สูตรการสะท้อน

จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี
ไบยังการนำทาง ไปยังการค้นหา

ในทางคณิตศาสตร์ สูตรการสะท้อน หรือ ความสัมพันธ์การสะท้อน (reflection formula/relation) สำหรับฟังก์ชัน f คือสมการที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่าง f(x) กับ f(ax) ซึ่งเป็นกรณีพิเศษกรณีหนึ่งของสมการเชิงฟังก์ชัน (functional equation) สูตรการสะท้อนมีประโยชน์ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขสำหรับฟังก์ชันพิเศษอื่นๆ

สูตรที่เป็นที่รู้จัก[แก้]

ฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่มีความสัมพันธ์สะท้อนเมื่อ a = 0 นั่นคือ สำหรับทุกฟังก์ชันคู่ จะได้ f(−x) = f(x) และสำหรับทุกฟังก์ชันคี่ จะได้ f(−x) = −f(x)

ความสัมพันธ์อันหนึ่งที่เป็นที่รู้จักกันดีคือ สูตรการสะท้อนของออยเลอร์ (Euler's reflection formula)

สำหรับฟังก์ชันแกมมาที่นิยามโดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์

นอกจากนี้ยังมีสูตรการสะท้อนสำหรับฟังก์ชันโพลีแกมมา (polygamma function) อันดับที่ n ในสัญกรณ์ ψn(z) ดังนี้

ในฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ (Riemann zeta function) ก็มีความสัมพันธ์การสะท้อน

และในฟังก์ชันไซ (xi function) ในสัญกรณ์ ξ(z) ก็มีเช่นกัน คือ

อ้างอิง[แก้]