อนุกรมเทย์เลอร์

เมื่อดีกรีของพหุนามเทย์เลอร์เพิ่มขึ้น มันจะเข้าใกล้ฟังก์ชันที่ถูกต้อง ภาพนี้แสดงฟังก์ชัน sin x และการประมาณค่าด้วยพหุนามเทย์เลอร์ดีกรี 1, 3, 5, 7, 9, 11 และ 13 ที่ x = 0.

ในคณิตวิเคราะห์, อนุกรมเทย์เลอร์ หรือ การกระจายเทย์เลอร์ ของฟังก์ชัน คืออนุกรมอนันต์ของพจน์ที่แสดงในรูปอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดๆ เดียว สำหรับฟังก์ชันทั่วไปส่วนใหญ่ ตัวฟังก์ชันและผลบวกของอนุกรมเทย์เลอร์จะเท่ากันบริเวณใกล้จุดนี้ อนุกรมเทย์เลอร์ตั้งชื่อตาม บรุก เทย์เลอร์ ผู้แนะนำอนุกรมเหล่านี้ในปี ค.ศ. 1715 อนุกรมเทย์เลอร์ยังถูกเรียกว่า อนุกรมแมคลอริน เมื่อ 0 คือจุดที่พิจารณาอนุพันธ์ ตั้งชื่อตามโคลิน แมคลอริน ผู้ซึ่งใช้งานกรณีพิเศษนี้ของอนุกรมเทย์เลอร์อย่างกว้างขวางในศตวรรษที่ 18

นิยาม

อนุกรมเทย์เลอร์ของฟังก์ชันค่าจริงหรือเชิงซ้อน f(x) ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ไม่จำกัดครั้ง ณจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อน a คืออนุกรมกำลัง $$f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}.$$ ในที่นี้ n! แทนแฟกทอเรียลของ n ฟังก์ชัน f⁽ⁿ⁾(a) แทนอนุพันธ์อันดับที่ n ของ f ที่ประเมิน ณ จุด a อนุพันธ์อันดับศูนย์ของ f นิยามให้เป็นตัว f เอง และ (x − a)⁰ กับ 0! ถูกนิยามให้มีค่าเท่ากับ 1 อนุกรมนี้สามารถเขียนโดยใช้สัญกรณ์ซิกมาดังสูตรทางด้านขวา พหุนามเทย์เลอร์ดีกรี n ที่สอดคล้องกันคือ $$T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}.$$ เมื่อ a = 0 อนุกรมแมคลอรินจะอยู่ในรูป: $$f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}.$$