เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์

เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ (อังกฤษ: differential geometry) คือสาขาวิชาทางคณิตศาสตร์ที่ศึกษาเกี่ยวกับเรขาคณิตของรูปร่างเรียบและปริภูมิเรียบ หรือที่เรียกว่าแมนิโฟลด์เรียบ โดยใช้เทคนิคจากแคลคูลัสตัวแปรเดียว แคลคูลัสเวกเตอร์ พีชคณิตเชิงเส้น และพีชคณิตหลายเชิงเส้น สาขาวิชานี้มีรากฐานมาจากการศึกษาเรขาคณิตทรงกลม ซึ่งย้อนไปได้ถึงสมัยโบราณ และยังมีความเชื่อมโยงกับดาราศาสตร์ ภูมิมาตรศาสตร์ของโลก และต่อมาคือการศึกษาเรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลาโดยนิโคไล โลบาเชฟสกี ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของปริภูมิเรียบคือระนาบและเส้นโค้งในปริภูมิ และพื้นผิวในปริภูมิแบบยุคลิดสามมิติ การศึกษารูปร่างเหล่านี้ได้กลายเป็นรากฐานสำหรับการพัฒนา เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ยุคใหม่ในช่วงคริสต์ศตวรรษที่ 18 และ 19

นับตั้งแต่ช่วงปลายคริสต์ศตวรรษที่ 19 เป็นต้นมา เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ได้ขยายขอบเขตกลายเป็นสาขาวิชาที่เกี่ยวข้องกับการศึกษาโครงสร้างทางเรขาคณิตบนแมนิโฟลด์หาอนุพันธ์ได้โดยทั่วไปมากขึ้น โครงสร้างทางเรขาคณิตคือโครงสร้างที่นิยามแนวคิดบางอย่างเกี่ยวกับขนาด ระยะทาง รูปร่าง ปริมาตร หรือโครงสร้างที่ทำให้เกิดความแข็งเกร็งอื่น ๆ ตัวอย่างเช่น ในเรขาคณิตแบบรีมันน์ จะมีการระบุระยะทางและมุม ในเรขาคณิตเชิงซิมเพล็กติก สามารถคำนวณปริมาตรได้ ในเรขาคณิตคงแบบ จะมีการระบุมุมเท่านั้น และในทฤษฎีเกจ จะมีการกำหนดสนามบางอย่างบนปริภูมินั้น

เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ถูกนำไปประยุกต์ใช้ในหลากหลายสาขาทั้งในคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ ที่โดดเด่นที่สุดคือ อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ ได้ใช้ภาษาของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปของเขา และต่อมานักฟิสิกส์ก็ได้นำไปใช้ในการพัฒนาทฤษฎีสนามควอนตัมและแบบจำลองมาตรฐานของฟิสิกส์ของอนุภาค นอกเหนือจากฟิสิกส์แล้ว เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ยังถูกนำไปประยุกต์ใช้ในวิชาต่าง ๆ เช่น เคมี เศรษฐศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ ทฤษฎีระบบควบคุม คอมพิวเตอร์กราฟิก คอมพิวเตอร์วิทัศน์ และล่าสุดคือการเรียนรู้ของเครื่อง