สูตรของเดอ มวฟร์

ในคณิตศาสตร์ สูตรของเดอ มวฟร์ (อังกฤษ: de Moivre's formula) หรือที่เรียกว่า ทฤษฎีบทของเดอ มวฟร์ (อังกฤษ: de Moivre's theorem) และ เอกลักษณ์ของเดอ มวฟร์ (อังกฤษ: de Moivre's identity) กล่าวว่า สำหรับจำนวนจริงใด ๆ $x$ และจำนวนเต็มใด ๆ $n$

${\big (}\cos x+i\sin x{\big )}^{n}=\cos nx+i\sin nx$

โดยที่ $i$ คือหน่วยจินตภาพ ซึ่งมีสมบัติว่า $i 2 = -1$ สูตรนี้ตั้งชื่อตาม อับราอัม เดอ มวฟร์^[1] แม้ว่าเขาจะไม่เคยระบุสูตรนี้ไว้อย่างชัดเจนในผลงานของเขาเองก็ตาม^[2] นิพจน์ $cos x + i sin x$ บางครั้งจะเขียนย่อว่า $cis x$

สูตรนี้มีความสำคัญเนื่องจากเป็นสูตรที่เชื่อมโยงระหว่างจำนวนเชิงซ้อนกับตรีโกณมิติ โดยการกระจายพจน์ทางด้านซ้ายของสมการ แล้วเปรียบเทียบส่วนจริงและส่วนจินตภาพภายใต้เงื่อนไขว่า $x$ เป็นจำนวนจริง เราสามารถหานิพจน์ที่มีประโยชน์สำหรับ $cos nx$ และ $sin nx$ ในรูปของ $cos x$ และ $sin x$ ได้

ตามที่เขียนไว้ สูตรนี้ไม่สามารถใช้ได้กับเลขชี้กำลัง $n$ ที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม อย่างไรก็ตาม มีการวางนัยทั่วไปของสูตรนี้ให้สามารถใช้ได้กับเลขชี้กำลังประเภทอื่น ๆ ด้วย ซึ่งสามารถนำมาใช้เพื่อหานิพจน์อย่างชัดเจนสำหรับรากที่ $n$ ของหนึ่ง กล่าวคือ จำนวนเชิงซ้อน $z$ ที่เป็นไปตามเงื่อนไข $z n = 1$

เมื่อใช้การขยายฟังก์ชันไซน์และโคไซน์จากจำนวนจริงไปยังจำนวนเชิงซ้อนตามมาตรฐาน สูตรนี้จะยังคงเป็นจริง แม้ว่า $x$ จะเป็น จำนวนเชิงซ้อนใด ๆ ก็ตาม

อ้างอิง

↑ Moivre, Ab. de (1707). "Aequationum quarundam potestatis tertiae, quintae, septimae, nonae, & superiorum, ad infinitum usque pergendo, in termimis finitis, ad instar regularum pro cubicis quae vocantur Cardani, resolutio analytica" [Of certain equations of the third, fifth, seventh, ninth, & higher power, all the way to infinity, by proceeding, in finite terms, in the form of rules for cubics which are called by Cardano, resolution by analysis.]. Philosophical Transactions of the Royal Society of London (ภาษาละติน). 25 (309): 2368–2371. doi:10.1098/rstl.1706.0037. S2CID 186209627.
↑ Lial, Margaret L.; Hornsby, John; Schneider, David I.; Callie J., Daniels (2008). College Algebra and Trigonometry (พิมพ์ครั้งที่ 4th). Boston: Pearson/Addison Wesley. น. 792. ISBN 9780321497444.

[1] Moivre, Ab. de (1707). "Aequationum quarundam potestatis tertiae, quintae, septimae, nonae, & superiorum, ad infinitum usque pergendo, in termimis finitis, ad instar regularum pro cubicis quae vocantur Cardani, resolutio analytica" [Of certain equations of the third, fifth, seventh, ninth, & higher power, all the way to infinity, by proceeding, in finite terms, in the form of rules for cubics which are called by Cardano, resolution by analysis.]. Philosophical Transactions of the Royal Society of London (ภาษาละติน). 25 (309): 2368–2371. doi:10.1098/rstl.1706.0037. S2CID 186209627.

[2] Lial, Margaret L.; Hornsby, John; Schneider, David I.; Callie J., Daniels (2008). College Algebra and Trigonometry (พิมพ์ครั้งที่ 4th). Boston: Pearson/Addison Wesley. น. 792. ISBN 9780321497444.

[1]

[2]