สูตรของเฮรอน

รูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน a b และ c

ในทางเรขาคณิต สูตรของเฮรอน หรือ สูตรของเฮโร (อังกฤษ: Heron's formula) จะจัดรูปให้พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม อยู่ในรูปของความยาวด้านของทั้งสามด้าน ⁠$a,$⁠⁠ $b$⁠ และ $c$⁠ โดยกำหนดให้ ⁠$s$⁠ เป็นครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม (semiperimeter) จะได้ว่า $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)$ ทำให้ได้พื้นที่ ⁠$A$⁠ เป็น

$A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

สูตรข้างต้นถูกตั้งชื่อตามวิศวกรในคริสต์ศตวรรษที่ 1 ซึ่งมีชื่อว่าเฮรอนแห่งอะเล็กซานเดรีย (หรือเฮโร) ซึ่งผลงานของเขามีชื่อว่า เมตริกา (Metrica) ถึงแม้ว่าสูตรนี้จะรู้จักกันมานานหลายศตวรรษแล้วก็ตาม

ตัวอย่าง

กำหนดให้ ⁠$\triangle ABC$⁠ มีด้านทั้งสามยาว $a=4$ $b=13$ และ $c=15$ โดยครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม (semiperimeter) เป็น $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)=$ ${\tfrac {1}{2}}(4+13+15)=16$ จะได้พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมนี้เป็น

${\begin{aligned}A&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}={\sqrt {16\cdot (16-4)\cdot (16-13)\cdot (16-15)}}\\&={\sqrt {16\cdot 12\cdot 3\cdot 1}}={\sqrt {576}}=24\end{aligned}}$

จากตัวอย่างนี้ ความยาวด้านและพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมนั้นเป็นจำนวนเต็มทำให้เป็นรูปสามเหลี่ยมฮีโรเนียน ซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวของด้านและพื้นที่เป็นจำนวนตรรกยะทั้งหมด อย่างไรก็ตามสูตรของเฮรอนจะใช้ได้ดี ในกรณีที่ความยาวด้านหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมขึ้นไปไม่ใช่จำนวนเต็ม

การเขียนสมการในรูปอื่น ๆ

สูตรของเฮรอนยังสามารถเขียนในรูปของความยาวด้านเพียงอย่างเดียว แทนที่จะใช้ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมนั้นสามารถทำได้ในหลายวิธี ดังนี้

${\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\end{aligned}}$

หลังจากจัดนิพจน์ให้อยู่ในรูปอย่างง่ายแล้ว พจน์ที่อยู่ในรากที่สองจะเป็นพหุนามกำลังสองของความยาวด้านแต่ละด้านยกกำลังสอง ได้แก่ $a^{2}$ $b^{2}$ และ $c^{2}$

ความสัมพันธ์ที่คล้ายกันนี้ สามารถจัดรูปได้โดยใช้ฟังก์ชันดีเทอร์มิแนนต์เคย์ลีย์–เมงเงอร์

$-16A^{2}={\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}$

ประวัติ

สูตรข้างต้นนั้นได้ยกย่องให้เป็นสูตรของเฮรอน (หรือเฮโร) แห่งอะเล็กซานเดรีย (ราว ค.ศ. 60) และหลักฐานนั้นสามารถพบได้ในหนังสือชื่อ เมตริกา (Metrica) ซึ่งนักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ โทมัส ฮีธ ได้เสนอว่า อาร์คิมิดีสรู้สูตรนี้มาก่อนถึงสองศตวรรษ และเนื่องจาก เมตริกา คือหนังสือที่เป็นการรวบรวมความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่มีอยู่ในโลกยุคโบราณ จึงเป็นไปได้ที่สูตรดังกล่าวอาจมีอายุก่อนการอ้างอิงที่ให้ไว้ในผลงานนั้น

สูตรที่คล้ายกับของเฮรอน คือ

$A={\frac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}c^{2}-\left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}}}$

สูตรนี้ถูกค้นพบโดยชาวจีน ได้รับการตีพิมพ์ใน Mathematical Treatise in Nine Sections (ฉิน จิ่วฉาว, 1247)

บทพิสูจน์

มีหลายวิธีในการพิสูจน์สูตรของเฮรอน เช่น การใช้ตรีโกณมิติดังด้านล่าง หรือการใช้วงกลมที่แนบในและแนบนอกรูปสามเหลี่ยม หรือเป็นกรณีพิเศษในทฤษฎีบทของเดอ กวา (เฉพาะสำหรับกรณีที่สามเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม) หรือใช้ในกรณีพิเศษในสูตรของพรหมคุปต์ (สำหรับกรณีของรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลม)

การพิสูจน์ด้วยตรีโกณมิติโดยใช้กฎของโคไซน์

จากข้อพิสูจน์สมัยใหม่ซึ่งใช้พีชคณิตมีความแตกต่างจากหลักฐานที่เฮรอนให้ไว้ มีดังนี้ โดยกำหนดให้ ด้าน $a$ $b$ และ $c$ ของสามเหลี่ยม มีมุมตรงข้ามเป็น $\alpha$ $\beta$ และ $\gamma$ ตามลำดับ เมื่อนำมาใช้กับกฎของโคไซน์ จะได้ว่า

$\cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$

รูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน a b และ c

จากการพิสูจน์นี้เราจะได้สมการว่า

$\sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}$

โดยความสูงของสามเหลี่ยมที่มีฐานเป็น $a$ มีความยาวเป็น $b\sin \gamma$ และจะได้ดังนี้

${\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{2}}({\mbox{base}})({\mbox{altitude}})\\[6mu]&={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma \\[6mu]&={\frac {ab}{4ab}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[6mu]&={\sqrt {\left({\frac {a+b+c}{2}}\right)\left({\frac {-a+b+c}{2}}\right)\left({\frac {a-b+c}{2}}\right)\left({\frac {a+b-c}{2}}\right)}}\\[6mu]&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\end{aligned}}$

การพิสูจน์ด้วยพีชคณิตโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

สามเหลี่ยมที่มีความสูงยาว h ซึ่งลากตัดฐานยาว c ทำให้ c เป็น d + (c − d)

หลักฐานข้างต้นนี้คล้ายกับหลักฐานที่ Raifaizen ให้ไว้มาก จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได้ $b^{2}=h^{2}+d^{2}$ และ $a^{2}=h^{2}+(c-d)^{2}$ ตามรูปด้านขวา หลังจากนั้นนำสมการทั้งสองสมการมาลบกันจนได้ผลลัพธ์ดังนี้ $a^{2}-b^{2}=c^{2}-2cd$ ทำให้สามารถแสดงนิพจน์ของ $d$ ในรูปของด้านของรูปสามเหลี่ยมได้ว่า

$d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}$

โดยสำหรับความสูงของสามเหลี่ยม จะได้ $h^{2}=b^{2}-d^{2}$ จากนั้นทำการแทนค่า $d$ จากสมการข้างต้นเข้าไปและจะใช้สูตรเอกลักษณ์ผลต่างของกำลังสอง จะได้

${\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\\&={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {{\big (}(b+c)^{2}-a^{2}{\big )}{\big (}a^{2}-(b-c)^{2}{\big )}}{4c^{2}}}\\&={\frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\\&={\frac {2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^{2}}}\\&={\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}\end{aligned}}$

จากนั้นใช้ผลลัพธ์ที่มาใช้กับสูตรคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจากความสูง เป็น

${\begin{aligned}A&={\frac {ch}{2}}\\&={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}\end{aligned}}$

การพิสูจน์ด้วยตรีโกณมิติโดยใช้กฎของโคแทนเจนต์

นัยสำคัญทางเรขาคณิตของ s − a s − b และ s − c ตามกฎของโคแทนเจนต์

ถ้า $r$ เป็นรัศมีของวงกลมที่แนบในรูปสามเหลี่ยม ทำให้สามารถแบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็น 3 รูปที่มีความสูงเท่ากับ $r$ และมีฐานยาว $a,$ $b$ และ $c$ จะได้ผลรวมของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมทั้งสามเป็น

$A={\tfrac {1}{2}}ar+{\tfrac {1}{2}}br+{\tfrac {1}{2}}cr=rs$

โดยที่ $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)$ คือความยาวครึ่งหนึ่งของเส้นรอบรูปสามเหลี่ยม

รูปสามเหลี่ยมสามารถแบ่งออกเป็นรูปสามเหลี่ยม 6 รูป ที่เป็นคู่ที่เท่ากันทั้งหมด 3 คู่ ที่มีความสูง $r$ และมีฐานยาว $s-a$ $s-b$ และ $s-c$ จะได้ผลรวมของพื้นที่รูปสามเหลี่ยมทั้งหกรูปเป็น (จากกฎของโคแทนเจนต์)

${\begin{aligned}A&=r(s-a)+r(s-b)+r(s-c)\\[2mu]&=r^{2}\left({\frac {s-a}{r}}+{\frac {s-b}{r}}+{\frac {s-c}{r}}\right)\\[2mu]&=r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)\\[3mu]&=r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}\cot {\frac {\beta }{2}}\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)\\[3mu]&=r^{2}\left({\frac {s-a}{r}}\cdot {\frac {s-b}{r}}\cdot {\frac {s-c}{r}}\right)\\[3mu]&={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{r}}\end{aligned}}$

ขั้นตอนต่อจากข้างต้น คือ ${\textstyle \cot {\tfrac {\alpha }{2}}+\cot {\tfrac {\beta }{2}}+\cot {\tfrac {\gamma }{2}}={}}$$\cot {\tfrac {\alpha }{2}}\cot {\tfrac {\beta }{2}}\cot {\tfrac {\gamma }{2}}$ ตามเอกลักษณ์ของโคแทนเจนต์ (triple cotangent identity) ซึ่งนำมาใช้ได้เนื่องจากผลรวมของครึ่งหนึ่งของมุมคือ ${\textstyle {\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}+{\tfrac {\gamma }{2}}={\tfrac {\pi }{2}}}$

เมื่อรวมทั้งสองเข้าด้วยกัน จะได้

$A^{2}=s(s-a)(s-b)(s-c)$

ซึ่งทำให้ได้ผลลัพธ์ของพื้นที่ตามมา

ความเสถียรเชิงตัวเลข

สูตรของเฮรอนที่ให้ไว้ข้างต้นมีความไม่เสถียรในเชิงตัวเลข (numerically unstable) สำหรับสามเหลี่ยมที่มีมุมเล็กมาก เมื่อใช้เลขแบบจำนวนจุดลอยตัว (floating-point arithmetic) เพื่อทำให้มีความเสถียรทางตัวเลขจะการจัดเรียงความยาวของด้านเพื่อให้ $a\geq b\geq c$ จากการคำนวณได้ว่า

$A={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {{\big (}a+(b+c){\big )}{\big (}c-(a-b){\big )}{\big (}c+(a-b){\big )}{\big (}a+(b-c){\big )}}}$

จำเป็นต้องมีวงเล็บในสูตรข้างต้นเพื่อป้องกันความไม่เสถียรของตัวเลขในการหาค่า

สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมคล้าย

อีกสามสูตรของสูตรพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมทั่วไป จะมีโครงสร้างคล้ายกับสูตรของเฮรอน แต่จะแสดงในรูปของตัวแปรที่ต่างกัน

ขั้นตอนแรก กำหนดให้ $m_{a},$ $m_{b}$ และ $m_{c}$⁠ คือเส้นมัธยฐาน (medians) ของด้าน $a,$ $b$ และ $c$ ตามลำดับ และครึ่งหนึ่งของผลรวมความยาวเส้นมัธยฐาน คือ $\sigma ={\tfrac {1}{2}}(m_{a}+m_{b}+m_{c})$ จะได้

$A={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}$

ถัดไป ให้ $h_{a},$ $h_{b}$ และ $h_{c}$ คือความสูงจากด้าน $a,$ $b$ และ $c$ ตามลำดับ และครึ่งหนึ่งของผลรวมส่วนกลับความสูง คือ $H={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1}{\bigr )}$ จะได้

$A^{-1}=4{\sqrt {H{\bigl (}H-h_{a}^{-1}{\bigr )}{\bigl (}H-h_{b}^{-1}{\bigr )}{\bigl (}H-h_{c}^{-1}{\bigr )}}}$

จะได้ว่า ให้ $\alpha ,$ $\beta$ และ $\gamma$ เป็นมุมทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยม และครึ่งหนึ่งของผลรวมของไซน์ของรูปสามเหลี่ยมคือ $S={\tfrac {1}{2}}(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma )$ จะได้

${\begin{aligned}A&=D^{2}{\sqrt {S(S-\sin \alpha )(S-\sin \beta )(S-\sin \gamma )}}\\[5mu]&={\tfrac {1}{2}}D^{2}\sin \alpha \,\sin \beta \,\sin \gamma \end{aligned}}$

โดย $D$ คือ เส้นผ่านศูนย์กลางของรูปสามเหลี่ยมวงกลมล้อม (circumcircle) $D=a/{\sin \alpha }=b/{\sin \beta }=c/{\sin \gamma }$ สูตรสุดท้ายนี้สอดคล้องกับสูตรในรูปมาตรฐานของเฮรอน เมื่อวงกลมล้อมรูปสามเหลี่ยมมีความยาวของเส้นผ่านศูนย์กลาง

การสรุปโดยทั่วไปจากกรณีเฉพาะ

รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (Cyclic quadrilateral)

สูตรของเฮรอนเป็นกรณีเฉพาะของสูตรของพรหมคุปต์ สำหรับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (cyclic quadrilateral) สูตรของเฮรอนและสูตรของพรหมคุปต์ ทั้งสองสูตรเป็นกรณีเฉพาะของสูตรของเบรทช์ไนเดอร์ สำหรับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยม สูตรของเฮรอนสามารถหาได้จากสูตรของพรหมคุปต์หรือสูตรของเบรทช์ไนเดอร์ โดยให้ด้านใดด้านหนึ่งของรูปสี่เหลี่ยมให้เป็นศูนย์

จากสูตรของพรหมคุปต์ให้พื้นที่ $K$ เป็นพื้นที่ของ⁠รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (cyclic quadrilateral) ที่มีความยาวด้านเป็น $a$ $b$ $c$ และ $d$ ทำให้ได้

$K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$

โดย $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)$ คือ ครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปของรูปสี่เหลี่ยม

สูตรของเฮรอนยังเป็นกรณีเฉพาะของสูตรพื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูโดยพิจารณาจากด้านเท่านั้น สูตรของเฮรอนได้มาโดยการกหนดให้ด้านขนานที่เล็กกว่าความยาวเป็นศูนย์

สามารถแสดงสูตรของเฮรอนด้วยฟังก์ชันดีเทอร์มิแนนต์เคย์ลีย์–เมงเงอร์ ในรูปของกำลังสองของระยะทางระหว่างจุดยอดทั้งสามที่กำหนดให้

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}}}$

แสดงให้เห็นถึงความคล้ายกับสูตรของตาร์ตาเญีย สำหรับปริมาตรของ 3-ซิมเพล็กซ์หรือทรงสี่หน้า

ข้อสรุปทั่วไปของสูตรของเฮรอนของรูปห้าเหลี่ยมและรูปหกเหลี่ยมวงกลมล้อมถูกค้นพบโดย เดวิด พี. ร็อบบินส์

สูตรการหาปริมาตรของทรงสี่หน้าแบบเฮรอน

ให้ $U,$ $V,$ $W,$ $u,$ $v$ และ $w$ เป็นความยาวขอบของทรงสี่หน้า (สามด้านแรกนำมาประกอบกันเป็นรูปสามเหลี่ยม โดย $u$ ตรงข้ามกับ $U$ และต่อไปตามลำดับ) จะได้

${\text{volume}}={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+d)\,(a+b+c-d)}}{192\,u\,v\,w}}$

UVWuvw

โดยที่

${\begin{aligned}a&={\sqrt {xYZ}}\\b&={\sqrt {yZX}}\\c&={\sqrt {zXY}}\\d&={\sqrt {xyz}}\\X&=(w-U+v)\,(U+v+w)\\x&=(U-v+w)\,(v-w+U)\\Y&=(u-V+w)\,(V+w+u)\\y&=(V-w+u)\,(w-u+V)\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v)\\z&=(W-u+v)\,(u-v+W)\end{aligned}}$

สูตรของเฮรอนในเรขาคณิตนอกแบบยุคลิด

นอกจากนี้ยังมีสูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมตามความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมในเรขาคณิตทรงกลม (Spherical geometry) หรือเรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลา (hyperbolic plane) อีกด้วย สำหรับรูปสามเหลี่ยมในเรขาคณิตทรงกลมที่มีความยาวด้าน $a$ $b$ และ $c$ และครึ่งหนึ่งของความยาวรอบรูปเป็น $s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)$ และมีพื้นที่เป็น $S$ ตามสูตรดังกล่าวจะได้

$\tan ^{2}{\frac {S}{4}}=\tan {\frac {s}{2}}\tan {\frac {s-a}{2}}\tan {\frac {s-b}{2}}\tan {\frac {s-c}{2}}$

ตามเรขาคณิตเชิงไฮเพอร์โบลา จะได้

$\tan ^{2}{\frac {S}{4}}=\tanh {\frac {s}{2}}\tanh {\frac {s-a}{2}}\tanh {\frac {s-b}{2}}\tanh {\frac {s-c}{2}}$

ดูเพิ่มเติม

• สูตรพื้นที่ของเกาส์

แหล่งข้อมูลอื่น

• A Proof of the Pythagorean Theorem From Heron's Formula ที่ cut-the-knot
• Interactive applet and area calculator using Heron's Formula
• J. H. Conway discussion on Heron's Formula
• "Heron's Formula and Brahmagupta's Generalization"
• A Geometric Proof of Heron's Formula เก็บถาวร 2018-09-08 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
• An alternative proof of Heron's Formula without words
• Factoring Heron