เทนเซอร์

เทนเซอร์ความเค้นของโคชีอันดับสอง $\mathbf {T}$ ใช้อธิบายถึงความเค้นที่วัสดุได้รับ ณ จุดหนึ่ง สำหรับเวกเตอร์หนึ่งหน่วย $\mathbf {v}$ ใด ๆ ผลคูณ $\mathbf {T} \cdot \mathbf {v}$ จะได้เวกเตอร์ตัวหนึ่ง ซึ่งเขียนแทนได้เป็น $\mathbf {T} (\mathbf {v} )$ ซึ่งใช้บอกปริมาณของแรงต่อพื้นที่บนระนาบที่ตั้งฉากกับ $\mathbf {v}$ ภาพนี้แสดงให้เห็นว่า สำหรับแต่ละหน้าของลูกบาศก์ที่ตั้งฉากกับ $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}$ จะมีเวกเตอร์ความเค้นที่สอดคล้องกัน คือ $\mathbf {T} (\mathbf {e} _{1}),\mathbf {T} (\mathbf {e} _{2}),\mathbf {T} (\mathbf {e} _{3})$ บนหน้าต่าง ๆ เหล่านั้น เนื่องจากเทนเซอร์ความเค้นรับค่าเวกเตอร์หนึ่งตัว และให้ค่าเวกเตอร์หนึ่งตัว มันจึงเป็นเทนเซอร์อันดับสอง (second-order tensor)

ในคณิตศาสตร์ เทนเซอร์ (อังกฤษ: tensor) คือวัตถุเชิงพีชคณิตที่ใช้อธิบายความสัมพันธ์หลายเชิงเส้นระหว่างชุดของวัตถุเชิงพีชคณิตที่เกี่ยวข้องกับปริภูมิเวกเตอร์ เทนเซอร์สามารถทำหน้าที่ส่งค่าระหว่างวัตถุต่าง ๆ เช่น เวกเตอร์ สเกลาร์ และแม้กระทั่งเทนเซอร์อื่น ๆ ได้ เทนเซอร์มีหลายชนิด รวมถึงสเกลาร์และเวกเตอร์ (ซึ่งเป็นเทนเซอร์ที่ง่ายที่สุด) เวกเตอร์คู่ การส่งหลายเชิงเส้นระหว่างปริภูมิเวกเตอร์ และแม้แต่การดำเนินการบางอย่าง เช่น ผลคูณจุด เทนเซอร์ถูกนิยามโดยไม่ขึ้นกับฐานหลักใด ๆ แม้ว่าในทางปฏิบัติมักจะอ้างอิงถึงเทนเซอร์ผ่านส่วนประกอบของมันภายใต้ฐานหลักที่สัมพันธ์กับระบบพิกัดหนึ่ง ๆ ส่วนประกอบเหล่านั้นจะรวมกันเป็นอาร์เรย์ ซึ่งสามารถมองได้ว่าเป็นเมทริกซ์มิติสูงได้

เทนเซอร์มีความสำคัญอย่างมากในวิชาฟิสิกส์ เนื่องจากเป็นกรอบทางคณิตศาสตร์ที่กระชับสำหรับการตั้งสมการและแก้ปัญหาทางฟิสิกส์ในสาขาต่าง ๆ เช่น กลศาสตร์ (ความเค้น ความยืดหยุ่น กลศาสตร์ควอนตัม กลศาสตร์ของไหล โมเมนต์ความเฉื่อย ฯลฯ) ทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้า (เทนเซอร์แม่เหล็กไฟฟ้า เทนเซอร์ของแมกซ์เวลล์ สภาพยอม สภาพยอมรับได้ทางแม่เหล็ก ฯลฯ) และทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป (เทนเซอร์ความเค้น–พลังงาน เทนเซอร์ความโค้ง ฯลฯ) ในการประยุกต์ใช้งาน มักมีการศึกษาสถานการณ์ที่แต่ละจุดของวัตถุอาจมีเทนเซอร์แตกต่างกันได้ ตัวอย่างเช่น ความเค้นภายในวัตถุอาจเปลี่ยนแปลงไปตามตำแหน่งต่าง ๆ กลุ่มของเทนเซอร์ที่มีค่าเปลี่ยนแปลงไปตามตำแหน่งในปริภูมิในลักษณะนี้ เรียกว่า สนามเทนเซอร์ (tensor field) ในบางสาขา สนามเทนเซอร์เป็นสิ่งที่พบได้ทั่วไปมาก จนมักเรียกสั้น ๆ เพียงว่า "เทนเซอร์" เท่านั้น

ตุลลีโอ เลวี-ชีวีตาและเกรโกรีโอ ริชชี-กูร์บัสโตร ได้ทำให้แนวคิดเรื่องเทนเซอร์แพร่หลายขึ้นในปี ค.ศ. 1900 โดยสานต่อผลงานก่อนหน้าของแบร์นฮาร์ท รีมัน, เอ็ลวิน บรูโน คริสท็อฟเฟิล และนักคณิตศาสตร์คนอื่น ๆ ในฐานะส่วนหนึ่งของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์สัมบูรณ์ (absolute differential calculus) แนวคิดนี้ทำให้สามารถสร้างรูปแบบทางเลือกสำหรับเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ในตัวของแมนิโฟลด์ได้ โดยอยู่ในรูปของเทนเซอร์ความโค้งของรีมัน