เรขาคณิตรถแท็กซี่

ในเรขาคณิตรถแท็กซี่ ความยาวของเส้นทางสีแดง สีน้ำเงิน สีเขียว และสีเหลือง ล้วนเท่ากับ 12 ซึ่งเป็นระยะทางรถแท็กซี่ระหว่างมุมตรงข้าม และทั้งสี่เส้นทางต่างก็เป็นเส้นทางที่สั้นที่สุด แต่ในเรขาคณิตแบบยุคลิด เส้นทางสีแดง สีน้ำเงิน และสีเหลือง ยังคงมีความยาว 12 เท่าเดิม ขณะที่เส้นทางสีเขียวเป็นเส้นทางที่สั้นที่สุดเพียงเส้นเดียว โดยมีความยาวเท่ากับระยะทางแบบยุคลิดระหว่างมุมตรงข้าม คือ 6√2 ≈ 8.49

เรขาคณิตรถแท็กซี่ (อังกฤษ: taxicab geometry) หรือ เรขาคณิตแมนฮัตตัน (อังกฤษ: Manhattan geometry) คือเรขาคณิตรูปแบบหนึ่งที่ไม่สนใจระยะทางแบบยุคลิดซึ่งเป็นที่คุ้นเคยทั่วไป แต่ระยะทางระหว่างจุดสองจุดจะถูกนิยามว่าเป็นผลรวมของผลต่างสัมบูรณ์ของพิกัดคาร์ทีเซียนที่สอดคล้องกันของทั้งสองจุด ซึ่งเรียกว่า ระยะทางรถแท็กซี่ (taxicab distance) ระยะทางแมนฮัตตัน (Manhattan distance) หรือ ระยะทางบล็อกเมือง (city block distance) ชื่อดังกล่าวสื่อถึงเมืองแมนฮัตตัน หรือเมืองใดก็ตามที่มีถนนเป็นเส้นตาราง ซึ่งแท็กซี่สามารถเดินทางตามเส้นทางที่เป็นตารางดังกล่าวได้แบบเดียวเท่านั้น ในเรขาคณิตรถแท็กซี่ ระยะทางระหว่างจุดสองจุดใด ๆ จะมีค่าเท่ากับความยาวของเส้นทางที่เป็นตารางที่สั้นที่สุดระหว่างทั้งสองจุด นิยามของระยะทางที่แตกต่างออกไปนี้ยังนำไปสู่อีกนิยามหนึ่งของความยาวของเส้นโค้ง ซึ่งส่วนของเส้นตรงระหว่างจุดสองจุดใด ๆ มีความยาวเท่ากับเส้นทางที่เป็นตารางระหว่างจุดเหล่านั้นแทนที่จะเป็นความยาวแบบยุคลิด

ระยะทางรถแท็กซี่บางครั้งก็เรียกว่า ระยะทางเชิงเส้นตรง (rectilinear distance) หรือระยะทาง L¹ เรขาคณิตรูปแบบนี้มีการใช้ในการวิเคราะห์การถดถอยตั้งแต่คริสต์ศตวรรษที่ 18 และมักเรียกว่า ลาสโซ (LASSO) การตีความทางเรขาคณิตของเรขาคณิตรูปแบบนี้มีที่มาจากเรขาคณิตนอกแบบยุคลิดในคริสต์ศตวรรษที่ 19 และเป็นผลงานของแฮร์มัน มิงค็อฟสกี

ในปริภูมิพิกัดจริงสองมิติ $\mathbb {R} ^{2}$ ระยะทางรถแท็กซี่ระหว่างจุดสองจุด $(x_{1},y_{1})$ กับ $(x_{2},y_{2})$ คือ $\left|x_{1}-x_{2}\right|+\left|y_{1}-y_{2}\right|$ ซึ่งก็คือผลรวมของค่าสัมบูรณ์ของผลต่างระหว่างพิกัดทั้งสอง

บทนิยามรูปนัย

ระยะทางรถแท็กซี่ $d_{\text{T}}$ ระหว่างจุดสองจุด $\mathbf {p} =(p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}){\text{ กับ }}\mathbf {q} =(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})$ ในปริภูมิพิกัดเชิงจริง n มิติ ที่มีระบบพิกัดคาร์ทีเซียนคงที่ คือผลรวมของความยาวของภาพฉายของส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างสองจุดนั้นลงบนแกนพิกัดต่าง ๆ กล่าวในเชิงรูปนัยคือ$$d_{\text{T}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\left\|\mathbf {p} -\mathbf {q} \right\|_{\text{T}}=\sum _{i=1}^{n}\left|p_{i}-q_{i}\right|$$ตัวอย่างเช่น ใน $\mathbb {R} ^{2}$ ระยะทางรถแท็กซี่ระหว่าง $\mathbf {p} =(p_{1},p_{2})$ กับ $\mathbf {q} =(q_{1},q_{2})$ คือ $\left|p_{1}-q_{1}\right|+\left|p_{2}-q_{2}\right|$