤษ: calculus) เป็นการศึกษาเชิงคณิตศาสตร์ว่าด้วยการเปลี่ยนแปลงต่อเนื่องและศาสตร์ตั้งต้นหลักสำคัญของคณิตวิเคราะห์สมัยใหม่ เดิมเรียกการศึกษานี้ว่า แคลคูลัสกณิกนันต์ (อังกฤษ: infinitesimal calculus, calculus of infinitesimals) ซึ่งมีสองสาขาหลักคือแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์เป็นการศึกษาว่าด้วยอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะหนึ่งและความชันของเส้นโค้ง ส่วนแคลคูลัสเชิงปริพันธ์เป็นการศึกษาว่าด้วยปริมาณสะสมและพื้นที่ใต้หรือระหว่างเส้นโค้ง ทั้งสองสาขาต่างมีความเกี่ยวข้องกันจากทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส แคลคูลัสใช้การลู่เข้าของลำดับอนันต์และอนุกรมอนันต์เพื่อนิยามลิมิตเชิงคณิตศาสตร์ได้อย่างชัดเจน

แคลคูลัสถือเป็น "แกนสันหลังของคณิตศาสตร์" ("mathematical backbone") สำหรับการแก้ข้อปัญหาการเปลี่ยนแปลงของปริมาณที่แปรผันได้ตามเวลาหรือตามค่าที่ใช้อ้างอิงหนึ่ง ๆ อีกทั้งเรียกว่าเป็น "เครื่องมือพื้นฐานของวิทยาศาสตร์กายภาพ" ("the basic instrument of physical science")

ในช่วงปลายศตวรรษที่ 17 ไอแซก นิวตันและก็อทฟรีท วิลเฮ็ล์ม ไลบ์นิทซ์พัฒนาแคลคูลัสกณิกนันต์ขึ้นโดยเป็นอิสระจากกัน ผลงานต่อมาได้แก่ การกำหนดกฎเกณฑ์แนวคิดของลิมิต ผลักดันให้การศึกษาแคลคูลัสมีฐานรากเชิงแนวคิดที่มั่นคงขึ้น แนวคิดและเทคนิคของแคลคูลัสมีการประยุกต์ใช้อย่างกว้างขวางในวิทยาศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ และสาขาอื่นของคณิตศาสตร์อีกมาก

ศัพทมูลวิทยา

ในภาษาละติน คำว่า calculus หมายถึง "กรวด" ซึ่งความหมายนี้ยังคงหลงเหลืออยู่ในทางการแพทย์ปัจจุบัน เนื่องจากชาวโรมันใช้กรวดเป็นตัวนับบนลูกคิดแบบกระดานนับ ชาวโรมันจึงเรียกการนับนี้ว่า "การวางกรวด" (calculos ponere) และสามารถชำระบัญชีโดย "เรียกใครสักคนมาที่กรวด" (vocare aliquem ad calculos) คำกริยาภาษาละติน calculare ปรากฏขึ้นราว ค.ศ. 400 ในประเทศสเปน คำว่า calculate ในภาษาอังกฤษใช้ในความหมายดังกล่าวอย่างน้อยตั้งแต่ ค.ศ. 1672 เป็นเวลาหลายปีก่อนไลบ์นิทซ์และนิวตันตีพิมพ์ผลงานของตน ซึ่งทั้งสองเขียนตำราคณิตศาสตร์เป็นภาษาละติน

นอกจากในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และแคลคูลัสเชิงปริพันธ์แล้ว คำว่า calculus ยังใช้ตั้งชื่อวิธีคำนวณหรือทฤษฎีเฉพาะที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณอีกด้วย ตัวอย่างการใช้งานได้แก่ แคลคูลัสเชิงประพจน์ แคลคูลัสริตชี แคลคูลัสของการแปรผัน แคลคูลัสแลมบ์ดา แคลคูลัสลำดับ และแคลคูลัสกระบวนการ อีกทั้งคำว่า calculus ยังใช้ในจริยศาสตร์และปรัชญาเพื่อหมายถึงระบบ อาทิ แคลคูลัสความชอบของเจเรมี เบนเทิม (Jeremy Bentham) และแคลคูลัสเชิงจริยธรรม

แนวคิดหลักและสัญกรณ์พื้นฐาน

แคลคูลัสมีการกำหนดแนวคิดนัยทั่วไปจากเรขาคณิตและพีชคณิต ตัวอย่างอาทิ แทนการบรรยายเพียงความชันของเส้นตรง แคลคูลัสสามารถบรรยายการความชันที่เปลี่ยนแปลงของเส้นโค้งที่ซับซ้อนได้ ในมูลฐานของเรขาคณิตมีการกำหนดสูตรสำหรับคำนวณพื้นที่ของรูปร่าง อาทิ รูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยม และรูปหลายเหลี่ยมอื่น แต่แคลคูลัสกำหนดวิธีหาพื้นที่ของรูปร่างที่ขอบสามารถบรรยายได้ด้วยสมการหรือสูตรที่ซับซ้อน ในมูลฐานของพีชคณิต เราสามารถคำนวณระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงตัว ขณะที่แคลคูลัสสามารถคำนวณระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้แม้ความเร็วแปรผันได้ตามเวลา

ลิมิตและปริมาณกณิกนันต์

บทความหลัก: ลิมิตของฟังก์ชัน และ กณิกนันต์

แคลคูลัสโดยปกติได้รับการพัฒนาอาศัยการศึกษากับปริมาณที่มีขนาดเล็กยิ่ง ในทางประวัติศาสตร์ วิธีแรกที่ใช้ในการทำเช่นนี้คือแนวคิดของปริมาณกณิกนันต์ (infinitesimal) ซึ่งเป็นวัตถุที่สามารถปฏิบัติต่อคล้ายกับจำนวนจริง แต่ในแง่หนึ่งแล้ว ปริมาณกณิกนันต์มีขนาด "เล็กอย่างไม่มีที่สิ้นสุด" ตัวอย่างอาทิ จำนวนกณิกนันต์สามารถมีค่ามากกว่า 0 แต่มีค่าน้อยกว่าทุกจำนวนในลำดับ 1, 1/2, 1/3, ... ดังนั้นจำนวนนี้จึงมีค่าน้อยกว่าทุกจำนวนจริงบวก จากมุมมองนี้ แคลคูลัสถือเป็นชุดเทคนิคสำหรับการจัดกระทำปริมาณกณิกนันต์

$x$	${\frac {\sin x}{x}}$
1	0.841471...
0.1	0.998334...
0.01	0.999983...

สมมุติว่ามีฟังก์ชันหนึ่ง อาทิ อัตราส่วน ⁠${\tfrac {\sin x}{x}}$⁠ ซึ่งไม่นิยามที่ ⁠$x$⁠ เท่ากับศูนย์ แต่เมื่อ ⁠$x$⁠ เข้าใกล้ศูนย์มากขึ้นและมากขึ้น ⁠${\tfrac {\sin x}{x}}$⁠ จะเริ่มเข้าใกล้ 1 มากขึ้นเช่นกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลิมิตของ ⁠${\tfrac {\sin x}{x}}$⁠ เมื่อ ⁠$x$⁠ เข้าใกล้ศูนย์ เท่ากับ 1

แนวทางของปริมาณกณิกนันต์เริ่มเสื่อมความนิยมลงในคริสต์ศตวรรษที่ 19 เพราะเป็นการยากที่จะกำหนดความหมายของปริมาณกณิกนันต์ให้มีความแม่นยำและความเคร่งครัดทางคณิตศาสตร์ ในช่วงปลายคริสต์ศตวรรษที่ 19 ทางวิชาการหันมาใช้แนวทางเอปไซลอน-เดลตาของลิมิตแทนแนวคิดของปริมาณกณิกนันต์ ลิมิตบรรยายพฤติกรรมของฟังก์ชันที่ค่าป้อนเข้าหนึ่ง ๆ ในรูปพจน์ของค่าใกล้กับค่าป้อนเข้านั้น ๆ และใช้โครงสร้างจากภายในของระบบจำนวนจริงเพื่อจับกับพฤติกรรมในมาตรที่เล็กยิ่ง ภายใต้แนวทางนี้ แคลคูลัสเป็นชุดเทคนิคสำหรับการจัดกระทำลิมิตหนึ่ง ๆ มีการแทนที่ปริมาณกณิกนันต์ด้วยลำดับของจำนวนที่เล็กลงและเล็กไป และพฤติกรรมปริมาณเล็กอย่างไม่มีที่สิ้นสุดของฟังก์ชันศึกษาได้โดยพิจารณาพฤติกรรมลิมิตของลำดับเหล่านั้น เคยมีความคิดว่าลิมิตเป็นรากฐานที่เคร่งครัดกว่าสำหรับแคลคูลัส ด้วยเหตุนี้จึงกลายเป็นแนวทางมาตรฐานของการศึกษาแคลคูลัสตลอดคริสต์ศตวรรษที่ 20 อย่างไรก็ตาม แนวคิดของปริมาณกณิกนันต์ได้รับการฟื้นฟูขึ้นอีกครั้งในคริสต์ศตวรรษที่ 20 ผ่านบทนำของการวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐาน (non-standard analysis) และการวิเคราะห์กณิกนันต์เรียบ (smooth infinitesimal analysis) ซึ่งกำหนดรากฐานที่มั่นคงสำหรับการจัดกระทำปริมาณกณิกนันต์

แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์

บทความหลัก: แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์

เส้นสัมผัสที่ (x₀, f(x₀)) อนุพันธ์ f′(x) ของเส้นโค้งที่จุดหนึ่ง ๆ คือความชัน (การยกหารด้วยการเคลื่อนที่) ของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุดนั้น ๆ

แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์เป็นการศึกษานิยาม สมบัติ และการประยุกต์ใช้ของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน กระบวนการสำหรับหาอนุพันธ์นี้เรียกว่า การหาอนุพันธ์ (differentiation) เมื่อกำหนดฟังก์ชันและจุดหนึ่งในโดเมนของฟังก์ชัน อนุพันธ์ที่จุดนั้นถือเป็นวิธีการถ่ายทอดลักษณะพฤติกรรมในมาตรที่เล็กยิ่งของฟังก์ชันบริเวณใกล้เคียงกับจุดดังกล่าว ด้วยการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ทุกจุดในโดเมน นั้นสามารถสร้างฟังก์ชันขึ้นใหม่เรียกว่า ฟังก์ชันอนุพันธ์ หรือเพียง อนุพันธ์ของฟังก์ชันเดิม ในเชิงเรขาคณิต อนุพันธ์เป็นการขยายแนวคิดของความชันเส้นตรง กล่าวคืออนุพันธ์เป็นเครื่องมือที่ใช้วัดหรือบ่งระดับความชันของฟังก์ชันที่แต่ละจุด แม้เส้นกราฟนั้นไม่ใช่เส้นตรง

ในสัญกรณ์ของลากร็องฌ์ สัญลักษณ์ที่ใช้แทนอนุพันธ์คือเครื่องหมายคล้ายอะพอสทรอฟีเรียกว่า ไพรม์ (prime) ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f เขียนแทนด้วย f′ อ่านว่า "เอฟไพรม์" หรือ "เอฟแดช" สำหรับตัวอย่าง ถ้า f(x) = x² เป็นฟังก์ชันยกกำลังสอง แล้ว f′(x) = 2x เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้น

ถ้าฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันเชิงเส้น (กล่าวคือกราฟของฟังก์ชันเป็นเส้นตรง) ฟังก์ชันนั้นสามารถเขียนได้ในรูป y = mx + b โดยที่ x เป็นตัวแปรต้น, y เป็นตัวแปรตาม, b เป็นค่าตัดแกน y และ

$m={\frac {\text{rise}}{\text{run}}}={\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

ค่านี้ให้ความชันของเส้นตรงที่แน่นอน แต่ถ้ากราฟของฟังก์ชันไม่เป็นเส้นตรง ค่าการเปลี่ยนแปลงของ y หารด้วยการเปลี่ยนแปลงของ x จะไม่คงที่หรือแปรผันได้ อนุพันธ์ทำให้แนวคิดเรื่องการเปลี่ยนแปลงของค่าผลลัพธ์เมื่อเทียบกับการเปลี่ยนแปลงของค่าป้อนเข้ามีความหมายที่ชัดเจนและแน่นอน เพื่อให้เห็นภาพอย่างเป็นรูปธรรม ให้ f เป็นฟังก์ชันหนึ่ง และกำหนดให้ a เป็นจุดหนึ่งในโดเมนของ f จะได้ (a, f(a)) เป็นจุดหนึ่งบนกราฟของฟังก์ชัน และถ้า h เป็นจำนวนที่มีค่าเข้าใกล้ศูนย์ แล้ว a + h เป็นจำนวนที่ใกล้กับ a ดังนั้นจุด (a + h, f(a + h)) เป็นจุดที่ใกล้กับ (a, f(a)) ความชันของเส้นตรงที่เชื่อมจุดทั้งสองนี้คือ

$m={\frac {f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}}={\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$

นิพจน์นี้เรียกว่า ผลหารเชิงผลต่าง (difference quotient) เส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุดบนเส้นโค้งเรียกว่า เส้นตัด ดังนั้น m จึงเป็นความชันของเส้นตัดที่เชื่อมระหว่างจุด (a, f(a)) และ (a + h, f(a + h)) อย่างไรก็ตามเส้นตัดเป็นเพียงการประมาณพฤติกรรมของฟังก์ชันที่จุด a เท่านั้น เนื่องจากไม่ได้คำนึงถึงสิ่งที่เกิดขึ้นกับฟังก์ชันในช่วงระหว่าง a และ a + h เราไม่สามารถหาพฤติกรรมของฟังก์ชันที่จุด a โดยการกำหนดให้ h เท่ากับศูนย์โดยตรง เพราะทำให้เกิดการหารด้วยศูนย์ ซึ่งไม่นิยาม ดังนั้นจึงนิยามอนุพันธ์โดยใช้ลิมิตเมื่อ h ลู่เข้าใกล้ศูนย์ กล่าวคือพิจารณาพฤติกรรมของฟังก์ชัน f สำหรับทุกค่าที่เล็กยิ่งของ h และหาค่าที่สอดคล้องกันสำหรับกรณีที่ h มีค่าเท่ากับศูนย์

$\lim _{h\to 0}{f(a+h)-f(a) \over {h}}$

ในเชิงเรขาคณิต อนุพันธ์เป็นความชันของเส้นสัมผัสที่กระทำต่อกราฟของฟังก์ชัน f ที่จุด a เส้นสัมผัสสามารถถือเป็นลิมิตของเส้นตัดเช่นเดียวกับที่อนุพันธ์เป็นลิมิตของผลหารเชิงผลต่าง

ถ้าค่าป้อนเข้าของฟังก์ชันแทนเวลา แล้วอนุพันธ์หมายถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงของปริมาณที่พิจารณาเมื่อเทียบกับเวลา ตัวอย่างอาทิ ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่รับเวลาเป็นค่าป้อนเข้าและให้ตำแหน่งของลูกบอลที่เวลานั้นเป็นค่าผลลัพธ์ แล้วอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f แสดงว่าตำแหน่งของลูกบอลเปลี่ยนแปลงไปตามเวลาอย่างไร กล่าวคืออนุพันธ์ของฟังก์ชันในกรณีนี้คือความเร็วของลูกบอล

สัญกรณ์ไลบ์นิทซ์

บทความหลัก: สัญกรณ์ของไลบ์นิทซ์

สัญกรณ์สามัญ เสนอโดยไลบ์นิทซ์สำหรับอนุพันธ์ตัวอย่างอาทิ

${\begin{aligned}y&=x^{2}\\{\frac {dy}{dx}}&=2x\end{aligned}}$

ในแนวทางที่อาศัยแนวคิดว่าด้วยลิมิต สัญลักษณ์ dy/ dx ไม่ควรตีความว่าเป็นผลหารของสองจำนวน แต่เป็นสัญลักษณ์ย่อสำหรับลิมิตที่ใช้คำนวณอนุพันธ์ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น อย่างไรก็ตาม ไลบ์นิทซ์ ผู้คิดค้นสัญลักษณ์นี้มีเจตนาให้แทนผลหารของสองปริมาณกณิกนันต์ โดยที่ dy เป็นการเปลี่ยนแปลงที่เล็กยิ่งของ y ซึ่งเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงที่เล็กยิ่ง dx ที่กระทำต่อ x เราสามารถมอง d/ dx เป็นตัวดำเนินการการหาอนุพันธ์ ซึ่งรับฟังก์ชันหนึ่งเป็นข้อมูลป้อนเข้าแล้วให้ฟังก์ชันใหม่ซึ่งเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันเดิมเป็นผลลัพธ์ ตัวอย่างอาทิ

${\frac {d}{dx}}(x^{2})=2x$

เมื่อใช้ dx ตรงตัวส่วนอ่านว่า "เทียบกับ x" ตัวอย่างอื่นของสัญกรณ์ที่ถูกต้องอาทิ

${\begin{aligned}g(t)&=t^{2}+3t+1\\{d \over dt}g(t)&=2t+3\end{aligned}}$

แคลคูลัสเชิงปริพันธ์

บทความหลัก: ปริพันธ์

การหาปริพันธ์อาจมองได้ว่าเป็นการวัดพื้นที่ใต้เส้นโค้งที่นิยามด้วยฟังก์ชัน f(x) ในช่วงระหว่างสองจุด (ในที่นี้คือ a กับ b)

ลำดับของผลบวกรีมันแบบจุดกึ่งกลางบนผลแบ่งกั้นช่วงปกติ พื้นที่สุทธิของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะลู่เข้าค่าปริพันธ์ของฟังก์ชันนั้น

แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ เป็นการศึกษานิยาม สมบัติ และการประยุกต์ใช้ของแนวคิดสองประการที่เกี่ยวข้องกัน ได้แก่ ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต และ ปริพันธ์จำกัดเขต กระบวนการการหาค่าของปริพันธ์เรียกว่า การหาปริพันธ์ หรือ การอินทิเกรต ปริพันธ์ไม่จำกัดเขต หรือที่เรียกว่า ปฏิยานุพันธ์ เป็นการดำเนินการผกผันของการหาอนุพันธ์ กล่าวคือ F เป็นปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของ f เมื่อ f เป็นอนุพันธ์ของ F (การใช้ตัวอักษรพิมพ์เล็กแทนฟังก์ชันและตัวอักษรพิมพ์ใหญ่แทนปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นถือเป็นสิ่งสามัญในการศึกษาแคลคูลัส) ส่วนปริพันธ์จำกัดเขตเป็นการดำเนินการที่รับฟังก์ชันเป็นข้อมูลนำเข้าและให้ผลลัพธ์เป็นจำนวน ซึ่งแทนผลบวกพีชคณิตของพื้นที่ ระหว่างกราฟของฟังก์ชันนำเข้ากับแกน x นิยามที่เป็นทางการของปริพันธ์จำกัดเขตอาศัยลิมิตของผลบวกพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ซึ่งเรียกว่า ผลบวกรีมัน

ทฤษฎีบทหลักมูล

บทความหลัก: ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส

ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัสประกาศว่าการหาอนุพันธ์และการหาปริพันธ์เป็นการดำเนินการผกผันกันและกัน กล่าวคือ เป็นการแสดงความสัมพันธ์ระหว่างค่าของปฏิยานุพันธ์กับปริพันธ์จำกัดเขต เนื่องจากโดยทั่วไปการคำนวณปฏิยานุพันธ์นั้นง่ายกว่าใช้การ นิยามของปริพันธ์จำกัดเขต ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัสจึงสามารถนำไปปฏิบัติได้จริงเพื่อคำนวณปริพันธ์จำกัดเขต อีกทั้ง ทฤษฎีบทนี้ยังสามารถตีความได้ว่าเป็นประพจน์ที่ระบุโดยแน่นอนว่าการหาอนุพันธ์คือการดำเนินการผกผันของการหาปริพันธ์

ทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัสเขียนในรูปสัญลักษณ์คณิตศาสตร์ได้ดังนี้ โดย ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่มีความต่อเนื่องบนช่วง [a, b] และ F เป็นปฏิยานุพันธ์ของ f บนช่วง (a, b) แล้ว

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$

และสำหรับทุก x ในช่วง (a, b) จะได้ว่า

${\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)\,dt=f(x)$

ความจริงข้อนี้ปรากฏแก่ทั้งนิวตันและไลบ์นิทซ์ ถือเป็นกุญแจนำไปสู่การขยายผลลัพธ์เชิงวิเคราะห์มากมายภายหลังจากที่ผลงานของทั้งสองเป็นที่รู้จัก (เป็นการยากที่จะระบุได้อย่างชัดเจนว่านิวตันและไลบ์นิซได้รับอิทธิพลจากนักคณิตศาสตร์รุ่นก่อนโดยตรงมามากน้อยเพียงใด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ที่ว่าไลบ์นิทซ์อาจได้รับแนวคิดบางประการจากผลงานของไอแซก แบร์โรว์ (Isaac Barrow) มามากเพียงใดนั้นยากที่จะระบุเนื่องจากมีข้อพิพาทเรื่องลำดับความสำคัญว่าด้วยการค้นพบแคลคูลัสระหว่างทั้งสอง) ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสให้วิธีเชิงพีชคณิตสำหรับการคำนวณปริพันธ์จำกัดเขตจำนวนมาก โดยไม่จำเป็นต้องใช้กระบวนการหาลิมิตตามนิยาม เพียงอาศัยการหาสูตรของปฏิยานุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด อีกทั้งทฤษฎีบทดังกล่าวยังถือเป็นต้นแบบผลเฉลยสมการเชิงอนุพันธ์ด้วย สมการเชิงอนุพันธ์นี้เป็นสมการที่เชื่อมโยงฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าเข้ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้น และถือเป็นสิ่งที่พบได้อย่างแพร่หลายในวิทยาศาสตร์แขนงต่าง ๆ

ประวัติของแคลคูลัส

ต้นกำเนิดของแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ย้อนไปถึงยุคกรีกโบราณ ยูโดซัส มักจะเป็นที่รู้จักกันในนามของผู้ที่ค้นพบระเบียบวิธีเกษียณ ซึ่งทำให้สามารถคำนวณหาพื้นที่และปริมาตรของรูปร่างและรูปทรงพื้นฐานได้ อาร์คิมิดีส ได้พัฒนาวิธีการนี้ต่อ และได้พัฒนาวิธีการช่วยคำนวณ ซึ่งคล้ายคลึงกับแนวคิดในปัจจุบันด้วย ไลบ์นิซ และ นิวตัน มักจะได้รับการยอมรับว่าเป็นผู้ที่คิดค้นแคลคูลัสขึ้นมา โดยเฉพาะการค้นพบทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

ไอแซก นิวตัน

กอทท์ฟรีด วิลเฮล์ม ไลบ์นิซ

มีการโต้เถียงกันว่านิวตันหรือไลบ์นิซ ที่เป็นผู้ที่ค้นพบแนวคิดหลักของแคลคูลัสก่อน ความจริงนั้นไม่มีใครรู้ได้ สิ่งที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ที่ไลบ์นิซได้พัฒนาให้กับแคลคูลัส คือ เครื่องหมายของเขา เขามักจะใช้เวลาเป็นวัน ๆ นั่งคิดถึงสัญลักษณ์ที่เหมาะสม ที่จะแทนที่แนวคิดทางคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม การโต้เถียงกันระหว่างไลบ์นิซ และนิวตัน ได้แบ่งแยกนักคณิตศาสตร์ที่พูดภาษาอังกฤษ ออกจากนักคณิตศาสตร์ในยุโรป เป็นเวลานานหลายปี ซึ่งทำให้คณิตศาสตร์ในอังกฤษล้าหลังกว่ายุโรปเป็นเวลานาน เครื่องหมายที่นิวตันใช้นั้น คล่องตัวน้อยกว่าของไลบ์นิซอย่างเห็นได้ชัด แต่ก็ยังใช้กันในอังกฤษจน Analytical Society ได้ใช้เครื่องหมายของไลบ์นิซในศตวรรษที่ 19 ตอนต้น สันนิษฐานกันว่า นิวตันค้นพบแนวคิดเกี่ยวกับแคลคูลัสก่อน แต่อย่างไรก็ตาม ไลบ์นิซเป็นผู้ที่เผยแพร่ก่อน ทุกวันนี้เป็นที่เชื่อกันว่า ทั้งนิวตันและไลบ์นิซต่างก็ค้นพบแคลคูลัสด้วยตนเอง

ผู้ที่ได้ชื่อว่าเป็นผู้พัฒนาวิชาแคลคูลัสนอกจากนี้คือ เดส์การตส์, บาร์โรว์, เดอ แฟร์มาต์, เฮยเคินส์ และ วอลลิส โดยเฉพาะ เดอ แฟร์มาต์ ซึ่งบางครั้งได้รับการยกย่องว่าเป็น บิดาแห่งแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์. นักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่น เซกิ ทาคาคาสึ ซึ่งมีชีวิตอยู่ในช่วงเวลาเดียวกันกับ ไลบ์นิซ และนิวตัน ได้ค้นพบหลักการพื้นฐานบางอย่างเกี่ยวกับ แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ แต่เขาไม่เป็นที่รู้จักในโลกตะวันตกในขณะนั้น และเขาก็ไม่ได้ติดต่อกับนักวิชาการชาวตะวันตกเลย

การประยุกต์

การพัฒนาและการใช้แคลคูลัสได้ขยายผลไปแทบทุกส่วนของการใช้ชีวิตในยุคใหม่ มันเป็นพื้นฐานของวิทยาศาสตร์และสังคมศาสตร์เกือบทุกสาขาโดยเฉพาะ ฟิสิกส์และเศรษฐศาสตร์ การพัฒนาสมัยใหม่เกือบทั้งหมด เช่น เทคนิคการก่อสร้าง การบิน และเทคโนโลยีอื่น ๆ เกือบทั้งหมด มีพื้นฐานมาจากแคลคูลัส

แคลคูลัสได้ขยายไปสู่ สมการเชิงอนุพันธ์ แคลคูลัสเวกเตอร์ แคลคูลัสของการเปลี่ยนแปลง การวิเคราะห์เชิงซ้อน แคลคูลัสเชิงเวลา แคลคูลัสกณิกนันต์ และ ทอพอโลยีเชิงอนุพันธ์

ดูเพิ่ม

• หลักเกณฑ์โลปีตาล
• การวิเคราะห์เชิงจริง
• คณิตวิเคราะห์

อ่านเพิ่ม

• Adams, Robert A. (1999). Calculus: A complete course. Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-39607-2.
• Albers, Donald J.; Anderson, Richard D.; Loftsgaarden, Don O., บ.ก. (1986). Undergraduate Programs in the Mathematics and Computer Sciences: The 1985–1986 Survey. Mathematical Association of America.
• Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (2002). Calculus. John Wiley and Sons Pte. Ltd. ISBN 978-81-265-1259-1.
• Apostol, Tom M. (1967). Calculus, Volume 1, One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra. Wiley. ISBN 978-0-471-00005-1.
• Apostol, Tom M. (1969). Calculus, Volume 2, Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications. Wiley. ISBN 978-0-471-00007-5.
• Bell, John Lane (1998). A Primer of Infinitesimal Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-62401-5. Uses synthetic differential geometry and nilpotent infinitesimals.
• Boelkins, M. (2012). Active Calculus: a free, open text (PDF). ข้อมูลเก่าจากต้นฉบับ เมื่อ 30 พฤษภาคม 2013. สืบค้นเมื่อ 1 กุมภาพันธ์ 2013.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (ลิงก์)
• Boyer, Carl Benjamin (1959) [1949]. The History of the Calculus and its Conceptual Development (พิมพ์ครั้งที่ Dover). Hafner.
• Cajori, Florian (กันยายน 1923). "The History of Notations of the Calculus". Annals of Mathematics. 2nd Series. 25 (1): 1–46. doi:10.2307/1967725. hdl:2027/mdp.39015017345896. JSTOR 1967725.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (ลิงก์)
• Courant, Richard (3 ธันวาคม 1998). Introduction to calculus and analysis 1. Springer. ISBN 978-3-540-65058-4.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (ลิงก์)
• Gonick, Larry (2012). The Cartoon Guide to Calculus. William Morrow. ISBN 978-0-061-68909-3. OCLC 932781617.
• Keisler, H.J. (2000). Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals. Retrieved 29 August 2010 from http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html เก็บถาวร 1 พฤษภาคม 2011 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• Landau, Edmund (2001). Differential and Integral Calculus. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2830-4.
• Lebedev, Leonid P.; Cloud, Michael J. (2004). "The Tools of Calculus". Approximating Perfection: a Mathematician's Journey into the World of Mechanics. Princeton University Press. Bibcode:2004apmj.book.....L.
• Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2010). Calculus (พิมพ์ครั้งที่ 9th). Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-547-16702-2.
• McQuarrie, Donald A. (2003). Mathematical Methods for Scientists and Engineers. University Science Books. ISBN 978-1-891389-24-5.
• Pickover, Cliff (2003). Calculus and Pizza: A Math Cookbook for the Hungry Mind. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-26987-8.
• Salas, Saturnino L.; Hille, Einar; Etgen, Garret J. (2007). Calculus: One and Several Variables (พิมพ์ครั้งที่ 10th). Wiley. ISBN 978-0-471-69804-3.
• Spivak, Michael (กันยายน 1994). Calculus. Publish or Perish publishing. ISBN 978-0-914098-89-8.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (ลิงก์)
• Steen, Lynn Arthur, บ.ก. (1988). Calculus for a New Century; A Pump, Not a Filter. Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-058-3.
• Stewart, James (2012). Calculus: Early Transcendentals (พิมพ์ครั้งที่ 7th). Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-538-49790-9.
• Thomas, George Brinton; Finney, Ross L.; Weir, Maurice D. (1996). Calculus and Analytic Geometry, Part 1. Addison Wesley. ISBN 978-0-201-53174-9.
• Thomas, George B.; Weir, Maurice D.; Hass, Joel; Giordano, Frank R. (2008). Calculus (พิมพ์ครั้งที่ 11th). Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-48987-6.
• Thompson, Silvanus P.; Gardner, Martin (1998). Calculus Made Easy. Macmillan. ISBN 978-0-312-18548-0.

แหล่งข้อมูลอื่น

• Hazewinkel, Michiel, บ.ก. (2001), "Calculus", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Calculus" จากแมทเวิลด์.
• Topics on Calculus ที่ PlanetMath.
• Calculus Made Easy (1914) by Silvanus P. Thompson Full text in PDF
• Calculus on In Our Time at the BBC. (listen now)
• Calculus.org: The Calculus page at University of California, Davis – contains resources and links to other sites
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Calculus & Analysis
• The Role of Calculus in College Mathematics เก็บถาวร 26 กรกฎาคม 2021 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน from ERICDigests.org
• OpenCourseWare Calculus from the Massachusetts Institute of Technology
• Infinitesimal Calculus – an article on its historical development, in Encyclopedia of Mathematics, ed. Michiel Hazewinkel.
• Daniel Kleitman, MIT. "Calculus for Beginners and Artists".
• Calculus training materials at imomath.com เก็บถาวร 9 กรกฎาคม 2023 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• (ในภาษาอังกฤษและอาหรับ) The Excursion of Calculus, 1772